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一、位移电流在原始的安培环路定理中，只考虑了电流产生磁场：$$ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 i $$但在电容充放电等情况下，电流的连续性会断开（比如电容板之间没有实际电流通过），这导致了矛盾。例如，如果我们取一个环路穿过电容板之间的空间，按安培定律，环路上应有磁场，但空间中没有实际电流。或者说选取下图中圈1作为安培环路，利用斯托克斯公式，将积分写为面积分形式，发现如果取得曲面是2或者4，则不存在问题，但是若是取曲面3，曲面3并不包括任何电流，导致这一细节问题产生。麦克斯韦为了解决这个矛盾，引…

一、动量与冲量1、动量定义质点系的动量为所有质点动量的矢量和：$$ \vec{p}=\sum m_i\vec{v}_i $$质点系的动量也可以向坐标轴进行投影：$$ \vec{p}_x=\sum m\vec{v}_x\quad \vec{p}_y=\sum m\vec{v}_y\quad \vec{p}_z=\sum m\vec{v}_z $$质点系质心$C$的矢径表达式为：$$ r_C=\frac{\sum m_ir_i}{\sum m_i}=\frac{\sum m_ir_i}M\Rightarrow Mr_c=\sum m_ir_i $$当质点系运…

一、法拉第电磁感应引入当一块磁铁穿过闭合线圈时，电路中会产生电流。定义磁通量，描述穿过某个表面的磁场流量的物理量，表达式为：$$ \varPhi=\iint \vec{B}\cdot \mathrm{d} \vec{A} $$法拉第电磁感应定律是电磁学中的一条基本定律，主要用于描述磁场与电路之间的相互作用。该定律指出，当通过导体回路的磁通量发生变化时，会在回路中产生电动势。其数学表达式为：$$ E=-\frac{\mathrm{d}\varPhi}{\mathrm{d}t} $$二、楞次定律在法拉第电磁感应定律中，电动势的方向遵循右手定则：伸平右手使姆指…

[!NOTE]这一章节很水，只写一下自然形式的质点运动微分方程自然形式的运动和受力示意图为：如采用自然轴，并把上式向各轴投影，可得：$$ m\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2}=F_t $$$$ m\frac{v^2}\rho=F_n $$$$ 0=F_b $$上面三个式子中：$$ \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2}=a_t $$$$ \frac{v^2}{\rho}=a_n $$$$ 0=a_b $$是加速度$\vec{a}$在切线、主法线和副法线的正向投影，而$F_t,F_…

一、刚体平面运动的运动方程1、刚体平面运动简化刚体平行于某固定平面$I$作平面运动，现取一个与平面$I$相平行的平面$II$截取刚体，得到一个平面图形$S$。当刚体运动时，平面图形$S$将始终保持在平面$II$内运动。平面运动刚体上$A$点的运动状态与过$A$点且垂直于固定平面的垂直直线上各点的运动状态完全一样。数学上满足：$$ \begin{aligned} &\vec{r}_{A_1} = \vec{r}_A + \vec{r}_{AA_1} \\ &\vec{v}_{A_1} = \vec{v}_A + \frac{\mathrm{…

一、合成运动基本概念1、两种参考系静参考系（定系）：相对地面不动的参考系。动参考系（动系）：相对静系运动着的参考系。2、三种运动(1) 三种运动定义绝对运动：动点对于定参考系的运动。绝对运动轨迹：动点相对定系的运动轨迹。相对运动：动点对于动参考系的运动。相对运动轨迹：动点相对动系的运动轨迹。牵连运动：动参考系对于定参考系的运动。(2) 绝对、相对、牵连运动间的关系设绝对运动符号$x,y$，相对运动符号$x',y'$，牵连运动符号$x_0,y_0,\varphi$。根据坐标变换：$$ x=x_{o^{\prime}}+x^{\prime…

一、安培力1、安培力推导安培力是通电导线在磁场中受到的作用力。根据上一篇文章磁学的基本现象和规律，可知安培定律的表达式为：$$ \mathrm{d}\vec{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i_2\mathrm{d}\vec{s}_2\times(i_1\mathrm{d}\vec{s}_1\times\hat{r}_{12})}{r_{12}^2} $$以及毕奥-萨法尔定律：$$ \mathrm{d}\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i\,\mathrm{d}\vec{s} \time…

一、安培定律安培定律的核心在于描述电流之间的磁场与力的关系。具体来说，先是电流产生磁场，第一段导线上的电流$i_{1}$会在其周围空间产生磁场$\vec{B}$（见下面的毕奥-萨伐尔定律），磁场方向由右手定则确定。然后磁场对第二段导线产生作用，第二段导线上的电流$i_{2}$受到第一段导线产生的磁场$\vec{B}$的作用力。此力遵循洛伦兹力公式：$$ \mathrm{d}\vec{F}_{12}=i_2\mathrm{d}\vec{s}_2\times\vec{B} $$结合第一段导线产生的磁场表达式，可以推导出安培定律的形式。力的方向通过矢量叉乘确定…

一、矢量法1、点的运动方程点的运动方程是描述点的位置、速度和加速度随时间变化的数学方程。由定点$O$画到动点$M$的有向线段$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol{r}$称为动点$M$的矢径，它的分解式可以表示为下面的方程：$$ \boldsymbol{r}=\overrightarrow{OM}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k} $$矢径唯一地决定了点$M$的位置。当点$M$运动时，矢径$\boldsymbol{r}$是随时间而变的矢量。一般可表示为时间$t$的单值…

[!TIP]刚体是由无数点组成的，在点的运动学基础上可研究刚体的运动，并且研究刚体运动与刚体上各点运动之间的关系。刚体的两种最简单的运动是平移和定轴转动。以后可以看到，刚体更复杂的运动可以看成由这两种运动的合成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。一、刚体的平移1、平移的定义在运动过程中，刚体上任意一条直线的方向都保持不变。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的平行移动，简称为平移。2、平移的性质当刚体作平移时，体内所有各点的轨迹形状完全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点的加速度也相等。证明：因为这是一个刚体，并且进行的是平移运动，所以刚体内任…

一、电容1、电容的定义电容器由两个空间上分离的导体组成，分别可以带电为$+q$和$−q$。电容定义为电容器一个导体上所带电荷与两个导体之间电势差的比值：$$ C=\frac{q}{\Delta V} $$电容只与电容器本身有关，与电荷和电压无关，它取决于极板的形状、相对位置以及填充在极板之间的材料。2、不同类型电容器电容的计算(1) 平行板电容器上面平行板电容器的上下表面分别带电$+q,-q$，电势差为$\Delta V$，两板之间的距离为$d$。首先写出电容的计算式：$$ C=\frac{q}{\Delta V} $$设电荷面密度：$$ q=\sigm…

一、静电场的环路定律我们根据图示逐步推导静电场的环路定理（即闭合路径上的电场沿路径积分为零）。静电场是由静止电荷分布产生的。对于静电场来说，其电场 $\vec{E}$ 与电势（$V$）满足关系：$$ \vec{E} = -\nabla V $$电势$V$是标量场，描述了静电场各点的能量。设路径沿 $C$（如图中的闭合回路），则电场的环路积分可以表示为：$$ \oint_C \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} $$其中$\mathrm{d}\vec{l}$是路径上的微小位移向量。如图所示，我们考虑沿环路$C$的积分路径，有两个部…

一、简单平面桁架的内力计算1、相关概念桁架：所有杆件都在同一平面内的桁架。平面桁架：所有杆件都在同一平面内的桁架。节点：桁架中杆件的铰链接头。杆件内力：各杆件所承受的力。简单平面桁架：以一个铰链三角形框架为基础，每增加一个节点需增加两根杆件。简单平面桁架是静定桁架。2、三角形扩大法则对于平面简单桁架，除去第一个三角形外（$3$个节点$3$根杆），杆件数应为节点数的$2$倍。桁架杆数$m$和节点数$n$满足：$$ (m-3)=2(n-3) \Rightarrow m = 2n-3 $$分析上面的式子，$m+3$中，$m$表示$m$根杆有$m$个内力（未知量…

一、滑动摩擦1、库仑干摩擦理论下图所示为在理论力学中，物块受摩擦的受力情况：其中$F_{\max}$成为极限摩擦力（最大静摩擦力）。在实际情况下，物块底部的每一部分都受到摩擦力的作用，将支持力与摩擦力化简为一个力和一个力矩，再将力矩转化为力，将转化出的这个力向两个方向分解，即可得到上图结果，所以$F_N$与$F_{\max}$可以作用于一个点，并且不在物块的正上方，以保证力矩平衡。2、摩擦角和自锁(1) 总反力和摩擦角定义总反力为上图所示的$F_R$：$$ F_R=F_N+F\quad\tan \varphi=\frac{F}{F_N} $$定义摩擦角为…

一、通量通量的计算公式：$$ \Phi = \vec{v}\cdot\vec{A} $$其中$\vec{v}$为速度，$\vec{A}$为面积矢量，方向为其任意法向。二、高斯定理1、闭合曲面的通量任意形状的闭合曲面，规定面积的法向指向外，流入该曲面的通量与流出该曲面的通量相等，也就是说，闭合曲面的流量代数和为$0$。$$ \begin{aligned} \Phi &= {\int\kern{-8pt}\int \kern{-23mu} \bigcirc} \vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{A}\\ \mathrm{d} \Ph…