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一、三类柱函数前面已经求出$\nu$阶贝塞尔方程的通解，即：$$ y(x)=C_1J_\nu(x)+C_2J_{-\nu}(x) $$或者是：$$ y(x)=C_1J_\nu(x)+C_2N_{\nu}(x) $$其中第一个通解不适用于整数$m$阶贝塞尔方程，但是第二个对整数阶的情况照样适用。通常又取线性独立的两个函数：$$ H_\nu^{(1)}(x)=J_\nu(x)+\mathrm{i}N_\nu(x) $$$$ H_\nu^{(2)}(x)=J_\nu(x)-\mathrm{i}N_\nu(x) $$这两个函数叫做第一种和第二种汉克尔函数，于是$…

根据前面的知识，对拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程进行分离变量，得到球函数方程：$$ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2}+l(l+1)Y=0 $$球函数方程的解$Y(\theta,\varphi)$称为球函数，即定义在半径$r$的球面上的函数，然后再分离变量，得到：…

一、特殊函数常微分方程圆球形和圆柱形就是两种常见的边界，相应地用球坐标系和柱坐标系比较方便。本文研究球坐标系和柱坐标系中的分离变数法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。1、拉普拉斯方程$\Delta =0$(1) 球坐标系写出球坐标系下拉普拉斯方程：$$ \Delta u=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\…

设$n$阶常数矩阵$\mathbf{A}$中的每一元素$a_{ij}\ (i,j=1,\cdots,n)$都是常数，则称$$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} + \mathbf{f}(t) $$为常系数线性微分方程组。我们先介绍常系数齐次方程组$$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} $$的解法，再讨论常系数非齐次方程组的情形。一、常系数齐次线性方程组的解法与解常系数线性方程类似，根据方程组是齐次、线性，…

我们约定向量用粗体小写字母表示，如 $\mathbf{x}$，矩阵用大写字母表示，如 $A$。该部分考试不做要求。一、一阶微分方程组的标准形式含有 $n$ 个未知函数 $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$ 的 $n$ 个一阶微分方程构成的一阶微分方程组，如果已经解出了一阶导数 $\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t}, \ldots, \frac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t}$，则其标准形式可以写为：$$ \begin{cases} \frac{\mathrm{d}x_1}…

本文系统介绍一般线性微分方程的部分解法，包括：变量变换法（欧拉方程、降阶法、特殊变系数方程）、变动任意常数法、幂级数解法（定理、$\gamma$ 阶贝塞尔方程及其解）。一、变量变换法1、欧拉方程（Cauchy-Euler 方程）典型形式：$$ a_{0}x^{n}\frac{\mathrm{d}^{n}n}{\mathrm{d}x^{n}}+a_{1}x^{n-1}\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_{n}…

本文将系统介绍常系数线性微分方程的解法方法，分别包括二阶常系数齐次线性微分方程、$n$ 阶常系数齐次线性微分方程、以及常系数非齐次线性微分方程的解法。详细推导各步骤，便于理解和掌握。一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法考虑如下方程：$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + a_1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_0 y = 0 $$其中 $a_0, a_1$ 为常数。1、特征方程法设 $y = e^{\lambda x}$，代入原方程：$$ \frac{\mathrm{d}^2…

本篇文章讨论几种特殊形式的二阶微分方程，他们可以经过适当的变量替换降阶为一阶微分方程，称为可降阶的二阶微分方程，这里所用的一些处理方法，对于高阶方程也适用。下面讨论三种情况下的求解方法。一、$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=f(x)$型的微分方程对于标题指出的这类方程，只需积分两次，就能求得解。积分一次得到：$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\int f(x)\mathrm{d}x+c_1 $$再积分一次得到：$$ \begin{aligned}y&=\int\left[…

一、线性微分方程1、方程形式我们将未知函数 $y$ 及其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$ 是一次式的 $n$ 阶微分方程，称为线性微分方程。这是在应用中经常遇到的一类方程，其一般形式是：$$ \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n} + p_1(x) \frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + p_{n-1}(x) \frac{\m…

一、全微分方程定义与性质我们将一阶方程改写为对称的形式：$$ M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y = 0 $$如果上式的左边恰好是某一个二元函数 $u(x, y)$ 的全微分，即：$$ M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y = \mathrm{d}u(x, y) $$则称之为全微分方程，$u(x, y)$ 称为它的一个原函数。设 $y = y(x)$ 是全微分方程的一个解，且 $y(x_0) = y_0$。则：$$ M(x, y(x)) \mathrm{d}x + N(…

一般，在一个（组）方程中，如果未知量是一个（组）函数，而且该方程中含有此未知函数的导数，则称这种方程为微分方程（组），如果在微分方程里，出现的未知函数是单个自变量的函数，我们称这一类微分方程为常微分方程。下面通过几篇文章，推导各种常微分方程的求解方法。一、可分离变量方程我们首先讨论已解出导数的一阶微分方程的一种特殊形式$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(x)\psi(y) $$的方程，其特点是，方程右边是一个$x$的函数与一个$y$的函数的乘积，我们称这类方程为可分离变量的微分方程。设$\varphi(x…