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设$n$阶常数矩阵$\mathbf{A}$中的每一元素$a_{ij}\ (i,j=1,\cdots,n)$都是常数，则称$$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} + \mathbf{f}(t) $$为常系数线性微分方程组。我们先介绍常系数齐次方程组$$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} $$的解法，再讨论常系数非齐次方程组的情形。一、常系数齐次线性方程组的解法与解常系数线性方程类似，根据方程组是齐次、线性，…

一、叉积1、定义设$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$是三维空间中的两个向量，则它们的差积（叉积）定义为：$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \left( a_2b_3 - a_3…

我们约定向量用粗体小写字母表示，如 $\mathbf{x}$，矩阵用大写字母表示，如 $A$。该部分考试不做要求。一、一阶微分方程组的标准形式含有 $n$ 个未知函数 $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$ 的 $n$ 个一阶微分方程构成的一阶微分方程组，如果已经解出了一阶导数 $\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t}, \ldots, \frac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t}$，则其标准形式可以写为：$$ \begin{cases} \frac{\mathrm{d}x_1}…

一、线性微分方程1、方程形式我们将未知函数 $y$ 及其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$ 是一次式的 $n$ 阶微分方程，称为线性微分方程。这是在应用中经常遇到的一类方程，其一般形式是：$$ \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n} + p_1(x) \frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + p_{n-1}(x) \frac{\m…

极坐标变换的雅可比行列式推导过程是理解多变量积分中变量替换的核心。以下是详细推导，结合几何直观与代数计算，验证其正确性。一、极坐标变换的定义将笛卡尔坐标 $(x, y)$ 转换为极坐标 $(r, \theta)$：$$ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $$其中：$ r \geq 0 $ 是到原点的距离，$ \theta \in [0, 2\pi) $ 是与 $x$-轴的夹角。二、雅可比矩阵的构造雅可比矩阵由 $x$ 和 $y$ 对 $r$ 和 $\theta$ 的一阶偏导数构成：$$ J = \beg…

一、雅可比矩阵的定义与推导雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述向量值函数一阶偏导数的矩阵。对于一个函数 $ \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $，其雅可比矩阵 $ J_{\mathbf{F}} $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，元素为各输出分量对输入变量的偏导数：$$ J_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\…

在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。一、连续型随机变量的卷积设 $X$ 和 $Y$ 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。那么随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 为：$$ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx. $$该公式称为卷积公式。其中对 $x$ 的积分表示所有可能的 $X…

一、线性空间1、定义：线性空间设$V$ 是一个非空集合，$\mathbf{F}$ 是一个数域，我们定义两种运算，其中第一个运算是我们， 熟知的加法$+$。在线性空间的定义中，我们要求$\langle V:+\rangle$构成 Abel 群，即其中元素满足如下运算律：（加法结合律）$\alpha + ( \beta + \gamma ) = ( \alpha + \beta ) + \gamma$, $\forall \alpha , \beta , \gamma \in V$（加法单位元）$\exists0\in V$使得$\forall\alpha\…

一、集合、子集、幂集、直积设$A,B$是两个集合，如果$A,B$含的元素全相同，就说$A,B$相等，记作$A=B$。如果对任意的$a\in A$，均有$a\in B$，则称$A$是$B$的子集，或说$A$含于$B$，$B$包含$A$，记作$A\subset B$.对任意的集合$A$ ,均有$\emptyset\subset A,A\subset A$.显然，集合$A,B$相等，当且仅当$A\subset B$与$B\subset A$同时成立。非空集合$A$的所有子集组成的集合称为$A$的幂集，记作：$P(A)$或$2^A$。若集$A$含有$n$个不同元…

一、定义代数系统$\langle G: \circ \rangle$称为群，如果：运算封闭性。运算$\circ$满足结合律，即$\forall a,b,c\in G,a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c$$G$关于运算$\circ$存在单位元，即$\exists e\in G$，使 $\forall a\in G$，有 $a\circ e=e\circ a=a$$G$中每个元素关于$\circ$都可逆，即$\forall a\in G,\exists b\in G$使得$a\circ b=$ $b\circ a=e$（单位…

一、增广矩阵对于一个由$m\times n$个数排成$m$个横行，$n$个竖列的矩形数表称为$m\times n$矩阵。对于一个$m\times n$的矩阵$A$，我们可以在它的右边加上一个$m\times1$的列向量$\boldsymbol b$，得到一个$m\times(n+1)$的矩阵$(A,\boldsymbol b)$，这个矩阵被称为$A$的增广矩阵。$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n…

一、$n$元向量在研究问题过程中，有些研究对象可以用多个数组组成的有序数组来描述，例如在$n$元一次方程$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$中，可以用其系数和常数$b$排成有序$(n+1)$元数组$(a_1,a_2,\cdots,a_n,b)$来表示；在按照升幂排列成的一元$n$次多项式$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_2x^3+\cdots+a_nx^n$中，可以用其系数组成的$(n+1)$元有序数组$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$来表示。由$n$个数$a_1,a_2,\cdots,a_n$组成的有序…

一、多元线性方程组的求解与解的性质线性方程组存在三种解的情况：无解无数解唯一解判断法则：秩。判断无穷多解的情况，需要找到无穷多解的“本质”，本质便是找到个数唯一确定的有限多个解。二、二次曲线、二次曲面与二次超曲面我们在中学中学习过二次曲线包括抛物线（$y^2=2px$），椭圆（圆）（$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$），双曲线（$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$），两条直线。二次曲线的一般形式为（$Ax^2+Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$，其中大写字母为实数常数）。然后我…