一、平面应变问题

1、几何条件与位移特征

考虑母线平行于 $Oz$ 轴的长柱形弹性体，其横截面形状沿 $z$ 方向不变，所受外力垂直于 $Oz$ 轴，且载荷分布不随 $z$ 改变。在远离端部、轴向伸缩受到约束或可以忽略的区域，可采用平面应变模型。水坝和隧道等长结构的横截面问题常作这种简化。

取 $Oxy$ 为横截面，位移分量分别为 $u,v,w$。略去整体刚体位移后，平面应变的位移特征为

$$ u=u(x,y),\qquad v=v(x,y),\qquad w=0 $$

由小变形几何方程，面内应变为

$$ \varepsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \varepsilon_y=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \gamma_{xy}=\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} $$

其余三个应变分量为

$$ \varepsilon_z=\frac{\partial w}{\partial z}=0,\qquad \gamma_{yz}=\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}=0,\qquad \gamma_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=0 $$

因此，各横截面只在自身平面内变形，且具有相同的面内位移和应变分布。

2、应力特征与物理方程

设材料均匀、各向同性，服从线弹性关系，弹性模量为 $E$，泊松比为 $\nu$，不计温度变化等引起的附加应变。由广义胡克定律，

$$ \varepsilon_z=\frac{1}{E}\left[\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)\right]=0 $$

故轴向正应力为

$$ \sigma_z=\nu(\sigma_x+\sigma_y) $$

轴向变形受到限制时，相邻横截面之间存在法向相互作用，因而 $\varepsilon_z=0$ 并不要求 $\sigma_z=0$。由两个面外切应变为零，又得

$$ \tau_{yz}=\tau_{xz}=0 $$

于是，独立的面内应力为 $\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}$，且均只依赖 $x,y$；$\sigma_z$ 在面内应力求出后即可确定。

将 $\sigma_z$ 代入其余物理方程，得到

$$ \begin{aligned} \varepsilon_x &=\frac{1}{E}\left[\sigma_x-\nu\sigma_y-\nu^2(\sigma_x+\sigma_y)\right]\\ &=\frac{1-\nu^2}{E}\left(\sigma_x-\frac{\nu}{1-\nu}\sigma_y\right)\\ \varepsilon_y &=\frac{1-\nu^2}{E}\left(\sigma_y-\frac{\nu}{1-\nu}\sigma_x\right) \end{aligned} $$

引入用于改写平面应变物理方程的参数

$$ E_1=\frac{E}{1-\nu^2},\qquad \nu_1=\frac{\nu}{1-\nu} $$

则

$$ \varepsilon_x=\frac{\sigma_x-\nu_1\sigma_y}{E_1},\qquad \varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu_1\sigma_x}{E_1} $$

由

$$ \frac{1+\nu_1}{E_1} =\frac{1}{1-\nu}\frac{1-\nu^2}{E} =\frac{1+\nu}{E} $$

切应变关系也可写为

$$ \gamma_{xy}=\frac{2(1+\nu)}{E}\tau_{xy} =\frac{2(1+\nu_1)}{E_1}\tau_{xy} $$

3、平衡方程与边界条件

以 $F_x,F_y$ 表示单位体积上的面内体力分量，且 $F_z=0$。利用切应力互等关系 $\tau_{yx}=\tau_{xy}$，三维平衡方程简化为

$$ \begin{cases} \dfrac{\partial\sigma_x}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+F_x=0\\[6pt] \dfrac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\dfrac{\partial\sigma_y}{\partial y}+F_y=0 \end{cases} $$

横截面边界外法线的方向余弦为 $l,m$，给定的面力分量为 $\bar f_x,\bar f_y$，则应力边界条件为

$$ \begin{cases} \sigma_xl+\tau_{xy}m=\bar f_x\\ \tau_{xy}l+\sigma_ym=\bar f_y \end{cases} $$

若在部分边界给定位移，则在相应边界上采用

$$ u=\bar u,\qquad v=\bar v $$

面内问题的未知量为两个位移、三个应变和三个应力，共八个；两个平衡方程、三个几何方程和三个物理方程与之对应。

4、应变协调方程与莱维方程

由几何方程，交换混合偏导数的次序，得到

$$ \begin{aligned} \frac{\partial^2\varepsilon_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\varepsilon_x}{\partial y^2} &=\frac{\partial^3v}{\partial x^2\partial y} +\frac{\partial^3u}{\partial x\partial y^2}\\ &=\frac{\partial^2}{\partial x\partial y} \left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right) \end{aligned} $$

因此，平面应变的应变协调方程为

$$ \frac{\partial^2\varepsilon_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\varepsilon_x}{\partial y^2} =\frac{\partial^2\gamma_{xy}}{\partial x\partial y} $$

记面内正应力之和为 $S=\sigma_x+\sigma_y$，二维拉普拉斯算子为

$$ \nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} $$

将物理方程代入协调方程，并约去公因子 $(1+\nu)/E$，得

$$ (1-\nu)\left( \frac{\partial^2\sigma_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\sigma_x}{\partial y^2}\right) -\nu\left( \frac{\partial^2\sigma_x}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\sigma_y}{\partial y^2}\right) =2\frac{\partial^2\tau_{xy}}{\partial x\partial y} $$

整理为应力表示的协调方程：

$$ \frac{\partial^2\sigma_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\sigma_x}{\partial y^2} -2\frac{\partial^2\tau_{xy}}{\partial x\partial y} =\nu\nabla^2S $$

当体力 $F_x,F_y$ 为常量时，将第一条平衡方程对 $x$ 求导，第二条对 $y$ 求导，再相加，有

$$ \frac{\partial^2\sigma_x}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\sigma_y}{\partial y^2} +2\frac{\partial^2\tau_{xy}}{\partial x\partial y}=0 $$

故应力协调方程的左端恰为 $\nabla^2S$，从而

$$ (1-\nu)\nabla^2S=0 $$

得到莱维方程

$$ \nabla^2(\sigma_x+\sigma_y)=0 $$

它表示在常体力条件下，面内正应力之和为调和函数。该方程由协调条件结合平衡方程得到，求解应力时还须同时满足两条平衡方程。

二、平面应力问题

1、薄板模型与应力特征

考虑厚度为 $h$ 的薄板，取其中面为 $Oxy$ 平面，厚度方向为 $Oz$ 轴。体力和板边面力均平行于中面，沿厚度方向的分布不变，两大表面 $z=\pm h/2$ 不受外力。

两大表面的应力边界条件为

$$ \left.\sigma_z\right|_{z=\pm h/2}=0,\qquad \left.\tau_{yz}\right|_{z=\pm h/2}=0,\qquad \left.\tau_{xz}\right|_{z=\pm h/2}=0 $$

当板足够薄时，在板内采用近似应力状态

$$ \sigma_z=\tau_{yz}=\tau_{xz}=0 $$

$$ \sigma_x=\sigma_x(x,y),\qquad \sigma_y=\sigma_y(x,y),\qquad \tau_{xy}=\tau_{xy}(x,y) $$

这种问题称为平面应力问题。对实际薄板，上述面内应力可理解为沿厚度方向的平均值，用于描述薄板在面内载荷下的变形。

2、物理方程与厚度变形

将面外应力为零的条件代入广义胡克定律，得到

$$ \begin{aligned} \varepsilon_x&=\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E}\\ \varepsilon_y&=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}\\ \gamma_{xy}&=\frac{2(1+\nu)}{E}\tau_{xy} \end{aligned} $$

面外应变为

$$ \varepsilon_z=-\frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y),\qquad \gamma_{yz}=\gamma_{xz}=0 $$

因此，平面应力状态下通常存在厚度方向的伸缩。按厚度内应变均匀的近似，厚度变化量为

$$ \Delta h=h\varepsilon_z=-\frac{\nu h}{E}(\sigma_x+\sigma_y) $$

若把上述应力和应变状态作为严格的三维场，三维协调条件还要求

$$ \frac{\partial^2\varepsilon_z}{\partial x^2}=0,\qquad \frac{\partial^2\varepsilon_z}{\partial y^2}=0,\qquad \frac{\partial^2\varepsilon_z}{\partial x\partial y}=0 $$

即 $\varepsilon_z$ 只能是 $x,y$ 的一次函数。一般薄板问题采用面内的二维协调条件，忽略由这些额外约束引起的高阶厚度修正，因此所得结果属于薄板近似。

3、基本方程与莱维方程

平面应力问题的面内平衡方程、几何方程和应力边界条件分别为

$$ \begin{cases} \dfrac{\partial\sigma_x}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+F_x=0\\[6pt] \dfrac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\dfrac{\partial\sigma_y}{\partial y}+F_y=0 \end{cases} $$

$$ \varepsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \varepsilon_y=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \gamma_{xy}=\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} $$

$$ \bar f_x=\sigma_xl+\tau_{xy}m,\qquad \bar f_y=\tau_{xy}l+\sigma_ym $$

其中 $u,v$ 取为中面位移或厚度平均位移。面内应变协调方程仍为

$$ \frac{\partial^2\varepsilon_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\varepsilon_x}{\partial y^2} =\frac{\partial^2\gamma_{xy}}{\partial x\partial y} $$

代入平面应力物理方程，得到

$$ \frac{\partial^2\sigma_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\sigma_x}{\partial y^2} -\nu\left( \frac{\partial^2\sigma_x}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\sigma_y}{\partial y^2}\right) =2(1+\nu)\frac{\partial^2\tau_{xy}}{\partial x\partial y} $$

体力为常量时，由平衡方程导出的关系

$$ 2\frac{\partial^2\tau_{xy}}{\partial x\partial y} =-\frac{\partial^2\sigma_x}{\partial x^2} -\frac{\partial^2\sigma_y}{\partial y^2} $$

代入上式，含 $\nu$ 的项相消，仍得到莱维方程

$$ \nabla^2(\sigma_x+\sigma_y)=0 $$

4、两类平面问题的比较

两类问题具有相同的面内平衡方程和几何方程。将平面应力物理方程中的 $E,\nu$ 分别换成 $E_1,\nu_1$，即可得到平面应变的面内物理方程。

三、应力解法与双调和方程

1、以应力为基本未知量

用应力作为基本未知量求解时，在体力 $F_x,F_y$ 为常量的条件下，两类平面问题均要求面内应力满足

$$ \begin{cases} \dfrac{\partial\sigma_x}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+F_x=0\\[6pt] \dfrac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\dfrac{\partial\sigma_y}{\partial y}+F_y=0\\[6pt] \nabla^2(\sigma_x+\sigma_y)=0 \end{cases} $$

前两式保证静力平衡，第三式保证由物理方程求得的应变满足面内协调条件。应力函数将使前两式自动满足，从而只需求解一个标量函数。

2、齐次平衡方程与艾里应力函数

先考虑体力为零时的齐次平衡方程

$$ \frac{\partial\sigma_x}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_y}{\partial y}=0 $$

在单连通区域内，引入标量函数 $A(x,y)$，令

$$ \sigma_x=\frac{\partial A}{\partial y},\qquad \tau_{yx}=-\frac{\partial A}{\partial x} $$

则第一条平衡方程成为

$$ \frac{\partial^2A}{\partial x\partial y} -\frac{\partial^2A}{\partial y\partial x}=0 $$

同理，引入 $B(x,y)$，令

$$ \tau_{xy}=\frac{\partial B}{\partial y},\qquad \sigma_y=-\frac{\partial B}{\partial x} $$

第二条平衡方程也自动满足。利用 $\tau_{xy}=\tau_{yx}$，得到

$$ \frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}=0 $$

再引入标量函数 $U(x,y)$，使

$$ A=\frac{\partial U}{\partial y},\qquad B=-\frac{\partial U}{\partial x} $$

于是，三个应力分量统一表示为

$$ \sigma_x=\frac{\partial^2U}{\partial y^2},\qquad \sigma_y=\frac{\partial^2U}{\partial x^2},\qquad \tau_{xy}=-\frac{\partial^2U}{\partial x\partial y} $$

$U$ 称为艾里应力函数。只要有关混合偏导数可以交换，由上述表达式给出的应力就满足无体力平衡方程。

3、常体力下的应力表达式

体力为常量时，非齐次平衡方程的解可写成齐次方程的解与任一特解之和。可选取两组简单特解：

$$ \sigma_x^{(p)}=0,\qquad \sigma_y^{(p)}=0,\qquad \tau_{xy}^{(p)}=-F_y x-F_x y $$

或

$$ \sigma_x^{(p)}=-F_x x,\qquad \sigma_y^{(p)}=-F_y y,\qquad \tau_{xy}^{(p)}=0 $$

例如，第一组特解满足

$$ \frac{\partial\sigma_x^{(p)}}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{xy}^{(p)}}{\partial y}=-F_x,\qquad \frac{\partial\tau_{xy}^{(p)}}{\partial x} +\frac{\partial\sigma_y^{(p)}}{\partial y}=-F_y $$

将齐次解分别与两组特解相加，得到两种等价的应力表示方式：

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=\frac{\partial^2U}{\partial y^2}\\ \sigma_y&=\frac{\partial^2U}{\partial x^2}\\ \tau_{xy}&=-\frac{\partial^2U}{\partial x\partial y}-F_y x-F_x y \end{aligned} $$

以及

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=\frac{\partial^2U}{\partial y^2}-F_x x\\ \sigma_y&=\frac{\partial^2U}{\partial x^2}-F_y y\\ \tau_{xy}&=-\frac{\partial^2U}{\partial x\partial y} \end{aligned} $$

两种形式中的 $U$ 应分别按各自的边界条件确定；它们通过不同的特解表示同一组平衡方程的解。

4、由协调条件得到双调和方程

采用第二种应力表达式，有

$$ \sigma_x+\sigma_y=\nabla^2U-F_x x-F_y y $$

因为 $F_x,F_y$ 为常量，线性项的二阶导数为零，故

$$ \nabla^2(\sigma_x+\sigma_y)=\nabla^2\nabla^2U $$

代入莱维方程，得到

$$ \nabla^4U =\frac{\partial^4U}{\partial x^4} +2\frac{\partial^4U}{\partial x^2\partial y^2} +\frac{\partial^4U}{\partial y^4}=0 $$

其中 $\nabla^4=(\nabla^2)^2$。该方程称为双调和方程，满足它的函数称为双调和函数。采用第一种应力表达式时也得到同一方程。

平衡方程已由应力函数的形式保证，双调和方程则体现应变协调条件。因此，常体力下的平面应力问题和平面应变问题，均归结为给定边界条件下的双调和方程边值问题。

5、边界条件与位移的恢复

采用第二种常体力应力表达式时，面力边界条件转化为

$$ \begin{cases} l\left(\dfrac{\partial^2U}{\partial y^2}-F_x x\right) -m\dfrac{\partial^2U}{\partial x\partial y}=\bar f_x\\[8pt] -l\dfrac{\partial^2U}{\partial x\partial y} +m\left(\dfrac{\partial^2U}{\partial x^2}-F_y y\right)=\bar f_y \end{cases} $$

求得 $U$ 后，先由二阶导数求应力，再根据问题类型选用相应物理方程求应变，最后积分几何方程求位移。例如，

$$ u(x,y)=\int\varepsilon_x(x,y)\,\mathrm{d}x+g(y),\qquad v(x,y)=\int\varepsilon_y(x,y)\,\mathrm{d}y+f(x) $$

积分中的 $g(y),f(x)$ 由切应变关系

$$ \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=\gamma_{xy} $$

进一步确定。在单连通区域内，协调条件保证面内位移可以相容地恢复。纯面力问题中的位移还允许叠加任意刚体平移和转动：

$$ u\longmapsto u+u_0-\omega_0y,\qquad v\longmapsto v+v_0+\omega_0x $$

其中 $u_0,v_0$ 为平移常数，$\omega_0$ 为微小刚体转角；给定适当的位移约束后，这些常数才能确定。

对于单连通区域的第一类边值问题，若给定体力和全部边界面力满足整体平衡，且应力边界数据不依赖弹性常数，则控制方程与应力边界条件均不含 $E,\nu$。因此，在相同区域和相同载荷下，两类平面问题具有相同的面内应力，且这些面内应力与弹性常数无关。

两类问题的应变和位移仍因物理方程不同而不同；平面应变问题的 $\sigma_z=\nu(\sigma_x+\sigma_y)$ 也仍含泊松比。对于给定位移或混合边界条件的问题，边界条件经应变与位移关系引入弹性常数，面内应力一般也与之有关。

四、用多项式解平面问题

1、多项式逆解法与矩形边界

不计体力时，选取满足双调和方程的多项式应力函数，由其二阶导数求应力，再根据边界上的面力确定它所对应的载荷。这种先给定应力函数、再考察所解问题的方法称为逆解法。多项式及其线性组合尤其适合具有直线边界的平面问题。

对矩形梁，取 $x$ 轴沿梁长向右，$y$ 轴沿截面高度向下，区域为

$$ 0\le x\le L,\qquad -\frac h2\le y\le\frac h2 $$

此处 $L$ 为梁长，$h$ 为梁在 $y$ 方向的高度，沿 $z$ 方向的合力和弯矩均按单位宽度计算。四条边界的面力由外法线确定：

因此，同一应力分量在法线相反的两个面上，对应的面力方向也相反。

2、一次与二次多项式

（1）一次多项式与应力函数的非唯一性

取

$$ U=a_0+a_1x+b_1y $$

其二阶导数全为零，故

$$ \sigma_x=\sigma_y=\tau_{xy}=0 $$

在任意应力函数上增减 $x,y$ 的一次函数，都不改变应力分量。因此，应力函数本身具有这种非唯一性，求应力时可省去一次项与常数项。

（2）二次多项式与均匀应力

取

$$ U=a_2x^2+b_2xy+c_2y^2 $$

其四阶导数均为零，因而任意系数都满足双调和方程。对应应力为

$$ \sigma_x=2c_2,\qquad \sigma_y=2a_2,\qquad \tau_{xy}=-b_2 $$

三个应力分量均为常量，表示均匀应力状态。当 $b_2=0$ 时，为沿两坐标方向的均匀拉压；当 $a_2=c_2=0$ 时，为纯剪切。

3、三次多项式与纯弯曲

取三次齐次多项式

$$ U=a_3x^3+b_3x^2y+c_3xy^2+d_3y^3 $$

四阶导数仍全部为零，因此各系数任意。求二阶导数，得到

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=2c_3x+6d_3y\\ \sigma_y&=6a_3x+2b_3y\\ \tau_{xy}&=-2b_3x-2c_3y \end{aligned} $$

三次应力函数产生随坐标线性变化的应力分布。

例1
矩形梁处于纯弯曲状态，梁高为 $h$，上下边界无面力，两端承受大小相等、方向相反的弯矩。按单位宽度计算，记截面弯矩为 $M$，并以 $M=\int_{-h/2}^{h/2}y\sigma_x\,\mathrm{d}y$ 规定其正号，求应力函数和应力分布。

解
在三次多项式中取 $a_3=b_3=c_3=0$，即

$$ U=d_3y^3 $$

求得

$$ \sigma_x=6d_3y,\qquad \sigma_y=0,\qquad \tau_{xy}=0 $$

因为 $\sigma_y=\tau_{xy}=0$，上下边界的无载条件逐点满足。端截面上的轴向合力为

$$ N=\int_{-h/2}^{h/2}\sigma_x\,\mathrm{d}y =6d_3\int_{-h/2}^{h/2}y\,\mathrm{d}y=0 $$

定义单位宽度的截面惯性矩

$$ I=\int_{-h/2}^{h/2}y^2\,\mathrm{d}y =\left[\frac{y^3}{3}\right]_{-h/2}^{h/2} =\frac{h^3}{12} $$

弯矩条件给出

$$ M=\int_{-h/2}^{h/2}y\sigma_x\,\mathrm{d}y =6d_3I=\frac{d_3h^3}{2} $$

因此，

$$ d_3=\frac{2M}{h^3},\qquad U=\frac{2M}{h^3}y^3 $$

对应的应力分布为

$$ \sigma_x=\frac{12M}{h^3}y=\frac{M}{I}y,\qquad \sigma_y=\tau_{xy}=0 $$

正应力沿高度线性变化，中性轴为 $y=0$。若端面载荷采用这一线性分布，则边界条件逐点满足；若只给定端部合弯矩，则按静力等效处理端部载荷，所得应力用于远离载荷作用区的部分。

4、四次多项式

（1）双调和条件对系数的限制

取

$$ U=a_4x^4+b_4x^3y+c_4x^2y^2+d_4xy^3+e_4y^4 $$

各项对双调和算子的贡献为

$$ \frac{\partial^4U}{\partial x^4}=24a_4,\qquad 2\frac{\partial^4U}{\partial x^2\partial y^2}=8c_4,\qquad \frac{\partial^4U}{\partial y^4}=24e_4 $$

故双调和方程要求

$$ 24a_4+8c_4+24e_4=0 $$

即

$$ 3a_4+c_4+3e_4=0,\qquad e_4=-a_4-\frac{c_4}{3} $$

满足条件的四次多项式可写为

$$ U=a_4x^4+b_4x^3y+c_4x^2y^2+d_4xy^3 -\left(a_4+\frac{c_4}{3}\right)y^4 $$

其中四个系数 $a_4,b_4,c_4,d_4$ 可以独立选取。

（2）应力函数 $U=d_4xy^3$ 对应的载荷

令 $a_4=b_4=c_4=0$，得到

$$ U=d_4xy^3 $$

对应应力为

$$ \sigma_x=6d_4xy,\qquad \sigma_y=0,\qquad \tau_{xy}=-3d_4y^2 $$

在上下边界上，切应力分量均为

$$ \left.\tau_{xy}\right|_{y=\pm h/2}=-\frac34d_4h^2 $$

利用各边界外法线，可得实际面力：

因此，上下边界承受方向相反的均匀切向面力；两端的切向面力沿高度呈抛物线分布；右端另有沿高度线性分布的法向面力，其合力为零而合弯矩为

$$ M_L=\int_{-h/2}^{h/2}y(6d_4Ly)\,\mathrm{d}y =6d_4L\frac{h^3}{12} =\frac12d_4Lh^3 $$

5、五次多项式

（1）双调和条件对系数的限制

取

$$ U=a_5x^5+b_5x^4y+c_5x^3y^2+d_5x^2y^3+e_5xy^4+f_5y^5 $$

分别计算四阶导数，得到

$$ \begin{aligned} \frac{\partial^4U}{\partial x^4}&=120a_5x+24b_5y\\ 2\frac{\partial^4U}{\partial x^2\partial y^2}&=24c_5x+24d_5y\\ \frac{\partial^4U}{\partial y^4}&=24e_5x+120f_5y \end{aligned} $$

双调和方程因而成为

$$ (120a_5+24c_5+24e_5)x +(24b_5+24d_5+120f_5)y=0 $$

该式须对区域内任意 $x,y$ 成立，因此两个一次项的系数分别为零：

$$ \begin{cases} 120a_5+24c_5+24e_5=0\\ 24b_5+24d_5+120f_5=0 \end{cases} $$

解出

$$ e_5=-(5a_5+c_5),\qquad f_5=-\frac15(b_5+d_5) $$

于是，满足双调和方程的五次多项式为

$$ \begin{aligned} U={}&a_5x^5+b_5x^4y+c_5x^3y^2+d_5x^2y^3\\ &-(5a_5+c_5)xy^4-\frac15(b_5+d_5)y^5 \end{aligned} $$

其中仍有四个独立系数。

（2）一个五次应力函数对应的载荷

取 $a_5=b_5=c_5=0$，则

$$ U=d_5x^2y^3-\frac15d_5y^5 $$

求二阶导数，得到

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=6d_5x^2y-4d_5y^3\\ \sigma_y&=2d_5y^3\\ \tau_{xy}&=-6d_5xy^2 \end{aligned} $$

上下边界的应力分量为

$$ \left.\tau_{xy}\right|_{y=\pm h/2}=-\frac32d_5h^2x,\qquad \left.\sigma_y\right|_{y=h/2}=\frac14d_5h^3,\qquad \left.\sigma_y\right|_{y=-h/2}=-\frac14d_5h^3 $$

据此得到四条边界上的面力：

上下边界的切向面力沿梁长线性变化，法向面力均匀；两端的法向面力含有高度的三次项，右端还承受沿高度呈抛物线分布的切向面力。

双调和方程是线性的，不同次数的双调和多项式可以叠加。由边界面力的分布选取相应项，再利用边界条件确定系数，即可构造与给定载荷相适应的多项式应力函数。