一、安培力
1、安培力推导
安培力是通电导线在磁场中受到的作用力。根据上一篇文章磁学的基本现象和规律，可知安培定律的表达式为：
$$ \mathrm{d}\vec{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i_2\mathrm{d}\vec{s}_2\times(i_1\mathrm{d}\vec{s}_1\times\hat{r}_{12})}{r_{12}^2} $$
以及毕奥-萨法尔定律：
$$ \mathrm{d}\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i\,\mathrm{d}\vec{s} \times \hat{r}}{r^2} $$
将两式结合，可以得到安培力的表达式：
$$ \mathrm{d}F=i\mathrm{d}\vec{s}\times\vec{B} $$
对于通电直导线来说，安培力可以直接写成：
$$ \vec{F}=i\vec{l}\times\vec{B} $$
2、安培力应用
(1) 两通电平行指导线的相互作用力
两根平行导线分别携带电流 $ i_1 $ 和 $ i_2 $，相隔距离 $ d $。导线间的相互作用力由电磁场产生。
根据毕奥-萨伐尔定律，第一根导线在第二根导线位置处产生的磁场为：
$$ B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi d} $$
第二根导线受到第一根导线产生的磁场作用，其微元段 $ \mathrm{d}s_2 $ 受到磁力：
$$ \mathrm{d}\vec{F}_{12} = i_2 \mathrm{d}s_2 \times \vec{B}_1 $$
由于导线间的磁场与电流方向垂直，力的大小为：
$$ \mathrm{d}F_{12} = i_2 \mathrm{d}s_2 B_1 $$
将 $ B_1 $ 的表达式代入：
$$ \mathrm{d}F_{12} = i_2 \mathrm{d}s_2 \cdot \frac{\mu_0 i_1}{2\pi d} $$
将导线的长度单位化，磁力每单位长度为：
$$ f = \frac{\mathrm{d}F_{12}}{\mathrm{d}s_2} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2\pi d} $$
(2) 矩形线圈受到的安培力矩
一个矩形电流环处于均匀磁场 $ \vec{B} $ 中，其电流 $ i $ 通过导线流动。电流环受到磁场的作用力，并产生一个力矩使其趋向于与磁场方向对齐。线圈电流产生的磁场对另外导线的作用力仅沿着导线框所在的平面，不产生力矩。
矩形电流环边长为 $ a $ 和 $ b $，其四条边分别标记为 $ AB, BC, CD, DA $。磁力由磁场对每段导线施加的洛伦兹力产生：
$$ \vec{F} = i \vec{l} \times \vec{B} $$
对于垂直于磁场的边 $ AB $ 和 $ CD $，电流方向与磁场方向垂直，因此磁力大小为：
$$ F_{AB} = F_{CD} = i \cdot a \cdot B $$
力的方向根据右手定则，与纸面垂直（我感觉老师给的图中的$F_1,F_2$方向错误了，不应该与线圈平面垂直）。
对于平行于磁场的边 $ BC $ 和 $ DA $，其产生的磁力相互抵消：
$$ F_{BC} = F_{DA} = 0 $$
磁力对矩形环的中心产生力矩 $ \vec{\tau} $，其大小为：
$$ \vec{\tau} = \sum \vec{r} \times \vec{F} $$
对于边 $ AB $ 的力矩，环中心到力作用线的垂直距离为 $ \frac{b}{2} $，力矩大小为：
$$ \tau_{AB} = F_{AB} \cdot \frac{b}{2} \cdot \sin\theta $$
其中 $ \theta $ 是磁场 $ \vec{B} $ 与环平面法向量 $ \vec{n} $ 的夹角。
总力矩为两边力矩的加和（根据对称性直接得出另一边的力矩）：
$$ \tau = \tau_{AB} + \tau_{CD} = i a B \cdot \frac{b}{2} \sin\theta + i a B \cdot \frac{b}{2} \sin\theta $$
化简得：
$$ \tau = i a b B \sin\theta $$
矩形环的面积为：
$$ A = a b $$
定义电流环的磁矩：
$$ \vec{\mu} = i \vec{n} A $$
其中 $ \vec{n} $ 是环平面的法向量，力矩可以写为：
$$ \vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B} $$
(3) 任意形状的线圈受到的安培力矩
取沿着磁场方向取同一对称位置的微小线圈元，计算每一个微小电流源的受力：
$$ \mathrm{d}F_1=i\mathrm{d}_1B\sin\theta_1 $$
$$ \mathrm{d}F_2=i\mathrm{d}s_2B\sin\theta_2 $$
其中：
$$ \mathrm{d}s_1\sin\theta_1=\mathrm{d}s_2\sin\theta_2=\mathrm{d}h $$
则：
$$ \mathrm{d}F_1=\mathrm{d}F_2=iB\mathrm{d}h $$
计算力矩：
$$ \begin{aligned}\mathrm{d}\tau&=\mathrm{d}F_1\cdot x_1+\mathrm{d}F_2\cdot x_2\\&=iB\mathrm{d}h(x_1+x_2)\\&=iB\mathrm{d}A\end{aligned} $$
积分得到：
$$ \tau=iAB=\mu B $$
若$\vec{n}\cap\vec{B}=\theta$，则$ \vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B} $
(4) 磁偶极矩的能量
$$ U=-\int\vec{\tau}\cdot\mathrm{d}\theta=-\int\mu B \sin\theta\mathrm{d}\theta $$
当$ \theta=90\degree $时，得到：
$$ U=-\vec{\mu}\cdot \vec{B} $$
[!NOTE]
与电偶极子能量的表达式：
$$ U=-\vec{p}\cdot\vec{E} $$
相互比较
二、洛伦兹力
1、洛伦兹力定义
洛伦兹力表示运动电荷在磁场中的受力，计算公式为：
$$ \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B} $$
在匀强磁场中电子做匀速圆周运动时，其周期为：
$$ T=\frac{2\pi m}{qB} $$
圆周运动半径为：
$$ R=\frac{mv}{qB} $$
2、洛伦兹力与安培力
安培力可以由洛伦兹力推导而来，取微小长度$\Delta s$的带电导线，电荷密度为$n$，电荷运动速度为$u$，在微小时间$\Delta t$内，通过的电量为：
$$ \Delta q=en A\cdot u\Delta t $$
电流为：
$$ i=\frac{\Delta q}{\Delta t}=nAue $$
将每一个电荷所受到的洛伦兹力求和：
$$ \begin{aligned} F_A&=nA\Delta s f_L \\&=nA\Delta s euB \\&=B(euAn)\Delta s \\&=Bi\Delta s \end{aligned} $$