一、法拉第电磁感应引入
当一块磁铁穿过闭合线圈时，电路中会产生电流。
定义磁通量，描述穿过某个表面的磁场流量的物理量，表达式为：
$$ \varPhi=\iint \vec{B}\cdot \mathrm{d} \vec{A} $$
法拉第电磁感应定律是电磁学中的一条基本定律，主要用于描述磁场与电路之间的相互作用。该定律指出，当通过导体回路的磁通量发生变化时，会在回路中产生电动势。其数学表达式为：
$$ E=-\frac{\mathrm{d}\varPhi}{\mathrm{d}t} $$
二、楞次定律
在法拉第电磁感应定律中，电动势的方向遵循右手定则：伸平右手使姆指与四指垂直，手心向着磁场的N极，姆指的方向与导体运动的方向一致，四指所指的方向即为导体中感应电流的方向（感应电动势的方向与感应电流的方向相同）。
当然也可以根据楞次定律：感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
三、电动势
1、动生电动势
上图中，导体棒在导轨上运动，并存在垂直于纸面的磁场，导体棒中的电子在磁场$\vec{B}$中以速度$\vec{v}$运动时，受力为：
$$ \vec{f} = -e (\vec{v} \times \vec{B}) $$
其中$-e$为电子电荷。由于洛伦兹力不是静电力，定义非静电力单位电荷的强度：
$$ \vec{K} = \frac{\vec{f}}{-e} = \vec{v} \times \vec{B} $$
运动过程中，沿回路对非静电力做功得到动生电动势：
$$ \varepsilon = \int_{+} \vec{K} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \int_{C}^{D} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \mathrm{d}\vec{l} $$
其中$\mathrm{d}\vec{l}$为沿回路的微元线段。假设导体棒以速度$\vec{v}$向右运动，磁场垂直于纸面向里（如图所示），棒长为$s$：
- 设以$DC$为运动部分，其他为静止，则只有$DC$段有$\vec{v} \neq 0$。
- 取$\mathrm{d}\vec{l}$沿$DC$段方向（竖直向上），$\vec{v}$向右，$\vec{B}$向里。
- 则$\vec{v} \times \vec{B}$指向上，与$\mathrm{d}\vec{l}$同向。
所以：
$$ \varepsilon = \int_{C}^{D} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \mathrm{d}\vec{l} = Blv $$
其中$l$为棒的长度。
[!IMPORTANT]
为什么洛伦兹力对电子不做功？为何又说动生电动势来源于洛伦兹力？洛伦兹力的定义为：
$$ \vec{F} = -e (\vec{u}_d + \vec{v}) \times \vec{B} $$
其中：
- $\vec{u}_d$：电子在导体中的漂移速度
- $\vec{v}$：导体整体的速度（如红色棒向右运动）
- $-e$：电子电荷
- $\vec{B}$：磁场
磁场力方向总是与速度垂直，理论上对单个电子不做功，因为功为$\vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$，而$\vec{F} \perp \mathrm{d}\vec{l}$。实际上，导体整体运动时，电子的总速度是$\vec{u}_d + \vec{v}$，故洛伦兹力分为两部分：
(1) 运动部分（导体整体移动）产生的洛伦兹力
$$ \vec{f}_1 = -e\vec{v} \times \vec{B} $$
对电子做正功，推动电子沿着电路移动，形成电流，这部分就是动生电动势的来源。
(2) 漂移速度部分（电子本身漂移）
$$ \vec{f}_2 = -e\vec{u}_d \times \vec{B} $$
对电子做负功，实际和电流方向相关，抵消一部分能量。
两部分相等。可以被证明。
2、感生电动势
感生电动势定义为：
$$ \varepsilon = \oint\vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} $$
其中：
- $\vec{E}$：感生电场
- $\mathrm{d}\vec{l}$：沿回路的微元线段
如图所示，存在一个垂直于纸面向里的均匀磁场$\vec{B}$，且磁感应强度随时间变化（$\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t} = \text{const.}$）。在磁场中考虑一个以红色为边界的圆形回路。有圆环回路时，根据法拉第电磁感应定律：
$$ \varepsilon = -\frac{\mathrm{d} \Phi_B}{\mathrm{d} t} $$
其中，$\Phi_B$ 为穿过回路的磁通量：
$$ \Phi_B = \iint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{A} $$
若$\vec{B}$均匀垂直穿过面积$A$：
$$ \Phi_B = B \cdot A $$
则感应电动势为：
$$ \varepsilon = -\frac{\mathrm{d}(B A)}{\mathrm{d} t} = -A \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d} t} $$
根据电动势的环路积分定义：
$$ \varepsilon = \oint_{C} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} $$
结合上述两式得到：
$$ \oint_{C} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{A} $$
交换积分和求导顺序，即为法拉第电磁感应定律的积分形式：
$$ \oint_{C} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = - \iint_S \frac{\partial}{\partial t}\vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{A} $$
利用斯托克斯公式，得到：
$$ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$
3、空间中任意形状闭合路径的电动势
空间中产生电势有两部分：静电荷产生的、电磁感应的。故：
$$ \vec{E}=\vec{E}_s+\vec{E}_{in} $$
积分得到电动势：
$$ \oint\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=\oint(\vec{E}_{sta}+\vec{E}_{ind})\cdot \mathrm{d}\vec{l}=0+(-\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t})=-\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t} $$