一、流体运动的一维模型与基本方程

1、一维流动模型

一维流动是指速度、压强、密度等流动物理量只随一个空间坐标变化的流动。若这些物理量与时间无关，则为一维定常流动；若还随时间变化，则为一维非定常流动。以流线或微元流束的中心流线为坐标线时，沿该流线的运动可按一维流动研究。

管道或槽道中各物理量在过流截面上通常并不均匀。将截面上的物理量视为均匀分布，或用适当的截面平均量描述流动，所得模型称为准一维流动。它既描述物理量沿流道轴线的变化，也考虑过流截面面积变化对质量、动量和能量输运的影响。

准一维模型通常要求流道截面沿程变化缓慢而连续，轴线曲率半径远大于截面尺度，所研究的流道长度远大于截面直径或等效直径。此时，速度可近似沿流道轴线方向，弯曲引起的截面内压强差也较小。

取沿流道轴线的弧长坐标为 $s$，时间为 $t$。对于壁面固定的管道，截面积记为 $A=A(s)$，沿轴线的速度记为 $V=V(s,t)$，密度与压强分别为 $\rho=\rho(s,t)$、$p=p(s,t)$。体积流量与质量流量分别记为 $Q$、$Q_m$；截面上速度和密度均匀时，有

$$ Q=AV,\qquad Q_m=\rho AV $$

2、连续性方程

取长度为 $\mathrm{d}s$ 的固定微元管段为控制体，其体积为 $A\,\mathrm{d}s$。质量守恒要求，控制体内质量的增加率与流出的净质量流率之和为零，即

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t}A\,\mathrm{d}s +(\rho VA)_{s+\mathrm{d}s}-(\rho VA)_s=0 $$

将出口质量流率作一阶展开，得到

$$ (\rho VA)_{s+\mathrm{d}s}-(\rho VA)_s =\frac{\partial(\rho VA)}{\partial s}\,\mathrm{d}s $$

除以 $\mathrm{d}s$，得固定变截面管道中一维流动的连续性方程

$$ A\frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial(\rho VA)}{\partial s}=0 $$

连续性方程由质量守恒得到，与流体是否具有粘性无关。

对于密度为常数的不可压缩流体，上式化为

$$ \frac{\partial(AV)}{\partial s}=0 $$

因此，同一时刻各截面的体积流量相等：

$$ AV=Q(t) $$

若流动同时定常，则 $Q$ 还与时间无关。

对于可压缩流体的定常流动，有

$$ \frac{\mathrm{d}(\rho VA)}{\mathrm{d}s}=0, \qquad \rho VA=Q_m=\text{常数} $$

当 $\rho$、$V$、$A$ 均非零时，微分后除以 $\rho VA$，得

$$ \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} +\frac{\mathrm{d}V}{V} +\frac{\mathrm{d}A}{A}=0 $$

对于等截面管道，$A$ 为常数，连续性方程化为

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial(\rho V)}{\partial s}=0 $$

3、运动方程

记单位质量流体所受体积力沿轴线的分量为 $f_s$。微元管段内流体动量的变化率与净流出动量流率之和，等于其所受外力在 $s$ 方向的合力。

在无粘性流动中，壁面切应力为零。两端面压力的合力为 $pA-(p+\mathrm{d}p)(A+\mathrm{d}A)$，侧壁压力沿轴线的分量为 $p\,\mathrm{d}A$。略去二阶小量后，总压力合力为

$$ pA-(p+\mathrm{d}p)(A+\mathrm{d}A)+p\,\mathrm{d}A =-A\,\mathrm{d}p =-A\frac{\partial p}{\partial s}\,\mathrm{d}s $$

因此，动量平衡给出

$$ A\frac{\partial(\rho V)}{\partial t} +\frac{\partial(\rho V^2A)}{\partial s} =\rho Af_s-A\frac{\partial p}{\partial s} $$

左端可展开为

$$ \begin{aligned} &A\frac{\partial(\rho V)}{\partial t} +\frac{\partial(\rho V^2A)}{\partial s}\\ &=\rho A\left( \frac{\partial V}{\partial t} +V\frac{\partial V}{\partial s}\right) +V\left[ A\frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial(\rho VA)}{\partial s}\right] \end{aligned} $$

方括号内由连续性方程为零，故运动方程化为

$$ \frac{\partial V}{\partial t} +V\frac{\partial V}{\partial s} =f_s-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s} $$

若体积力只有重力，取竖直向上的高程为 $z$，重力加速度大小为 $g$，则

$$ f_s=-g\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} $$

从而

$$ \frac{\partial V}{\partial t} +V\frac{\partial V}{\partial s} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s} +g\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}=0 $$

定常流动时，沿轴线有

$$ V\,\mathrm{d}V+\frac{\mathrm{d}p}{\rho}+g\,\mathrm{d}z=0 $$

若可忽略重力作用，则为

$$ V\,\mathrm{d}V+\frac{\mathrm{d}p}{\rho}=0 $$

4、能量方程

记单位质量流体的内能为 $e$。设体积力只有重力，忽略辐射等体热源，管道壁面固定且无轴功交换；单位长度管段在单位时间内获得的净热量记为 $q_h$，以传入流体为正。

无粘性流动中，截面压力所传递的净功率为 $-\partial(pAV)/\partial s$，重力功率为 $-\rho AVg\,\mathrm{d}z/\mathrm{d}s$。由能量守恒，得

$$ \begin{aligned} &A\frac{\partial}{\partial t} \left[\rho\left(e+\frac{V^2}{2}\right)\right] +\frac{\partial}{\partial s} \left[\rho AV\left(e+\frac{V^2}{2}\right)\right]\\ &\qquad +\frac{\partial(pAV)}{\partial s} +\rho AVg\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} =q_h \end{aligned} $$

定常流动时，$Q_m=\rho AV$ 沿程不变。将压力功并入能量通量，除以 $Q_m$，得

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \left(e+\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz\right) =\frac{q_h}{Q_m} $$

定义单位质量流体的焓为

$$ h=e+\frac{p}{\rho} $$

若流动绝热，则 $q_h=0$，故

$$ h+\frac{V^2}{2}+gz=\text{常数} $$

忽略重力时，化为

$$ h+\frac{V^2}{2}=\text{常数}, \qquad \mathrm{d}h+V\,\mathrm{d}V=0 $$

对于比热容为常数的完全气体，记比热比为 $\gamma$。无粘性绝热流动在光滑区域内为等熵流动，满足 $p/\rho^\gamma=\text{常数}$。由此得到的准一维定常流动关系为

$$ \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} +\frac{\mathrm{d}V}{V} +\frac{\mathrm{d}A}{A}=0\\[6pt] \displaystyle V\,\mathrm{d}V+\frac{\mathrm{d}p}{\rho}=0\\[6pt] \displaystyle \mathrm{d}h+V\,\mathrm{d}V=0\\[6pt] \displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{p} =\gamma\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} \end{cases} $$

对于密度恒定、无粘性且无热量交换的定常流动，内能沿程不变，能量方程化为

$$ \frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=\text{常数} $$

5、管道弯曲与缓变流

在弯曲流道中，流体具有指向曲率中心的法向加速度，因此截面内压强通常随法向位置变化。取 $r$ 为自局部曲率中心向外的坐标，对于无粘性不可压缩流体的定常平面流动，有

$$ -\frac{V^2}{r} =-g\frac{\partial z}{\partial r} -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} $$

整理得

$$ \frac{\partial}{\partial r}(p+\rho gz) =\rho\frac{V^2}{r} $$

若流动位于水平面内，或重力可以忽略，则

$$ \frac{\partial p}{\partial r} =\rho\frac{V^2}{r} $$

压强由弯道内侧向外侧增大。实际弯管中，这种横向压强差还可能与壁面附近的速度不均匀共同引起二次流，并增加流动损失。

当曲率半径远大于截面尺度，流线接近平行直线时，所处流段称为缓变流区域。在垂直于流线的过流截面上，法向加速度近似为零，故

$$ p+\rho gz=\text{常数} $$

即截面内压强近似按静水规律分布。忽略重力时，同一缓变截面上的压强近似相等。

二、伯努利方程及其应用

1、运动方程的简化与伯努利积分

记流体速度矢量为 $\boldsymbol{V}$，其大小为 $V$；单位质量体积力为 $\boldsymbol{f}$，涡量为 $\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\boldsymbol{V}$。无粘性流体的运动方程为

$$ \frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} +(\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V} =\boldsymbol{f}-\frac{1}{\rho}\nabla p $$

利用恒等式

$$ (\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V} =\nabla\left(\frac{V^2}{2}\right) +\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V} $$

得

$$ \frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} +\nabla\left(\frac{V^2}{2}\right) +\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V} =\boldsymbol{f}-\frac{1}{\rho}\nabla p $$

若体积力有势，定义单位质量体积力的势函数 $U$，使

$$ \boldsymbol{f}=-\nabla U $$

若流场正压，即 $\rho$ 只由 $p$ 决定，则可定义正压函数 $P$：

$$ P(p)=\int^p\frac{\mathrm{d}\widetilde{p}}{\rho(\widetilde{p})}, \qquad \nabla P=\frac{1}{\rho}\nabla p $$

因此

$$ \frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} +\nabla\left(\frac{V^2}{2}+U+P\right) +\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V}=\boldsymbol{0} $$

定常流动时，时间导数项为零。取沿一条流线的弧长矢量微元 $\mathrm{d}\boldsymbol{s}$，因 $\mathrm{d}\boldsymbol{s}$ 与 $\boldsymbol{V}$ 平行，有

$$ (\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V}) \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s}=0 $$

将运动方程与 $\mathrm{d}\boldsymbol{s}$ 点乘，得

$$ \mathrm{d}\left(\frac{V^2}{2}+U+P\right)=0 $$

积分得伯努利积分

$$ \frac{V^2}{2}+U+\int^p\frac{\mathrm{d}\widetilde{p}}{\rho(\widetilde{p})} =C(\psi) $$

其中，$\psi$ 表示所选流线。同一条流线上的积分常数相同，不同流线上的积分常数一般可以不同。这一积分适用于无粘性、体积力有势、正压的定常流动，并沿同一条流线成立。

若流动还无旋，即 $\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{0}$，则

$$ \nabla\left(\frac{V^2}{2}+U+P\right)=\boldsymbol{0} $$

从而在同一连通流动区域内，伯努利常数相同。若各条流线均经过具有相同伯努利常数的均匀区域，也可在这些流线之间使用同一常数。

2、不可压缩与可压缩流体的伯努利方程

（1）不可压缩流体

密度 $\rho$ 为常数时，正压函数可取为 $P=p/\rho$。若体积力只有重力，$z$ 竖直向上，则 $U=gz$，因此

$$ \frac{V^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz=C(\psi) $$

除以 $g$，得到水头形式

$$ \frac{V^2}{2g}+\frac{p}{\rho g}+z=C_1(\psi) $$

在同一条流线上的两点之间，有

$$ \frac{V_1^2}{2g}+\frac{p_1}{\rho g}+z_1 =\frac{V_2^2}{2g}+\frac{p_2}{\rho g}+z_2 $$

该方程沿流线成立，并不要求整个流场必须是一维流动。

（2）完全气体的等熵流动

对于比热容为常数的完全气体，等熵关系为

$$ p=c\rho^\gamma $$

其中，$c$ 在所考虑的等熵过程中为常数。微分后有

$$ \mathrm{d}p=c\gamma\rho^{\gamma-1}\,\mathrm{d}\rho $$

因此

$$ \begin{aligned} P &=\int\frac{\mathrm{d}p}{\rho} =c\gamma\int\rho^{\gamma-2}\,\mathrm{d}\rho\\ &=\frac{c\gamma}{\gamma-1}\rho^{\gamma-1} =\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{\rho} \end{aligned} $$

取一致的焓零点后，完全气体有 $h=\gamma p/[(\gamma-1)\rho]$，故

$$ h+\frac{V^2}{2}+gz=C(\psi) $$

忽略重力时，得到

$$ h+\frac{V^2}{2}=C(\psi) $$

此时，压强变化既与速度变化有关，也与密度、内能的变化有关。

3、物理意义与几何意义

不可压缩流体伯努利方程中的各项，可以分别理解为单位质量或单位重量流体的机械能。

三种水头之和称为总水头：

$$ H_{\mathrm{tot}}=\frac{V^2}{2g}+\frac{p}{\rho g}+z $$

其中，$z+p/(\rho g)$ 为测压管水头，其沿程连线称为测压管水头线；总水头的沿程连线称为总水头线。在理想定常流动中，同一流线上的总水头线为水平线，两条水头线的高差为速度水头。

对于水平流动，或可以忽略重力的流动，伯努利方程可写成

$$ p+\frac{1}{2}\rho V^2=p_0(\psi) $$

其中，$p$ 为静压，$\rho V^2/2$ 为动压，$p_0$ 为总压。对于不可压缩流体，沿流线无损减速至速度为零时，总压等于所达到的滞止压强。同一条水平流线上，总压保持不变，速度增大时静压减小。

4、沿流线与管道总流的应用

沿流线应用伯努利方程时，应选择同一流线上的两个位置；若已知相关流线具有相同的伯努利常数，也可在这些流线上的两点之间使用。自由液面、自由射流表面与大气接触时，其压强可取为当地大气压。

对不可压缩流体的管道一维定常流动，通常将伯努利方程与连续性方程联立：

$$ \begin{cases} A_1V_1=A_2V_2=Q\\[4pt] \displaystyle \frac{V_1^2}{2g}+\frac{p_1}{\rho g}+z_1 =\frac{V_2^2}{2g}+\frac{p_2}{\rho g}+z_2 \end{cases} $$

两个过流截面宜选在缓变流区域，此时同一截面上的 $p/(\rho g)+z$ 近似为常数，$p_i$ 与 $z_i$ 可在该截面的同一点取值。

若截面上的速度不均匀，记局部法向速度为 $v$，平均速度为 $V=Q/A$。为使平均速度所表示的动能通量与实际值相等，引入动能修正系数 $\alpha$：

$$ \frac{1}{2}\rho\int_A v^3\,\mathrm{d}A =\frac{1}{2}\rho\alpha AV^3 $$

因此

$$ \alpha=\frac{1}{AV^3}\int_A v^3\,\mathrm{d}A $$

速度均匀时 $\alpha=1$，否则能量方程中的速度水头应写为 $\alpha V^2/(2g)$。

5、伯努利方程的推广

（1）分流与汇流

不可压缩定常流动中，交汇处质量守恒要求

$$ \sum_{\mathrm{入}}Q_i=\sum_{\mathrm{出}}Q_j $$

若交汇区域内无机械功交换、无能量损失，则机械能流率满足

$$ \sum_{\mathrm{入}}\rho gQ_iH_{\mathrm{tot},i} =\sum_{\mathrm{出}}\rho gQ_jH_{\mathrm{tot},j} $$

对来自同一上游总流的理想分流，各支路沿相应流线具有相同总水头，可分别写成

$$ H_{\mathrm{tot},1}=H_{\mathrm{tot},2}, \qquad H_{\mathrm{tot},1}=H_{\mathrm{tot},3} $$

汇流时，若各入口具有相同总水头，也可使用共同的伯努利常数；一般情形应按各入口、出口的能量流率列式。

（2）沿程有机械能输入或输出

记流体机械向单位重量流体输入的能量为 $H_p$，从单位重量流体取出的能量为 $H_t$，两者均以非负值表示，则

$$ \frac{V_1^2}{2g}+\frac{p_1}{\rho g}+z_1+H_p =\frac{V_2^2}{2g}+\frac{p_2}{\rho g}+z_2+H_t $$

水泵等机械向流体输入能量，水轮机等机械从流体取得能量。对于不可压缩流体，相应的理论功率为

$$ N_p=\rho gQH_p, \qquad N_t=\rho gQH_t $$

也可将机械能交换记为带符号的水头 $H$，约定流体获得能量时 $H>0$，流体输出能量时 $H<0$，于是

$$ H_{\mathrm{tot},2}-H_{\mathrm{tot},1}=H, \qquad N=\rho gQH $$

（3）准定常流动

若流动参数随时间的变化较慢，使局部加速度对所研究过程的影响较小，可将每个短时间段内的流动近似按定常流动处理，称为准定常流动。

对于容器内液体经小孔流出的过程，记孔口面积为 $A_2$，液面处容器截面积为 $A_1(h)$，$h$ 为自由液面到孔口的高差。容器与出口均通大气，且忽略流动损失时，同一时刻有

$$ \frac{V_1^2}{2g}+h=\frac{V_2^2}{2g}, \qquad A_1(h)V_1=A_2V_2 $$

消去 $V_1$，得

$$ V_2=\sqrt{\frac{2gh}{1-[A_2/A_1(h)]^2}} $$

当 $A_2\ll A_1(h)$ 时，液面下降速度远小于孔口流速，可近似取

$$ V_2\approx\sqrt{2gh}, \qquad Q\approx A_2\sqrt{2gh} $$

液面下降满足 $V_1=-\mathrm{d}h/\mathrm{d}t$。由体积守恒，得

$$ -A_1(h)\,\mathrm{d}h =A_2\sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t $$

记初始液面高差为 $h_0$，液面从 $h_0$ 降至 $h$ 所需时间为

$$ t=\int_h^{h_0}\frac{A_1(\eta)}{A_2\sqrt{2g\eta}}\,\mathrm{d}\eta $$

对于等截面容器，$A_1$ 为常数，积分得

$$ t=\frac{A_1}{A_2}\sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{h_0}-\sqrt{h}\right) $$

取 $h=0$，排空时间为

$$ t_{\mathrm{空}} =\frac{2A_1\sqrt{h_0}}{A_2\sqrt{2g}} =\frac{2A_1h_0}{Q_0}, \qquad Q_0=A_2\sqrt{2gh_0} $$

（4）沿程存在流动损失

将机械能交换、速度分布不均匀及流动损失同时计入，可得不可压缩总流的机械能方程

$$ \alpha_1\frac{V_1^2}{2g}+\frac{p_1}{\rho g}+z_1+H_p =\alpha_2\frac{V_2^2}{2g}+\frac{p_2}{\rho g}+z_2+H_t+h_{w,1\to2} $$

其中，$h_{w,1\to2}\geq0$ 为流体由截面 1 流向截面 2 的水头损失，包括沿程损失与局部损失。机械能的损失对应于机械能向内能等形式的转化，总能量仍然守恒。

6、非定常流动的伯努利方程

对于无粘性、正压、体积力有势的非定常流动，在同一时刻沿一条瞬时流线积分。因涡量项与流线微元的点积为零，有

$$ \int_1^2 \frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} +\left[\frac{V^2}{2}+U+P\right]_1^2=0 $$

积分中采用的是固定空间位置处的速度时间偏导数。

对于流线形状固定的一维流动，速度始终沿轴线，可写成标量形式。若流体不可压缩且体积力只有重力，则

$$ \frac{V_1^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+gz_1 =\frac{V_2^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+gz_2 +\int_{s_1}^{s_2}\frac{\partial V}{\partial t}\,\mathrm{d}s $$

积分项表示局部加速度所需的附加机械能；当其可以忽略时，恢复定常伯努利方程。

对于固定变截面管道内不可压缩流体的一维非定常流动，还需联立

$$ AV=Q(t) $$

由 $A=A(s)$，有

$$ \frac{\partial V}{\partial t} =\frac{1}{A(s)}\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} $$

对于位置固定的两个截面，因而

$$ \int_{s_1}^{s_2}\frac{\partial V}{\partial t}\,\mathrm{d}s =\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \int_{s_1}^{s_2}\frac{\mathrm{d}s}{A(s)} $$

等截面管道中，记两截面之间的长度为 $L$，则附加项为

$$ L\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} $$

7、非惯性坐标系中的伯努利方程

（1）相对运动的基本方程

记运动坐标系原点的平移加速度为 $\boldsymbol{a}_0$，转动角速度为 $\boldsymbol{\Omega}$，流体相对于该坐标系的速度为 $\boldsymbol{V}_r$，位置矢量为 $\boldsymbol{r}$。为区别于流场涡量，坐标系的转动角速度使用 $\boldsymbol{\Omega}$ 表示。

无粘性流体的相对运动方程为

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{D}_r\boldsymbol{V}_r}{\mathrm{D}t} ={}&\boldsymbol{f}-\boldsymbol{a}_0 -\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{r})\\ &-\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Omega}}{\mathrm{d}t}\times\boldsymbol{r} -2\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{V}_r -\frac{1}{\rho}\nabla p \end{aligned} $$

其中，相对随体导数为

$$ \frac{\mathrm{D}_r}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol{V}_r\cdot\nabla $$

右端除实际体积力与压力项外，依次为平移惯性力、离心惯性力、变角速度惯性力与科里奥利惯性力，均按单位质量计。

（2）等加速直线运动坐标系

若坐标系不转动，且 $\boldsymbol{a}_0$ 为常矢量，则平移惯性力有势：

$$ -\boldsymbol{a}_0=-\nabla(\boldsymbol{a}_0\cdot\boldsymbol{r}) $$

对于不可压缩流体，体积力只有重力时，有效势函数为

$$ U_{\mathrm{eff}}=gz+\boldsymbol{a}_0\cdot\boldsymbol{r} $$

沿相对瞬时流线积分，得

$$ \begin{aligned} &\frac{V_{r1}^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+gz_1 +\boldsymbol{a}_0\cdot\boldsymbol{r}_1\\ &\quad=\frac{V_{r2}^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+gz_2 +\boldsymbol{a}_0\cdot\boldsymbol{r}_2 +\int_1^2\frac{\partial\boldsymbol{V}_r}{\partial t} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} \end{aligned} $$

相对运动定常时，化为

$$ \frac{V_r^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz +\boldsymbol{a}_0\cdot\boldsymbol{r}=C(\psi) $$

（3）等角速度旋转坐标系

设运动坐标系的原点固定，绕竖直 $z$ 轴以恒定角速度 $\Omega$ 旋转。记流体到转轴的距离为 $r_\perp$，则离心惯性力可写为

$$ -\boldsymbol{\Omega}\times (\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{r}) =\nabla\left(\frac{\Omega^2r_\perp^2}{2}\right) $$

科里奥利惯性力始终与相对速度垂直，故沿相对流线不做功：

$$ (2\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{V}_r) \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s}=0 $$

对于无粘性不可压缩流体，相对运动定常时，得到

$$ \frac{V_r^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz -\frac{\Omega^2r_\perp^2}{2}=C(\psi) $$

在旋转叶轮通道中，以 $w$ 表示相对速度大小，以 $u=\Omega r_\perp$ 表示牵连速度大小，则沿同一相对流线的两个位置有

$$ \frac{w_1^2}{2g}+\frac{p_1}{\rho g}+z_1 +\frac{u_2^2-u_1^2}{2g} =\frac{w_2^2}{2g}+\frac{p_2}{\rho g}+z_2 $$

若记相对速度对应的水头为

$$ H_{r,i}=\frac{w_i^2}{2g}+\frac{p_i}{\rho g}+z_i $$

则

$$ H_{r,2}-H_{r,1}=\frac{u_2^2-u_1^2}{2g} $$

流体由小半径流向大半径时，离心惯性力对相对运动做正功，相应水头增加；反向流动时则减少。叶轮与流体之间实际传递的轴功由绝对速度的周向分量确定。

三、动量定理及其应用

1、积分形式的动量方程

取相对于惯性坐标系固定的控制体 $\tau$，其封闭控制面为 $A$，外单位法向量为 $\boldsymbol{n}$。动量定理为

$$ \frac{\partial}{\partial t} \int_\tau\rho\boldsymbol{V}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\rho\boldsymbol{V} (\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A =\sum\boldsymbol{F} $$

第一项为控制体内动量的积累率，第二项为通过控制面的净流出动量流率，右端为作用在控制体内流体上的外力矢量和。

记控制面上的面力密度为 $\boldsymbol{t}_n$。若所选流体区域受到所包围物体的合反力 $\boldsymbol{R}$，则可写成

$$ \sum\boldsymbol{F} =\int_\tau\rho\boldsymbol{f}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\boldsymbol{t}_n\,\mathrm{d}A +\boldsymbol{R} $$

其中，$\boldsymbol{R}$ 表示尚未计入控制面面力积分的物体作用力。同一固壁作用力若已计入面积分，就不再另加 $\boldsymbol{R}$。

无粘性流体的面力仅为压力，故

$$ \boldsymbol{t}_n=-p\boldsymbol{n} $$

积分形式的动量定理本身也适用于粘性流体，此时面力还需包括粘性应力。

2、一维定常流动的动量方程

定常流动时，控制体内动量的积累率为零：

$$ \oiint_A\rho\boldsymbol{V} (\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A =\sum\boldsymbol{F} $$

若各进出口截面上的流动参数均匀，并把各截面的质量流量均记为正的流入量或流出量，则

$$ \sum_{\mathrm{出}}Q_{m,j}\boldsymbol{V}_j -\sum_{\mathrm{入}}Q_{m,i}\boldsymbol{V}_i =\sum\boldsymbol{F} $$

只有一个入口与一个出口，且两者之间无质量添加或减少时，有

$$ Q_m(\boldsymbol{V}_2-\boldsymbol{V}_1) =\sum\boldsymbol{F} $$

对于不可压缩流体，$Q_m=\rho Q$，故

$$ \rho Q(\boldsymbol{V}_2-\boldsymbol{V}_1) =\sum\boldsymbol{F} $$

若 $\boldsymbol{V}=(u,v,w)$，则在直角坐标系下可分别投影：

$$ \begin{cases} Q_m(u_2-u_1)=\sum F_x\\ Q_m(v_2-v_1)=\sum F_y\\ Q_m(w_2-w_1)=\sum F_z \end{cases} $$

各速度分量与外力分量均按同一坐标正方向取带符号的值。

3、控制体与相互作用力

控制面宜通过流动参数已知或易于确定的截面，使未知量集中在所求合力上。对管流，常取管壁、入口和出口所围区域；对自由射流，常以射流表面作为部分控制面。

压力总是指向控制体内部，在外法线约定下为 $-p\boldsymbol{n}$。若控制体各部分外界均处于同一大气压下，可统一使用相对压强，因为均匀大气压在完整封闭面上的合力为

$$ -\oiint_A p_a\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A =-p_a\oiint_A\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A =\boldsymbol{0} $$

其中，$p_a$ 为大气压强。

动量方程首先求得的是外界对流体的作用力。若 $\boldsymbol{R}$ 为固体对流体的作用力，则流体对固体的作用力为

$$ \boldsymbol{F}_{\mathrm{流体对固体}}=-\boldsymbol{R} $$

速度或压强未知时，可联立连续性方程与适用的伯努利方程；涉及流动损失时，使用含损失项的机械能方程。

4、轴流式涡轮机的欧拉方程

轴流式涡轮机中，流体进入和离开叶轮时的主要流动方向与转轴平行。将某一半径处的圆柱截面展开，可把叶片通道近似看成平面翼栅，并在同一半径处采用一维模型。

记入口、出口的绝对速度为 $\boldsymbol{V}_1$、$\boldsymbol{V}_2$，相对速度为 $\boldsymbol{w}_1$、$\boldsymbol{w}_2$，叶片牵连速度为 $\boldsymbol{u}$。速度关系为

$$ \boldsymbol{V}_i=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}_i $$

相对速度沿叶片通道方向。随叶片半径增大，牵连速度增大；若绝对速度分布变化较小，则相对速度方向随之变化。为使相对来流与叶片相切，叶片安装角通常需要沿高度变化，形成扭转叶片。

以叶片运动方向为周向正方向，记绝对速度的周向分量为 $V_{1u}$、$V_{2u}$。同一半径处牵连速度大小相同，为 $u$。若流动相对定常，入口、出口状态均匀，且所选通道两侧的压力作用在周向相互抵消，则动量定理给出叶片对流体的周向力

$$ R_u=Q_m(V_{2u}-V_{1u}) $$

该力随叶片以速度 $u$ 运动，叶轮传给流体的机械功率为

$$ N=R_uu=Q_mu(V_{2u}-V_{1u}) $$

除以重量流率 $Q_mg$，得到轴流式涡轮机的欧拉方程

$$ H=\frac{u(V_{2u}-V_{1u})}{g} $$

其中，$H$ 为叶轮传给单位重量流体的机械能，正负号约定为

若叶轮只有转动，轴向推力不产生机械功率；机械功率由周向力与牵连速度的乘积确定。

5、非惯性坐标系中的动量定理

对于与运动坐标系固连的控制体 $\tau$，动量采用相对速度 $\boldsymbol{V}_r$ 表示。将实际体积力与各惯性力合并，记单位质量有效体积力为

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{f}_{\mathrm{eff}} ={}&\boldsymbol{f}-\boldsymbol{a}_0 -\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{r})\\ &-\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Omega}}{\mathrm{d}t}\times\boldsymbol{r} -2\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{V}_r \end{aligned} $$

于是，相对动量方程为

$$ \begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial t} \int_\tau\rho\boldsymbol{V}_r\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\rho\boldsymbol{V}_r (\boldsymbol{V}_r\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A\\ &\qquad =\int_\tau\rho\boldsymbol{f}_{\mathrm{eff}}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\boldsymbol{t}_n\,\mathrm{d}A +\boldsymbol{R} \end{aligned} $$

时间偏导数在运动坐标系中计算，控制面上的质量通量也由相对速度确定，$\boldsymbol{R}$ 仍表示未计入面积分的物体反力。

若相对运动定常，只有一个均匀入口和一个均匀出口，则化为

$$ Q_{m,2}\boldsymbol{V}_{r2} -Q_{m,1}\boldsymbol{V}_{r1} =\sum\boldsymbol{F}_{\mathrm{eff}} $$

其中，$\sum\boldsymbol{F}_{\mathrm{eff}}$ 包括实际外力和惯性力。

四、动量矩定理及其应用

1、积分形式的动量矩方程

相对于惯性系中一个固定参考点，记流体质点的位置矢量为 $\boldsymbol{r}$。单位质量流体的动量矩为 $\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{V}$。对于固定控制体，有

$$ \begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial t} \int_\tau\rho(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{V})\,\mathrm{d}\tau\\ &\quad +\oiint_A\rho(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{V}) (\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A =\sum\boldsymbol{M} \end{aligned} $$

其中，$\sum\boldsymbol{M}$ 为作用在控制体内流体上的全部外力对同一参考点的力矩和。

若 $\boldsymbol{M}_0$ 为控制体内物体对流体的作用力矩，且该部分尚未计入控制面面力积分，则

$$ \sum\boldsymbol{M} =\int_\tau\boldsymbol{r}\times\rho\boldsymbol{f}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{t}_n\,\mathrm{d}A +\boldsymbol{M}_0 $$

动量矩方程特别适用于求流体与固体之间的总作用力矩、合力作用线位置，以及旋转机械的轴矩。它由动量定理导出，不是与动量方程相互独立的新守恒关系。

2、一维流动中的简化

若控制体内流体的总动量矩不随时间变化，则积累项为零：

$$ \oiint_A\rho(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{V}) (\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A =\sum\boldsymbol{M} $$

该简化只要求控制体内总动量矩保持不变，不要求控制体内每一点的速度都不随时间变化。

若只有一个入口与一个出口，且可用各截面均匀的动量矩通量表示，则

$$ Q_{m,2}(\boldsymbol{r}_2\times\boldsymbol{V}_2) -Q_{m,1}(\boldsymbol{r}_1\times\boldsymbol{V}_1) =\sum\boldsymbol{M} $$

其中，$\boldsymbol{r}_1$、$\boldsymbol{r}_2$ 为同一参考点指向相应截面形心的位置矢量。质量流率相等时，有

$$ Q_m\left( \boldsymbol{r}_2\times\boldsymbol{V}_2 -\boldsymbol{r}_1\times\boldsymbol{V}_1\right) =\sum\boldsymbol{M} $$

若体积力与控制面面力对所选参考点的合力矩为零，则

$$ Q_m\left( \boldsymbol{r}_2\times\boldsymbol{V}_2 -\boldsymbol{r}_1\times\boldsymbol{V}_1\right) =\boldsymbol{M}_0 $$

实际应用时可将矢量方程投影到所求转轴上。即使合力矩不为零，某一轴上的力矩分量仍可能为零。

3、径流式涡轮机的欧拉方程

径流式涡轮机中，流体通过叶轮时半径发生明显变化。取包围整个叶轮的固定控制体，入口、出口半径分别为 $r_1$、$r_2$，叶轮以恒定角速度 $\Omega$ 转动。

记入口、出口的绝对速度周向分量为 $V_{1u}$、$V_{2u}$，正方向与叶轮转动方向一致。相应的牵连速度为

$$ u_1=\Omega r_1, \qquad u_2=\Omega r_2 $$

在稳定运行工况下，包围整个叶轮的控制体内总轴向动量矩可保持不变。若压力对转轴的力矩为零，重力矩在该轴上的分量也为零，则动量矩定理给出叶轮对流体的轴矩

$$ M_0=Q_m(r_2V_{2u}-r_1V_{1u}) $$

叶轮传给流体的轴功率为

$$ \begin{aligned} N &=M_0\Omega\\ &=Q_m(\Omega r_2V_{2u}-\Omega r_1V_{1u})\\ &=Q_m(u_2V_{2u}-u_1V_{1u}) \end{aligned} $$

除以重量流率 $Q_mg$，得径流式及混流式涡轮机的欧拉方程

$$ H=\frac{u_2V_{2u}-u_1V_{1u}}{g} $$

$H>0$ 时，叶轮向流体输入机械能；$H<0$ 时，流体向叶轮输出机械能。轴流式叶轮在同一半径处有 $u_1=u_2=u$，因此上式化为

$$ H=\frac{u(V_{2u}-V_{1u})}{g} $$

两类欧拉方程表达同一能量交换关系，区别在于进出口牵连速度是否相同。

4、非惯性坐标系中的动量矩定理

对于与运动坐标系固连的控制体，以运动坐标系原点为参考点，使用相对速度 $\boldsymbol{V}_r$ 及有效体积力 $\boldsymbol{f}_{\mathrm{eff}}$，可得

$$ \begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial t} \int_\tau\rho(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{V}_r)\,\mathrm{d}\tau\\ &\quad +\oiint_A\rho(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{V}_r) (\boldsymbol{V}_r\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A\\ &=\int_\tau\boldsymbol{r}\times \rho\boldsymbol{f}_{\mathrm{eff}}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{t}_n\,\mathrm{d}A +\boldsymbol{M}_0 \end{aligned} $$

右端包含实际外力矩以及平移、离心、变角速度和科里奥利惯性力产生的力矩，$\boldsymbol{M}_0$ 为未计入面积分的物体反作用力矩。

相对运动定常，且进出口动量矩通量可按一维模型表示时，有

$$ \sum_{\mathrm{出}}Q_{m,j} (\boldsymbol{r}_j\times\boldsymbol{V}_{rj}) -\sum_{\mathrm{入}}Q_{m,i} (\boldsymbol{r}_i\times\boldsymbol{V}_{ri}) =\sum\boldsymbol{M}_{\mathrm{eff}} $$

所有位置矢量、力矩和通量均相对于同一运动参考点计算。选择参考点或投影轴时，可利用力的作用线与几何对称性消去相应力矩分量。