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一、振动力学概述振动力学研究物体在其平衡位置附近所做的往复运动。振动现象广泛存在于工程领域——从建筑物的地震响应、桥梁的风致振动，到精密仪器的微振动控制，无不涉及振动力学的基本原理。振动研究的两大核心任务是：已知系统求响应（正问题）：给定系统的物理参数和外激励，求解系统的振动响应已知响应求系统（逆问题）：通过实测振动信号识别系统的动力学参数这两种任务分别对应着不同的数学描述——常微分方程（ODE） 和 偏微分方程（PDE），其选择取决于对系统采用的力学模型。二、振动力学问题的分类1、按自由度分类这是最根本的分类方式，直接决定了数学描述的性质。（1）离散系…

[!NOTE]约定主应力按代数值排序 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$；拉应力为正，压应力为负。一、应力状态1、应力是位置的函数材料中不同点处的应力一般不同：$$ \sigma=\sigma(x) $$更一般地，三维连续体中某点的应力状态可由应力张量表示：$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz}\\ \tau_…

I. Concepts and ExamplesThe bars is subjected to a pair of longitudinal forces with equal magnitude and opposite directions, and the line of action forces coincides with the axis of the bar.II. Internal Forces and Stress1. Internal forceBecause the action line of the external for…

I. StressThe internal force of a member is not uniformly distributed in most cases, so the definition of internal force concentration is not only accurate but also important, because failure or damage often starts from the place where the internal force concentration is the great…

I. Introduction1. An Overview of Mechanics of MaterialsMechanics of materials mainly studies the deformation of deformable body under external forces,, the additional internal forces caused by the deformation, the failure caused by the internal forces, and the criteria to avoid/c…

一、勒让德变换[!NOTE]将原有的独立变量的一部分或者全部，换为相应的共轭变量，从而得到一个新函数，这种变换称为勒让德变换。1、一元函数勒让德变换函数$f(x)$是变量$x$的函数，且$u(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$，可以构造一个新的以$u$为自变量的函数：$$ g=xu-f $$取$g$的全微分：$$ \mathrm{d}g=x\mathrm{d}u+u\mathrm{d}x-\mathrm{d}f=x\mathrm{d}u $$也就是：$$ x=\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{…

一、第二类拉格朗日方程一般地，质点系各个质点的矢量坐标可以表示为广义坐标的函数$\vec{r}=\vec{r}_i(q_1,q_2,\cdots,q_k;t)$。质点速度相应地通过广义速度表示为：$$ \dot{\vec{r}}_i=\sum_{l=1}^k\frac{\partial {\vec{r}}_i}{\partial q_l}\dot{q}_l+\frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial t} $$上式两边对广义速度$\dot q_j$求偏导数，得到消点规则：$$ \frac{\partial {\vec…

一、广义坐标1、自由度一般情况下，一个由$n$质点组成的质点系在空间的位形用直角坐标来确定需要$3n$个坐标，即：$$ x_i,\, y_i,\, z_i \quad (i = 1,\, 2,\, \ldots,\, n) $$如果系统受到$s$个完整约束，其约束方程为：$$ f_j(x_1,\, y_1,\, z_1;\, \ldots;\, x_n,\, y_n,\, z_n;\, t) = 0 \quad (j = 1,\, 2,\, \ldots,\, s) $$则系统的$3n$个坐标并不完全独立，只有$k = 3n - s$个坐标是独立的（余下…

一、约束方程与约束分类1、约束方程非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的平衡。约束的作用在于：一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该物体受到约束力的作用；而另一方面，约束也容许物体有可能沿另一些方向获得位移。 当质点系平衡时，主动力与约束力之间，以及主动力与约束所许可位移之间，都存在着一定的关系。这两种关系都可以作为质点系平衡的判据。刚体静力学利用了前一种情况，通过主动力和约束力之间的关系表示出刚体的平衡条件。而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点系的平衡条件。虚位移原理运用动力…

一、达朗贝尔原理1、质点达朗贝尔原理设质量为$m$的非自由质点$D$，在主动力$F$和约束力$F_N$作用下沿曲线运动，该质点的动力学基本方程为：$$ m\vec{a}=\vec{F}+\vec{F}_N $$或：$$ \vec{F}+\vec{F}_N+(-m\vec{a})=\vec{0} $$引入质点的惯性力$\vec{F_1}=-m\vec{a}$的概念，于是上式可以写为：$$ \vec{F}+\vec{F}_N+\vec{F}_I=\vec{0} $$上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系…

一、初瞬时问题初瞬时问题，即系统本来静止，突然因为某个原因导致开始运动。例1：均质杆$AB$的质量为$m_1$，长度为$l$，上端$B$靠在光滑的墙壁上，下端与圆柱的中心$A$铰接。均质圆柱的质量为$m_2$ ，半径为$r$，可沿固定水平面滚动而不滑动。假设系统在$\varphi_0=30\mathrm{\degree}$位置由静止释放，试求在初瞬时圆柱质心的$A$加速度。解：考虑从初始条件开始，到任意角度时系统的情况，代入初始条件从而求解。应用动能定理：$$ T = \frac{1}{2}m_2v_A^2 + \frac{1}{2}\left(\fra…

一、力的功1、前面的你都会[!WARNING]菜，就多练！2、作用于刚体力系的功(1) 平移刚体上力的功设一刚体在力 $F$ 作用下作平移，其质心在 $C$ 点，刚体上点 $A$ 的矢径是 $r$，速度是 $v$，则力 $F$ 的元功为：$$ \mathrm{d}W = F \cdot \mathrm{d}r = F \cdot \mathrm{d}r_C $$或者$$ \mathrm{d}W = F \cdot v\,\mathrm{d}t = F \cdot v_C\,\mathrm{d}t $$总功表达式为：$$ \sum \mathrm{d}W …

一、动量矩1、质点的动量矩(1) 对点的动量矩质点$A$的动量$m\vec{v}$对点$O$的矩，定义为质点$A$对点$O$的动量矩：$$ \vec{L}_O(m\vec{v})=\vec{r}\times m\vec{v} $$$$ \vec{L}_0(m\vec{v})=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\x&y&z\\mv_x&mv_y&mv_z\end{vmatrix}=m(yv_z-zv_y)\boldsymbo…

一、动量与冲量1、动量定义质点系的动量为所有质点动量的矢量和：$$ \vec{p}=\sum m_i\vec{v}_i $$质点系的动量也可以向坐标轴进行投影：$$ \vec{p}_x=\sum m\vec{v}_x\quad \vec{p}_y=\sum m\vec{v}_y\quad \vec{p}_z=\sum m\vec{v}_z $$质点系质心$C$的矢径表达式为：$$ r_C=\frac{\sum m_ir_i}{\sum m_i}=\frac{\sum m_ir_i}M\Rightarrow Mr_c=\sum m_ir_i $$当质点系运…

[!NOTE]这一章节很水，只写一下自然形式的质点运动微分方程自然形式的运动和受力示意图为：如采用自然轴，并把上式向各轴投影，可得：$$ m\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2}=F_t $$$$ m\frac{v^2}\rho=F_n $$$$ 0=F_b $$上面三个式子中：$$ \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2}=a_t $$$$ \frac{v^2}{\rho}=a_n $$$$ 0=a_b $$是加速度$\vec{a}$在切线、主法线和副法线的正向投影，而$F_t,F_…