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一、三类柱函数前面已经求出$\nu$阶贝塞尔方程的通解，即：$$ y(x)=C_1J_\nu(x)+C_2J_{-\nu}(x) $$或者是：$$ y(x)=C_1J_\nu(x)+C_2N_{\nu}(x) $$其中第一个通解不适用于整数$m$阶贝塞尔方程，但是第二个对整数阶的情况照样适用。通常又取线性独立的两个函数：$$ H_\nu^{(1)}(x)=J_\nu(x)+\mathrm{i}N_\nu(x) $$$$ H_\nu^{(2)}(x)=J_\nu(x)-\mathrm{i}N_\nu(x) $$这两个函数叫做第一种和第二种汉克尔函数，于是$…

一、泊松方程的格林函数法1、格林函数格林函数又称点源函数，代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场，知道了点源的场就可以用叠加的方法求出任意源所产生的场。冲量定理是在时间域上进行叠加，这里把问题扩充到空间域上进行叠加。形式为：$$ \begin{aligned}&\Delta u=f(\vec r ),\vec r \in T\\&\left[\alpha\frac{\partial u}{\partial n}+\beta u\right]_{\Sigma}=\varphi(\vec r )\\&f(\vec r…

根据前面的知识，对拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程进行分离变量，得到球函数方程：$$ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2}+l(l+1)Y=0 $$球函数方程的解$Y(\theta,\varphi)$称为球函数，即定义在半径$r$的球面上的函数，然后再分离变量，得到：…

一、传输线电报方程和直流不同，当导线上传输信号频率较高且导线长度与信号波长在同一数量级时，需要考虑导线中分布的电阻、电容、电感和漏电所带来的影响。以平行双线为例推导传输线上电压电流变化规律中分布的电阻、电容、电感和漏电所带来的影响。在平行双线中，情况等效为上图所示电路。两端的电流不同，主要原因是两线之间的寄生电容引起充放电，从而引起电流的变化；同时介质损耗引起的漏电流是另一个原因。两端电压也不同，主要是线上寄生的串联电感引起的充放电引起；同时导体损耗也引起部分压降。压降来自串联部分寄生参数，电流变化来自并联寄生参数。假设：传输线是均匀的。均匀传输线沿线的…

一、特殊函数常微分方程圆球形和圆柱形就是两种常见的边界，相应地用球坐标系和柱坐标系比较方便。本文研究球坐标系和柱坐标系中的分离变数法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。1、拉普拉斯方程$\Delta =0$(1) 球坐标系写出球坐标系下拉普拉斯方程：$$ \Delta u=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\…

一、曲线坐标系1、曲线坐标系方程设空间中有三个变量 $u^1, u^2, u^3$，它们可以唯一地确定空间中一点 $P$。空间直角坐标系下，点 $P$ 的坐标为 $(x, y, z)$。如果存在三元函数：$$ x = x(u^1, u^2, u^3),\quad y = y(u^1, u^2, u^3),\quad z = z(u^1, u^2, u^3) $$则称 $u^1, u^2, u^3$ 为空间的曲线坐标，$(u^1, u^2, u^3)$ 为点 $P$ 的曲线坐标。曲线坐标系的坐标方程就是上面这三条方程：$$ \begin{cases} x …

一、分离变量法的理论基础1、线性问题的叠加原理非齐次线性微分方程的解可以分解成一个非齐次方程的特解与多个齐次微分方程解的叠加；对于非齐次的边界条件，也可以把它拆分成一个特定非齐次边界条件与多个齐次边界条件的叠加。把拆分后的微分方程与边界条件进行组合，从而可以把原来比较复杂、难以求解的问题简化为一些比较容易、易于求解问题的叠加。2、线性问题形式上的变量分离将$u(x,t)$进行变量分离：$$ u(x,t)=X(x)T(t) $$这样做的目的是通过引入一些特定的参数（例如特征值），把偏微分方程转化为常微分方程的问题。二、齐次方程的分离变量法1、齐次方程和齐次…

一、数学物理方程的导出1、一维波动方程或者弦的微小横振动(1) 物理问题一固定长度的柔软、均匀细弦，两端拉紧（一般两端固定）。在垂直于弦线方向施加外加激励（可能在初始时刻施加，也可能是在运动过程中持续施加）让它离开原来平衡位置， 在此外加激励作用下弦将作微小的横向振动，需要找到弦上个每个点的运动方程。(2) 问题简化题目中提到的几处字眼：柔软：只能承受轴向的载荷（弦只能承受张力，而杆能承受压力和拉力），忽略弯曲刚度（或者说弯矩）和剪切的影响，轴向载荷的方向与弦变形后的切线方向相一致。轻质：不考虑重力所产生的影响。均匀：单位长度的质量密度为一常数。微小的横…

一、拉普拉斯变换1、拉普拉斯变换的定义傅里叶积分和傅里叶变换的应用要满足以下两个条件：原函数$f(t)$定义域为$(-\infty,+\infty)$。原函数$f(t)$在定义域$(-\infty,+\infty)$区间上必须是绝对可积。为了能让更多的函数能够应用傅里叶变换，我们构造一个新的函数$g(t)$：$$ g(t)=e^{-\sigma t}f(t)H(t) $$通过引入阶跃函数$H(t)$后可以把$f(t)$函数延拓到整个实轴上$(-\infty,+\infty)$，只不过在$(-\infty,0)$上的函数值为$0$。后面内容将会省略$H(t…

一、傅里叶级数1、周期函数的傅里叶展开(1) 三角函数族$$ \forall x,f(x+T)=f(x) $$那么称函数$f(x)$是以$T$为周期的周期函数，与该周期对应的原频率（称之为基频）为：$$ \omega =\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{l} $$对应的三角频率的三角函数族为（或者三角函数序列为）：$$ 1(\cos0x),\cos\omega x,\cos2\omega x,\cdots\cos k\omega x,\cdots $$$$ \sin\omega x,\sin\omega x,\cdots\sin k\o…

一、留数定理1、留数如果复变函数$f(z)$有一个孤立奇点$z_{0}$，$f(z)$在$z_{0}$的去心邻域上是解析。根据洛朗级数展开定理，在以$z_{0}$为圆心、内半径足够小的圆环域上，$f(z)$可以展为洛朗级数：$$ f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}(z-z_{0})^{k} $$在洛朗级数的收敛环中取任意一个包围$z_{0}$的小回路$l_{0}$，计算回路积分：$$ \oint_{l_{0}}f(z)\mathrm{d}z=\oint_{l_{0}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}a…

一、函数级数与复（函）数级数1、函数级数相关性质(1) 函数级数如果级数每一项都为函数：$$ S=\sum_{k=0}^{\infty}u_k\left(z\right) $$则称其为函数级数。(2)函数级数的点收敛性（单点收敛）如果对于某一个点$z_0$，级数$\Sigma u_k\left(z_0\right)$收敛，那么我们称级数在$z_0$收敛。(3)函数级数的区域收敛性（逐点收敛）如果级数对于区域内的每一点都收敛，那么我们称级数在区域收敛。(4)级数的一致收敛性（一致收敛）对于$\forall\varepsilon>0$，$\exists…

[!NOTE]在“数学物理方法”分类中，所有文章的闭合曲线积分方向如下规定：沿着曲线行走，要积分的区域一直在左手方位，那么行走的方向即为积分方向。一、复变函数的积分1、复变函数积分的定义给定一个复变函数$f(z)$以及复平面上的一条光滑的曲线$l$。我们把光滑的曲线分成$n$段（不一定是均分），其中$n+1$个点的坐标分别为：$$ z_k,k=0,1,2,...,n $$在第 $k$ 个分段$[z_k-1,z_k]$上任意取一点$\zeta_k\in[z_k-1,z_k]$，进行如下的求和：$$ \sum_{k=1}^nf\left(\zeta_k\ri…

一、复数的基本概念1、复数的表示复数有三种表示方法：代数表示：$z=x+y\mathrm{i}$三角表示：$z=\rho(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)$指数表示：$z=\varphi \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$三角表示与指数表示之间的转换利用到了欧拉公式：$$ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}=\cos \varphi + \mathrm{i}\sin\varphi $$上述表示方法中，$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$为复数$z$的模，$\v…