[!TIP]
刚体是由无数点组成的，在点的运动学基础上可研究刚体的运动，并且研究刚体运动与刚体上各点运动之间的关系。刚体的两种最简单的运动是平移和定轴转动。以后可以看到，刚体更复杂的运动可以看成由这两种运动的合成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。
一、刚体的平移
1、平移的定义
在运动过程中，刚体上任意一条直线的方向都保持不变。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的平行移动，简称为平移。
2、平移的性质
当刚体作平移时，体内所有各点的轨迹形状完全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点的加速度也相等。
证明：
因为这是一个刚体，并且进行的是平移运动，所以刚体内任意线段$AB$的长度和方向都保持不变。因为：
$$ \overrightarrow{AB}=\vec{r}_B-\vec{r}_A $$
两边求导得：
$$ v=v_B-v_A=0 $$
再求导一次，得出加速度相等。
应该注意，平移刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。如果平移刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特殊情形称为平面平移或直线平移。由上述定理可见，当刚体作平移时，只需给出刚体内任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平移问题就可视为点的运动问题来处理。
二、刚体的定轴转动
1、定轴转动的定义
当刚体运动时，如其上或其延展部分有一条直线始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动。该固定不动的直线称为转轴。
2、定轴转动的特点
当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。
3、研究定轴转动的参数
(1) 角坐标
刚体的位置可以由角$\varphi$完全确定，称为角坐标，当刚体转动时，角坐标随时间变化，因此可以表示成时间$t$的单值连续函数：
$$ \varphi =f(t) $$
约定自$z$轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计算角$\varphi$，取正值；反之为负。
(2) 角速度
角$\varphi$对时间的导数，称为刚体的角速度（代数值）以$\omega $表示。故有：
$$ \omega=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}=f'(t)=\dot{\varphi} $$
角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内转角的变化。当转角$\varphi$随时间而增大时，$\omega $为正值，反之为负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。
(3) 角加速度
角速度$\omega$对时间的导数，称为角加速度（代数值），以$a$代表，故有
$$ \alpha=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}=f'(t)=\ddot{\varphi} $$
它表示单位时间内角速度的变化。
$\alpha$和$\omega $正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作加速转动；反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚体作减速转动。但减速转动只到$\omega=0$时为止。 刚体由静上开始的转动都是加速转动。
[!NOTE]
其他类似于切向加速度、法向加速度、线速度等的计算方法与定义，与普通物理学相同。
三、刚体内各店的速度与加速度矢积表示
1、角速度与角加速度的矢量表示
(1) 角速度矢
沿刚体的转轴$z$画出一个矢量$\omega = \omega k$其中$k$为轴$z$的单位矢$\omega $称为刚体的角速度矢。它的作用线表示出转轴的位置，而它的模则表示出角速度$\omega $的绝对值。$\omega $的指向由右手规则决定。定轴转动刚体的角速度矢$\omega $被认为是滑动矢量，可以从转轴上的任一点画出。
(2) 角加速度矢
同样，可以用矢量$\alpha = \alpha k$表示刚体的角加速度，它也是滑动矢量，沿转轴$z$画出。它的大小表示角加速度的模，它的指向则决定于$\alpha$的正负。
$$ \omega=\omega k=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}k $$
$$ \alpha=\alpha k=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}k=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} $$
2、刚体内各点的速度与加速度矢积表示
(1) 速度矢积表示法
定轴转动刚体内任一点$M$的速度$ v $的大小为$| v | = R| \omega |$。由于$R=r\sin\theta$，因而$| v |=R|\omega|=|\omega|r\sin\theta$。
根据矢积的定义，矢积$\omega\times r$的模也等于$|\omega|r\sin\theta$，它的方向也与速度$ v $的方向一致，故有矢积表达式：
$$ v =\omega\times r $$
定轴转动刚体内任一点的速度，可以由刚体的角速度矢与该点的矢径的矢积来表示。
(2) 加速度矢积表示法
将速度矢积表达式左右两边对时间求导数。左端的导数为点$M$的加速度，而右端的导数为：
$$ \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\times r+\omega\times\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\alpha\times r+\omega\times v $$
上式第一个矢积的模为：
$$ \left|\alpha\times r\right|=\left|\alpha\right|r\sin\theta=R\left|\alpha\right|=\left|a_{t}\right| $$
此矢积垂直于由转轴$z$和转动半径$O_1M$决定的平面$OO_1M$，它的指向与图中自点$O$画出的矢量一致。可见，矢积$\alpha\times r$按大小和方向都与点$M$的切向加速度$a_t$相同。故有矢积表达式：
$$ a_{\mathrm{~t}}=\alpha\times r $$
第二个矢积的模为：
$$ \left|\omega\times v\right|=\left|\omega v\right|=R\omega^2=a_n $$
此矢积同时垂直于刚体的转轴和点$M$的速度$ v $，即沿点$M$的转动半径$R$，并且按照右手规则它是由点$M$指向轴心$O_1$。可见，矢积$\omega\times v$表示了点$M$的法向加速度$a_n$，即有矢积表达式：
$$ a_{n} = \omega \times v $$
附加证明：
对于固结在刚体上的动坐标系 $ j's't'u' $ 的单位矢量 $\vec{f}'$（包括 $\vec{d}'$, $\vec{e}'$, $\vec{f}'$），它们在随体转动时相对空间（惯性系）$O$点的时间导数，依据理论力学的旋转矢量表达式，有：
$$ \left. \frac{d\vec{f}'}{dt} \right|_O = \vec{\omega} \times \vec{f}' $$
这是因为坐标系自身随刚体一起以角速度$\vec{\omega}$绕$OZ$轴转动，单位矢量在空间中变化率等于$\vec{\omega}$和该单位矢量的叉乘。
同理，对于$\vec{d}'$, $\vec{e}'$也完全相同：
$$ \left. \frac{d\vec{d}'}{dt} \right|_O = \vec{\omega} \times \vec{d}'\ \\ \left. \frac{d\vec{e}'}{dt} \right|_O = \vec{\omega} \times \vec{e}' $$
这证明了三组单位矢量在刚体角速度$\vec{\omega}$作用下的导数关系，即动坐标系单位矢量对时间的导数为$\vec{\omega} \times$它本身。
