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一、拉普拉斯变换1、拉普拉斯变换的定义傅里叶积分和傅里叶变换的应用要满足以下两个条件：原函数$f(t)$定义域为$(-\infty,+\infty)$。原函数$f(t)$在定义域$(-\infty,+\infty)$区间上必须是绝对可积。为了能让更多的函数能够应用傅里叶变换，我们构造一个新的函数$g(t)$：$$ g(t)=e^{-\sigma t}f(t)H(t) $$通过引入阶跃函数$H(t)$后可以把$f(t)$函数延拓到整个实轴上$(-\infty,+\infty)$，只不过在$(-\infty,0)$上的函数值为$0$。后面内容将会省略$H(t…

一、傅里叶级数1、周期函数的傅里叶展开(1) 三角函数族$$ \forall x,f(x+T)=f(x) $$那么称函数$f(x)$是以$T$为周期的周期函数，与该周期对应的原频率（称之为基频）为：$$ \omega =\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{l} $$对应的三角频率的三角函数族为（或者三角函数序列为）：$$ 1(\cos0x),\cos\omega x,\cos2\omega x,\cdots\cos k\omega x,\cdots $$$$ \sin\omega x,\sin\omega x,\cdots\sin k\o…

一、留数定理1、留数如果复变函数$f(z)$有一个孤立奇点$z_{0}$，$f(z)$在$z_{0}$的去心邻域上是解析。根据洛朗级数展开定理，在以$z_{0}$为圆心、内半径足够小的圆环域上，$f(z)$可以展为洛朗级数：$$ f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}(z-z_{0})^{k} $$在洛朗级数的收敛环中取任意一个包围$z_{0}$的小回路$l_{0}$，计算回路积分：$$ \oint_{l_{0}}f(z)\mathrm{d}z=\oint_{l_{0}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}a…

一、函数级数与复（函）数级数1、函数级数相关性质(1) 函数级数如果级数每一项都为函数：$$ S=\sum_{k=0}^{\infty}u_k\left(z\right) $$则称其为函数级数。(2)函数级数的点收敛性（单点收敛）如果对于某一个点$z_0$，级数$\Sigma u_k\left(z_0\right)$收敛，那么我们称级数在$z_0$收敛。(3)函数级数的区域收敛性（逐点收敛）如果级数对于区域内的每一点都收敛，那么我们称级数在区域收敛。(4)级数的一致收敛性（一致收敛）对于$\forall\varepsilon>0$，$\exists…

[!NOTE]在“数学物理方法”分类中，所有文章的闭合曲线积分方向如下规定：沿着曲线行走，要积分的区域一直在左手方位，那么行走的方向即为积分方向。一、复变函数的积分1、复变函数积分的定义给定一个复变函数$f(z)$以及复平面上的一条光滑的曲线$l$。我们把光滑的曲线分成$n$段（不一定是均分），其中$n+1$个点的坐标分别为：$$ z_k,k=0,1,2,...,n $$在第 $k$ 个分段$[z_k-1,z_k]$上任意取一点$\zeta_k\in[z_k-1,z_k]$，进行如下的求和：$$ \sum_{k=1}^nf\left(\zeta_k\ri…

一、复数的基本概念1、复数的表示复数有三种表示方法：代数表示：$z=x+y\mathrm{i}$三角表示：$z=\rho(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)$指数表示：$z=\varphi \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$三角表示与指数表示之间的转换利用到了欧拉公式：$$ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}=\cos \varphi + \mathrm{i}\sin\varphi $$上述表示方法中，$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$为复数$z$的模，$\v…