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微积分学提供了求函数导数与定积分的解析方法，但在实际问题中，函数往往以离散数据形式给出，或虽具有解析表达式却难以求导或原函数无法用初等函数表示。因此，需要建立基于离散点上的函数值来近似计算导数与积分的数值方法，分别称为数值微分与数值积分。一、数值微分数值微分的基本思想是利用函数在若干点上的值，通过差商或插值多项式来近似函数的导数。1、差商型求导公式由导数的定义$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$当步长 $h$ 充分小时，可用差商近似导数。常用的差商公式有：向前差商公式$$ f'(x…

在前几章中，我们讨论了插值法，其核心要求是近似函数必须严格通过所有给定的数据节点。然而，在实际工程与科学实验中，观测数据往往带有测量误差，且数据点数量庞大。若强行要求近似曲线穿过每一个点，不仅计算复杂，还可能因过度拟合而放大噪声，导致曲线剧烈振荡，反而无法反映被研究现象的整体变化规律。为此，我们需要另一类数值方法——曲线拟合（又称函数逼近）。它不要求近似函数在节点处与函数值完全相等，即不要求近似曲线过已知点，只要求它尽可能反映给定数据点的基本趋势，在某种意义下与原始函数最“逼近”。设给定一组观测数据 $(x_i, y_i)\ (i=0,1,\cdots,…

在生产实践中，由于给出的通常是一批离散的样点，为了满足设计和理论分析的需要，我们需要寻求函数的分析表达式。解决这类问题主要有两类方法：一类是要求近似函数严格通过给定的已知样点，这称为插值法；另一类则不要求严格通过已知点，只要求总偏差最小，称为曲线拟合法。本文详细梳理插值法（特别是多项式插值）的理论、公式推导及误差分析。一、拉格朗日 (Lagrange) 插值1、多项式插值原理代数插值的基本问题是：已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的 $n+1$ 个互异点 $x_0, x_1, \dots, x_n$ 处的函数值为 $y_i = f(x_i…

一、幂法和反幂法1、幂法由于求解特征方程$|\boldsymbol{I}-\lambda\boldsymbol{A}|=0$的计算量巨大，所以在求解特征值时，要从特征值的定义$$ \boldsymbol{Ax}=\lambda\boldsymbol{x} $$入手。设 $n \times n$ 阶实矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_i \ (i=1,2,\cdots,n)$ 满足：$$ |\lambda_1| > |\lambda_2| \geq \cdots \geq |\lambda_n| $$且与 $\lambda_i\ (i=1,2…

线性方程组具有一般形式：$$ \begin{cases}&a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\&a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\&\vdots\\&a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{cases} $$其中，$a_{ij}, b_i$为常数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$为未知量。上式也可写成矩阵形式：$$ \boldsymbol{A}x=b $$如果线性…

一、误差的基本概念由数学方法解决实际问题时，通常按照以下过程：$$ 实际问题\xrightarrow{抽象、简化}数学模型\xrightarrow{数值计算}问题近似解 $$引起误差的原因有很多：模型误差：实际问题的解与数学模型解的之差。观测误差：数学问题的一些参量的值往往由观测得到，但是观测不可能绝对准确，由此产生的误差称为“观测误差”。截断误差：一般数学问题难以求出精确解，需要简化为较易求解的问题，以简化问题的解作为原问题解的近似，例如泰勒展开后省略后面的无穷多项。舍入误差：计算过程中，受到机器字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成一定的位数，…