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一、原假设与备择假设的定义1、原假设（Null Hypothesis, $H_0$）.原假设是指在进行假设检验时，最初假定被检验的参数或总体特性在某一特定值或范围内。一般认为原假设是“无效”或“无差异”的假设。例如：$$ H_0: \mu = \mu_0 $$意思是总体均值等于$\mu_0$。2、备择假设（Alternative Hypothesis, $H_1$ 或 $H_a$）备择假设则是在原假设不成立时所接受的假设，通常反映研究者所关注的效应或差异。例如：$$ H_1: \mu \neq \mu_0 $$二、单侧检验与双侧检验的分类1、双侧检验（T…

一、林德伯格-莱维中心极限定理 (Lindeberg-Lévy CLT)1、定理内容设${X_n}$是独立同分布的随机变量序列，且满足：期望存在：$E[X_k] = \mu < \infty$方差存在：$Var(X_k) = \sigma^2 < \infty$ ($\sigma > 0$)则对于部分和$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$，有标准化随机变量：$$ Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{\overline{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt…

一、依概率收敛（Convergence in Probability）严谨定义：设 $\{X_n\}$ 是一列随机变量，$X$ 是某个随机变量。如果对任意的 $\varepsilon > 0$，都有$$ \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0, $$则称 $X_n$ 依概率收敛于 $X$，记作 $X_n \xrightarrow{P} X$。通俗解释：依概率收敛意味着：当 $n$ 越来越大时，$X_n$ 跟 $X$ 越来越“接近”的概率越来越大。虽然每个 $X_n$ 本身是随机的，…

一、协方差1、协方差的定义回想数学期望的性质之一，对于相互独立的随机变量$X$和$Y$，当其数学期望都存在时，有$E(XY)=E(X)E(Y)$，而此式等价于：$$ E[(X-E(X))(Y-E(Y))]= 0\ $$那么当$E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\neq0$时，$X$和$Y$一定不独立，也就是它们之间存在某种相依关系。因此我们认为$E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$可以在一定程度上反映出$X$和$Y$的某种关系，由此给出下面的定义：对于数学期望都存在的随机变量$X$和$Y$，当$(X-E(X))(Y-E(Y))$的数学期望存在时，…

一、数学期望的定义与计算方法1、离散型随机变量设离散随机变量 $X$ 有可取值 $\{x_i\}$，对应概率 $P(X=x_i)=p_i$。则$$ E[X] = \sum_i x_i\,p_i. $$2、连续型随机变量设连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$，则$$ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,\mathrm{d}x. $$二、离散型随机变量的期望推导1、0–1 分布（Bernoulli 分布）定义：$X\sim\mathrm{B}(p)$，即$$ P(X=1)=p,\quad P(X=0…

设 $(X,Y)$ 为二元随机变量，其联合密度函数为 $f_{X,Y}(x,y)$（对于离散变量则讨论概率函数），下列公式给出不同变换函数 $Z=g(X,Y)$ 的分布推导方法。下面推导过程都假设 $X,Y$ 不是相互独立的，如果独立的话，可以进行下述化简：$$ F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)+F_Y(y) $$一、线性变换：$Z=aX+bY$方法1：变量替换（雅可比变换法）选择变换$$ \begin{cases} z = a x + b y,\\[1mm] w = x \quad (\text{或其它与 }z \text{无关的函数}) \en…

在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。一、连续型随机变量的卷积设 $X$ 和 $Y$ 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。那么随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 为：$$ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx. $$该公式称为卷积公式。其中对 $x$ 的积分表示所有可能的 $X…

一、联合分布 (Joint Distribution)1. 定义设二维离散型随机变量$(X, Y)$的可能取值为$(x_i, y_j)$，其联合分布律为：$$ P\{X = x_i, Y = y_j\} = p_{ij}, \quad i,j = 1,2,\cdots $$2. 性质非负性：$p_{ij} \geq 0$归一性：$\sum_{i=1}^{+\infty} \sum_{j=1}^{+\infty} p_{ij} = 1$3. 表示形式用表格表示联合分布律：$$ \begin{array}{|c|cccc|c|} \hline X \back…

一、问题描述设$X$为随机变量，已知$X$的概率分布，$Y = g(X)$是其函数。需要根据$X$的分布求出$Y$的分布。二、离散型随机变量1. 求解步骤步骤1：列出$Y$所有可能取值$\{ y_j = g(x_i) | x_i \in X(\Omega) \}$步骤2：对每个$y_j$，计算概率：$$ P(Y=y_j) = \sum_{x_i \in g^{-1}(y_j)} P(X=x_i) $$其中$g^{-1}(y_j) = \{ x_i | g(x_i) = y_j \}$2. 数学证明设$X$的分布律为$P(X=x_i)=p_i$，则：$$ …

一、离散型随机变量分布列离散型随机变量的分布列是指随机变量取各个可能值的概率列表。设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，则其分布列为：$$ P(X = x_i) = p_i, \quad i = 1, 2, \ldots, n $$其中 $p_i \geq 0$ 且 $\sum_{i=1}^n p_i = 1$。1. 0-1 分布（伯努利分布）0-1 分布是描述只有两种可能结果的单次试验的分布。设随机变量 $X$ 表示试验结果，$X = 1$ 表示“成功”，$X = 0$ 表示“失败”，则其分布列为：$$…