标签 分析力学 下的文章

一、勒让德变换[!NOTE]将原有的独立变量的一部分或者全部，换为相应的共轭变量，从而得到一个新函数，这种变换称为勒让德变换。1、一元函数勒让德变换函数$f(x)$是变量$x$的函数，且$u(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$，可以构造一个新的以$u$为自变量的函数：$$ g=xu-f $$取$g$的全微分：$$ \mathrm{d}g=x\mathrm{d}u+u\mathrm{d}x-\mathrm{d}f=x\mathrm{d}u $$也就是：$$ x=\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{…

一、第二类拉格朗日方程一般地，质点系各个质点的矢量坐标可以表示为广义坐标的函数$\vec{r}=\vec{r}_i(q_1,q_2,\cdots,q_k;t)$。质点速度相应地通过广义速度表示为：$$ \dot{\vec{r}}_i=\sum_{l=1}^k\frac{\partial {\vec{r}}_i}{\partial q_l}\dot{q}_l+\frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial t} $$上式两边对广义速度$\dot q_j$求偏导数，得到消点规则：$$ \frac{\partial {\vec…

一、广义坐标1、自由度一般情况下，一个由$n$质点组成的质点系在空间的位形用直角坐标来确定需要$3n$个坐标，即：$$ x_i,\, y_i,\, z_i \quad (i = 1,\, 2,\, \ldots,\, n) $$如果系统受到$s$个完整约束，其约束方程为：$$ f_j(x_1,\, y_1,\, z_1;\, \ldots;\, x_n,\, y_n,\, z_n;\, t) = 0 \quad (j = 1,\, 2,\, \ldots,\, s) $$则系统的$3n$个坐标并不完全独立，只有$k = 3n - s$个坐标是独立的（余下…

一、约束方程与约束分类1、约束方程非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的平衡。约束的作用在于：一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该物体受到约束力的作用；而另一方面，约束也容许物体有可能沿另一些方向获得位移。 当质点系平衡时，主动力与约束力之间，以及主动力与约束所许可位移之间，都存在着一定的关系。这两种关系都可以作为质点系平衡的判据。刚体静力学利用了前一种情况，通过主动力和约束力之间的关系表示出刚体的平衡条件。而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点系的平衡条件。虚位移原理运用动力…

一、达朗贝尔原理1、质点达朗贝尔原理设质量为$m$的非自由质点$D$，在主动力$F$和约束力$F_N$作用下沿曲线运动，该质点的动力学基本方程为：$$ m\vec{a}=\vec{F}+\vec{F}_N $$或：$$ \vec{F}+\vec{F}_N+(-m\vec{a})=\vec{0} $$引入质点的惯性力$\vec{F_1}=-m\vec{a}$的概念，于是上式可以写为：$$ \vec{F}+\vec{F}_N+\vec{F}_I=\vec{0} $$上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系…