标签 动力学 下的文章

一、初瞬时问题初瞬时问题，即系统本来静止，突然因为某个原因导致开始运动。例1：均质杆$AB$的质量为$m_1$，长度为$l$，上端$B$靠在光滑的墙壁上，下端与圆柱的中心$A$铰接。均质圆柱的质量为$m_2$ ，半径为$r$，可沿固定水平面滚动而不滑动。假设系统在$\varphi_0=30\mathrm{\degree}$位置由静止释放，试求在初瞬时圆柱质心的$A$加速度。解：考虑从初始条件开始，到任意角度时系统的情况，代入初始条件从而求解。应用动能定理：$$ T = \frac{1}{2}m_2v_A^2 + \frac{1}{2}\left(\fra…

一、力的功1、前面的你都会[!WARNING]菜，就多练！2、作用于刚体力系的功(1) 平移刚体上力的功设一刚体在力 $F$ 作用下作平移，其质心在 $C$ 点，刚体上点 $A$ 的矢径是 $r$，速度是 $v$，则力 $F$ 的元功为：$$ \mathrm{d}W = F \cdot \mathrm{d}r = F \cdot \mathrm{d}r_C $$或者$$ \mathrm{d}W = F \cdot v\,\mathrm{d}t = F \cdot v_C\,\mathrm{d}t $$总功表达式为：$$ \sum \mathrm{d}W …

一、动量矩1、质点的动量矩(1) 对点的动量矩质点$A$的动量$m\vec{v}$对点$O$的矩，定义为质点$A$对点$O$的动量矩：$$ \vec{L}_O(m\vec{v})=\vec{r}\times m\vec{v} $$$$ \vec{L}_0(m\vec{v})=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\x&y&z\\mv_x&mv_y&mv_z\end{vmatrix}=m(yv_z-zv_y)\boldsymbo…

一、动量与冲量1、动量定义质点系的动量为所有质点动量的矢量和：$$ \vec{p}=\sum m_i\vec{v}_i $$质点系的动量也可以向坐标轴进行投影：$$ \vec{p}_x=\sum m\vec{v}_x\quad \vec{p}_y=\sum m\vec{v}_y\quad \vec{p}_z=\sum m\vec{v}_z $$质点系质心$C$的矢径表达式为：$$ r_C=\frac{\sum m_ir_i}{\sum m_i}=\frac{\sum m_ir_i}M\Rightarrow Mr_c=\sum m_ir_i $$当质点系运…

[!NOTE]这一章节很水，只写一下自然形式的质点运动微分方程自然形式的运动和受力示意图为：如采用自然轴，并把上式向各轴投影，可得：$$ m\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2}=F_t $$$$ m\frac{v^2}\rho=F_n $$$$ 0=F_b $$上面三个式子中：$$ \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2}=a_t $$$$ \frac{v^2}{\rho}=a_n $$$$ 0=a_b $$是加速度$\vec{a}$在切线、主法线和副法线的正向投影，而$F_t,F_…

1、定理内容刚体系统的总动能$K$等于质心平动能$\frac{1}{2}Mv_{cm}^2$与各质点相对质心的动能$K'$之和：$$ K = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + K' $$2、证明过程坐标系设定：实验室系：$\vec{r}_i$质心系：$\vec{r}_i = \vec{r}_{cm} + \vec{r}_i'$速度关系：$$ \vec{v}_i = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_i' $$总动能表达式：$$ \begin{align*} K &= \sum \fr…

一、平行轴定理 (Parallel Axis Theorem)1、定理内容刚体关于任意轴的转动惯量$I$，等于关于通过质心的平行轴的转动惯量$I_{cm}$加上刚体质量$M$与两轴间距离$d$平方的乘积：$$ I = I_{cm} + Md^2 $$2、证明过程坐标系设定：设质心轴为$z'$轴，任意平行轴为$z$轴两轴间距$d$在$x$-$y$平面内，设$d$沿$x$方向转动惯量定义：$$ I_{cm} = \sum m_i (x_i'^2 + y_i'^2) $$$$ I = \sum m_i [(x_i' + …

1. 转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量$$ I = mR^2 $$ 推导： 在圆环上取一质元，其质量为 $dm = \lambda dl$，其中 $\lambda = \frac{m}{2\pi R}$ 为线密度，$dl$ 为圆弧元。质元对转轴的元转动惯量为： $$ dI = R^2 dm = \lambda R^2 dl $$ 对整个圆环积分：$$ I = \int_0^{2\pi R} \lambda R^2 dl = \lambda R^2 \cdot 2\pi R = 2\pi \lambda R^3 $$代入 $\lambda = \fra…

我们考虑一个水平光滑轨道上运动的小车，初始质量为 $m$，速度为 $v$。小车在运动过程中不断加入沙子推导其动量守恒定律。一、情景设定（无外力情况）初始状态：小车质量为 $m$，速度为 $v$。微小时间 $\Delta t$ 内：小车吸入质量为 $\Delta m$ ，速度为 $u$ 的沙子，速度变为 $v + \Delta v$。系统总动量守恒：吸入沙子前系统的总动量等于吸入后的总动量。二、动量守恒分析初始动量： 小车动量：$mv$ 沙子动量：$\Delta m \cdot u $ 总初始动量：$$ P_{\text{初始}} = mv+u\Delta…