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一、勒让德变换[!NOTE]将原有的独立变量的一部分或者全部，换为相应的共轭变量，从而得到一个新函数，这种变换称为勒让德变换。1、一元函数勒让德变换函数$f(x)$是变量$x$的函数，且$u(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$，可以构造一个新的以$u$为自变量的函数：$$ g=xu-f $$取$g$的全微分：$$ \mathrm{d}g=x\mathrm{d}u+u\mathrm{d}x-\mathrm{d}f=x\mathrm{d}u $$也就是：$$ x=\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{…

一、第二类拉格朗日方程一般地，质点系各个质点的矢量坐标可以表示为广义坐标的函数$\vec{r}=\vec{r}_i(q_1,q_2,\cdots,q_k;t)$。质点速度相应地通过广义速度表示为：$$ \dot{\vec{r}}_i=\sum_{l=1}^k\frac{\partial {\vec{r}}_i}{\partial q_l}\dot{q}_l+\frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial t} $$上式两边对广义速度$\dot q_j$求偏导数，得到消点规则：$$ \frac{\partial {\vec…

一、广义坐标1、自由度一般情况下，一个由$n$质点组成的质点系在空间的位形用直角坐标来确定需要$3n$个坐标，即：$$ x_i,\, y_i,\, z_i \quad (i = 1,\, 2,\, \ldots,\, n) $$如果系统受到$s$个完整约束，其约束方程为：$$ f_j(x_1,\, y_1,\, z_1;\, \ldots;\, x_n,\, y_n,\, z_n;\, t) = 0 \quad (j = 1,\, 2,\, \ldots,\, s) $$则系统的$3n$个坐标并不完全独立，只有$k = 3n - s$个坐标是独立的（余下…

一、约束方程与约束分类1、约束方程非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的平衡。约束的作用在于：一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该物体受到约束力的作用；而另一方面，约束也容许物体有可能沿另一些方向获得位移。 当质点系平衡时，主动力与约束力之间，以及主动力与约束所许可位移之间，都存在着一定的关系。这两种关系都可以作为质点系平衡的判据。刚体静力学利用了前一种情况，通过主动力和约束力之间的关系表示出刚体的平衡条件。而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点系的平衡条件。虚位移原理运用动力…

一、达朗贝尔原理1、质点达朗贝尔原理设质量为$m$的非自由质点$D$，在主动力$F$和约束力$F_N$作用下沿曲线运动，该质点的动力学基本方程为：$$ m\vec{a}=\vec{F}+\vec{F}_N $$或：$$ \vec{F}+\vec{F}_N+(-m\vec{a})=\vec{0} $$引入质点的惯性力$\vec{F_1}=-m\vec{a}$的概念，于是上式可以写为：$$ \vec{F}+\vec{F}_N+\vec{F}_I=\vec{0} $$上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系…

一、初瞬时问题初瞬时问题，即系统本来静止，突然因为某个原因导致开始运动。例1：均质杆$AB$的质量为$m_1$，长度为$l$，上端$B$靠在光滑的墙壁上，下端与圆柱的中心$A$铰接。均质圆柱的质量为$m_2$ ，半径为$r$，可沿固定水平面滚动而不滑动。假设系统在$\varphi_0=30\mathrm{\degree}$位置由静止释放，试求在初瞬时圆柱质心的$A$加速度。解：考虑从初始条件开始，到任意角度时系统的情况，代入初始条件从而求解。应用动能定理：$$ T = \frac{1}{2}m_2v_A^2 + \frac{1}{2}\left(\fra…

一、力的功1、前面的你都会[!WARNING]菜，就多练！2、作用于刚体力系的功(1) 平移刚体上力的功设一刚体在力 $F$ 作用下作平移，其质心在 $C$ 点，刚体上点 $A$ 的矢径是 $r$，速度是 $v$，则力 $F$ 的元功为：$$ \mathrm{d}W = F \cdot \mathrm{d}r = F \cdot \mathrm{d}r_C $$或者$$ \mathrm{d}W = F \cdot v\,\mathrm{d}t = F \cdot v_C\,\mathrm{d}t $$总功表达式为：$$ \sum \mathrm{d}W …

一、动量矩1、质点的动量矩(1) 对点的动量矩质点$A$的动量$m\vec{v}$对点$O$的矩，定义为质点$A$对点$O$的动量矩：$$ \vec{L}_O(m\vec{v})=\vec{r}\times m\vec{v} $$$$ \vec{L}_0(m\vec{v})=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\x&y&z\\mv_x&mv_y&mv_z\end{vmatrix}=m(yv_z-zv_y)\boldsymbo…

一、动量与冲量1、动量定义质点系的动量为所有质点动量的矢量和：$$ \vec{p}=\sum m_i\vec{v}_i $$质点系的动量也可以向坐标轴进行投影：$$ \vec{p}_x=\sum m\vec{v}_x\quad \vec{p}_y=\sum m\vec{v}_y\quad \vec{p}_z=\sum m\vec{v}_z $$质点系质心$C$的矢径表达式为：$$ r_C=\frac{\sum m_ir_i}{\sum m_i}=\frac{\sum m_ir_i}M\Rightarrow Mr_c=\sum m_ir_i $$当质点系运…

[!NOTE]这一章节很水，只写一下自然形式的质点运动微分方程自然形式的运动和受力示意图为：如采用自然轴，并把上式向各轴投影，可得：$$ m\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2}=F_t $$$$ m\frac{v^2}\rho=F_n $$$$ 0=F_b $$上面三个式子中：$$ \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2}=a_t $$$$ \frac{v^2}{\rho}=a_n $$$$ 0=a_b $$是加速度$\vec{a}$在切线、主法线和副法线的正向投影，而$F_t,F_…

一、刚体平面运动的运动方程1、刚体平面运动简化刚体平行于某固定平面$I$作平面运动，现取一个与平面$I$相平行的平面$II$截取刚体，得到一个平面图形$S$。当刚体运动时，平面图形$S$将始终保持在平面$II$内运动。平面运动刚体上$A$点的运动状态与过$A$点且垂直于固定平面的垂直直线上各点的运动状态完全一样。数学上满足：$$ \begin{aligned} &\vec{r}_{A_1} = \vec{r}_A + \vec{r}_{AA_1} \\ &\vec{v}_{A_1} = \vec{v}_A + \frac{\mathrm{…

一、合成运动基本概念1、两种参考系静参考系（定系）：相对地面不动的参考系。动参考系（动系）：相对静系运动着的参考系。2、三种运动(1) 三种运动定义绝对运动：动点对于定参考系的运动。绝对运动轨迹：动点相对定系的运动轨迹。相对运动：动点对于动参考系的运动。相对运动轨迹：动点相对动系的运动轨迹。牵连运动：动参考系对于定参考系的运动。(2) 绝对、相对、牵连运动间的关系设绝对运动符号$x,y$，相对运动符号$x',y'$，牵连运动符号$x_0,y_0,\varphi$。根据坐标变换：$$ x=x_{o^{\prime}}+x^{\prime…

一、矢量法1、点的运动方程点的运动方程是描述点的位置、速度和加速度随时间变化的数学方程。由定点$O$画到动点$M$的有向线段$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol{r}$称为动点$M$的矢径，它的分解式可以表示为下面的方程：$$ \boldsymbol{r}=\overrightarrow{OM}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k} $$矢径唯一地决定了点$M$的位置。当点$M$运动时，矢径$\boldsymbol{r}$是随时间而变的矢量。一般可表示为时间$t$的单值…

[!TIP]刚体是由无数点组成的，在点的运动学基础上可研究刚体的运动，并且研究刚体运动与刚体上各点运动之间的关系。刚体的两种最简单的运动是平移和定轴转动。以后可以看到，刚体更复杂的运动可以看成由这两种运动的合成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。一、刚体的平移1、平移的定义在运动过程中，刚体上任意一条直线的方向都保持不变。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的平行移动，简称为平移。2、平移的性质当刚体作平移时，体内所有各点的轨迹形状完全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点的加速度也相等。证明：因为这是一个刚体，并且进行的是平移运动，所以刚体内任…

一、简单平面桁架的内力计算1、相关概念桁架：所有杆件都在同一平面内的桁架。平面桁架：所有杆件都在同一平面内的桁架。节点：桁架中杆件的铰链接头。杆件内力：各杆件所承受的力。简单平面桁架：以一个铰链三角形框架为基础，每增加一个节点需增加两根杆件。简单平面桁架是静定桁架。2、三角形扩大法则对于平面简单桁架，除去第一个三角形外（$3$个节点$3$根杆），杆件数应为节点数的$2$倍。桁架杆数$m$和节点数$n$满足：$$ (m-3)=2(n-3) \Rightarrow m = 2n-3 $$分析上面的式子，$m+3$中，$m$表示$m$根杆有$m$个内力（未知量…