函数f(x)是变量x的函数，且u(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)，可以构造一个新的以u为自变量的函数：

一般地，质点系各个质点的矢量坐标可以表示为广义坐标的函数\vec{r}=\vec{r}_i(q_1,q_2,\cdots,q_k;t)。质点速度相应地通过广义速度表示为：

前面已经求出\nu阶贝塞尔方程的通解，即：

一般情况下，一个由n质点组成的质点系在空间的位形用直角坐标来确定需要3n个坐标，即：

格林函数又称点源函数，代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场，知道了点源的场就可以用叠加的方法求出任意源所产生的场。冲量定理是在时间域上进行叠加，这里把问题扩充到空间域上进行叠加。形式为：

根据前面的知识，对拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程进行分离变量，得到球函数方程：

非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的平衡。约束的作用在于：一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该物体受到约束力的作用；而另一方面，约束也容许物体有可能沿另一些方向获得位移。 当质点系平衡时，主动力与约束力之间，以及主动力与约束所许可位移之间，都存在着一定的关系。这两种关系都可以作为质点系平衡的判据。刚体静力学利用了前一种情况，通过主动力和约束力之间的关系表示出刚体的平衡条件。而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点系的平衡条件。虚位移原理运用动力学的功建立静力学的平衡条件（以动制静）；它适合于一些较复杂的平衡问题，避免一些不需求的约束力。因此，在虚位移原理中，首先要研究加在质点系上的各种约束，以及约束所许可的位移的普遍性质。

设质量为m的非自由质点D，在主动力F和约束力F_N作用下沿曲线运动，该质点的动力学基本方程为：

在真空中：

初瞬时问题，即系统本来静止，突然因为某个原因导致开始运动。

当一个电荷静止时，它只在空间周围产生静电场 \vec{E}。在这个情况下，电场的能量密度为：

设一刚体在力 F 作用下作平移，其质心在 C 点，刚体上点 A 的矢径是 r，速度是 v，则力 F 的元功为：