老官童鞋gogo的博客

一、平面二维流动模型当流体绕足够长的柱形物体流动，且远离柱体端部时，各个垂直于柱体轴线的平面内可以具有相同的流动状态，从而将三维流动简化为平面二维流动。取柱体轴线为 $z$ 轴，则平面二维流动的速度可写为$$ \boldsymbol{V}=u(x,y,t)\boldsymbol{i}+v(x,y,t)\boldsymbol{j} $$此时 $w=0$，各流动物理量与 $z$ 无关。对于不可压缩流体，连续性方程简化为$$ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0 $$有旋与无…

一、悬臂梁自由端受横向力作用无体力时，采用艾里应力函数 $U(x,y)$，应力分量与双调和方程为$$ \sigma_x=\frac{\partial^2U}{\partial y^2},\qquad \sigma_y=\frac{\partial^2U}{\partial x^2},\qquad \tau_{xy}=-\frac{\partial^2U}{\partial x\partial y},\qquad \nabla^4U=0 $$边界外法线的方向余弦为 $l,m$，边界面力为 $\bar f_x,\bar f_y$，则$$ \bar f_x=l…

一、流体运动的一维模型与基本方程1、一维流动模型一维流动是指速度、压强、密度等流动物理量只随一个空间坐标变化的流动。若这些物理量与时间无关，则为一维定常流动；若还随时间变化，则为一维非定常流动。以流线或微元流束的中心流线为坐标线时，沿该流线的运动可按一维流动研究。管道或槽道中各物理量在过流截面上通常并不均匀。将截面上的物理量视为均匀分布，或用适当的截面平均量描述流动，所得模型称为准一维流动。它既描述物理量沿流道轴线的变化，也考虑过流截面面积变化对质量、动量和能量输运的影响。准一维模型通常要求流道截面沿程变化缓慢而连续，轴线曲率半径远大于截面尺度，所研究的…

一、无阻尼系统的受迫振动1、振型叠加分析法考虑具有 $n$ 个自由度的无阻尼线性系统。记物理位移列向量为 $\boldsymbol{x}(t)$，外力列向量为 $\boldsymbol{f}(t)$，质量矩阵和刚度矩阵分别为 $\boldsymbol{M}$、$\boldsymbol{K}$，则运动方程为$$ \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}(t) $$其中 $\boldsymbol{M}$ 为实对称正定矩阵，$\boldsymb…

一、平面应变问题1、几何条件与位移特征考虑母线平行于 $Oz$ 轴的长柱形弹性体，其横截面形状沿 $z$ 方向不变，所受外力垂直于 $Oz$ 轴，且载荷分布不随 $z$ 改变。在远离端部、轴向伸缩受到约束或可以忽略的区域，可采用平面应变模型。水坝和隧道等长结构的横截面问题常作这种简化。取 $Oxy$ 为横截面，位移分量分别为 $u,v,w$。略去整体刚体位移后，平面应变的位移特征为$$ u=u(x,y),\qquad v=v(x,y),\qquad w=0 $$由小变形几何方程，面内应变为$$ \varepsilon_x=\frac{\partial u…

一、流体运动的连续性方程连续性方程是质量守恒定律的数学表达，适用于粘性与无粘性、可压缩与不可压缩流动。记密度为 $\rho$，速度为 $\boldsymbol{V}$，固定控制体为 $\tau$，其封闭控制面为 $A$，外法向单位矢量为 $\boldsymbol{n}$。随体导数表示同一流体质点沿运动的变化率：$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol{V}\cdot\nabla $$1、积分形式与微分形式固定控制体内的质量积累率与通过控制面的质量净…

一、圆柱体的扭转1、问题与应力分布考虑长为 $L$ 的等截面圆柱体，两端承受大小相等、方向相反的扭矩 $M$，不计体力。取 $Oz$ 为柱体轴线，$Ox,Oy$ 位于下端横截面内，原点 $O$ 为该截面的形心。\begin{tikzpicture}[>=stealth,scale=1.5] \draw[thick] (-0.7,0) -- (-0.7,3.2); \draw[thick] (0.7,0) -- (0.7,3.2); \draw[thick] (0,3.2) ellipse (0.7 and 0.24); \draw[thick] (…

一、弹性力学的基本方程及其边值问题1、平衡与运动微分方程取直角坐标 $x,y,z$，相应的位移分量为 $u,v,w$。正应力为 $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$，切应力为 $\tau_{yz},\tau_{xz},\tau_{xy}$，并满足切应力互等关系。$F_x,F_y,F_z$ 表示单位体积上的体力分量，$\rho$ 为密度。静力问题的平衡微分方程为$$ \begin{cases} \dfrac{\partial\sigma_x}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{yx}}{\partial …

一、振动微分方程的建立无阻尼多自由度线性系统的运动方程可由达朗贝尔原理、影响系数方法或拉格朗日方程建立。对于保守系统，也可利用机械能守恒关系。考虑不计水平方向运动、无外载荷作用的刚硬翼段。线弹簧刚度为 $K_h$，扭转弹簧刚度为 $K_\alpha$；翼段质量为 $m$，绕质心的转动惯量为 $J_0$。取弯心偏离平衡位置的位移 $h$ 和翼段绕弯心的转角 $\alpha$ 为广义坐标，正方向如图所示。质心与弯心的距离为 $b$，在线性小转角近似下，质心位移为 $h+b\alpha$。1、达朗贝尔原理质心加速度为 $\ddot h+b\ddot\alpha…

一、基本方程组的封闭性1、封闭性的含义对于选定的流动模型，若独立未知标量场的数目与独立标量方程的数目相同，且有关本构关系和物性关系已经给定，则称该方程组在形式上封闭。矢量方程应按分量计数。在三维空间中，一个矢量未知量相当于三个标量未知量，一个矢量方程相当于三个标量方程。封闭性表示描述未知量所需的方程已经配齐；解是否存在、是否唯一以及是否稳定，还取决于方程性质、数据与定解条件。2、黏性可压缩完全气体的基本方程组记密度为 $\rho$，速度为 $\boldsymbol{V}=(u,v,w)$，压强为 $p$，温度为 $T$。随体导数为$$ \frac{\ma…

一、流体的热动平衡假设1、热力学系统与状态参数热力学系统是作为研究对象的物质集合。在连续介质模型中，可将流体质点看作局部的热力学系统，每个流体质点内包含足够多的分子，使其热力学性质可以用宏观参数描述。记密度为 $\rho$，压强为 $p$，热力学温度为 $T$。单位质量流体所占的体积称为比体积，记为 $\upsilon$，满足$$ \upsilon=\frac{1}{\rho} $$描述流体热力学状态的参数还包括单位质量内能 $e$、焓 $h$、熵 $s$ 等。对于成分固定、处于单一相的简单可压缩流体，平衡态中只有两个独立的热力学状态参数；选择两个适当的…

一、积分形式的能量方程1、能量守恒定律运动流体除满足质量守恒与动量定律外，还须满足能量守恒定律，即热力学第一定律：对于由确定流体质点组成的流体系统，其总能量的时间变化率等于单位时间内传给系统的热量与外力对系统所做的功之和。记系统总能量为 $E$，传入系统的热流率为 $\sum Q_h$，外力对系统做功的功率为 $\sum N$，则$$ \frac{\mathrm{D}E}{\mathrm{D}t}=\sum Q_h+\sum N $$采用流体吸热为正、外力对流体做功为正的约定。记密度为 $\rho$，速度为 $\boldsymbol{V}=u\bolds…

一、积分形式的运动方程1、动量定律与流体系统的动量对于由确定流体质点组成的流体系统，其总动量的时间变化率等于作用在系统上的体积力与表面力之和。将这一动量定律写成流体运动的数学表达式，即得到运动方程，也称动量方程。记密度为 $\rho$，速度为 $\boldsymbol{V}=u\boldsymbol{i}+v\boldsymbol{j}+w\boldsymbol{k}$，时间为 $t$。同一流体系统在 $t$ 时刻所占的体积为 $\tau(t)$，微元体积 $\mathrm{d}\tau$ 内的质量及动量分别为$$ \mathrm{d}m=\rho\,\…

一、质量守恒与连续性方程1、物理基础与表达形式对于由确定流体质点组成的流体系统，其总质量在运动过程中保持不变。质量守恒定律的数学表达式称为连续性方程。连续性方程只涉及密度、速度及其时空变化，不涉及作用力，也不依赖流体的黏性性质，因此适用于黏性流体与理想流体，也适用于可压缩流体与不可压缩流体。按研究对象的尺度，可采用两种表达形式：表达形式研究对象主要用途使用条件积分形式有限控制体内的总质量及边界上的质量流量研究总体质量收支、管道进出口流量等可以处理包含间断面的流动，但须正确计入边界通量微分形式流场中各点的密度与速度研究密度、速度的局部分布及变化经典形式要求…

流体运动通常采用欧拉描述，即研究物理量在空间和时间中的分布；质量守恒、牛顿运动定律和能量守恒等基本物理定律，则通常直接针对一个确定的物质系统建立。因而，建立流体运动基本方程时，需要把针对流体系统的物理规律转换为针对控制体的数学表达式。这一转换的关键是体积分的随体导数：既要计入物理量在空间中的局部变化，也要计入流体穿越控制面所产生的输运。一、流体的系统1、系统、外界与边界定义在连续介质假设下，由一组确定的、连续分布的流体质点组成的流体团，称为流体的系统，简称系统。系统可以是微元体积内的流体微团，也可以是有限体积内的流体团。系统的大小不影响其本质：在不同时刻…