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一、位移分量与应变分量1、位移与变形设物体变形前占据区域 $D$，变形后占据区域 $D_1$。同一质点变形前的位置为 $P(x,y,z)$，变形后的位置为 $P_1(\xi,\eta,\zeta)$。记两位置的矢量分别为 $\boldsymbol{r}$ 和 $\boldsymbol{\rho}$，则位移矢量定义为$$ \boldsymbol{u}=\boldsymbol{\rho}-\boldsymbol{r} =u\boldsymbol{e}_x+v\boldsymbol{e}_y+w\boldsymbol{e}_z $$位移分量为$$ \begin…

一、简谐激励下的受迫振动1、问题的提出前几节讨论的都是单自由度系统在给定初始条件下的自由振动。当系统受到随时间变化的激振力作用时，产生的振动称为受迫振动。工程中最基本的激励形式是简谐激励，即激振力随时间按正弦或余弦规律变化，例如不平衡转子产生的离心惯性力。简谐激励之所以重要，是因为一般周期力可以展开为傅里叶级数，从而化为不同频率简谐激励的叠加；非周期的一般激振力也可以用傅里叶变换转换成简谐分量的叠加。因此简谐激励是其他形式载荷作用下受迫振动分析的基础，重要的共振现象也是由简谐激励引起的。考虑由质量 $m$、弹簧（刚度系数 $k$）和黏性阻尼器（阻尼系数 …

一、体力和面力确定弹性体的受力状态和变形，需要用到三类基本关系：平衡关系（力之间的平衡，即牛顿力学）几何关系（变形与运动）物理关系（力与变形之间的相互联系）外力在其中作为已知量进入平衡关系，是求解的出发点。作用于弹性体上的外力分为体力和面力两类。体力（body force）是作用在物体微粒体上的力，以单位体积的力即体力集度度量。在物体内取包含点 $O$、体积为 $\Delta V$ 的微元体，作用其上的体力合力为 $\Delta\boldsymbol{P}$，定义：$$ \boldsymbol{p}=\lim_{\Delta V\to0}\frac{\D…

一、迹线、流线、脉线流动可以从两种角度描述：拉格朗日描述始终跟踪同一个流体质点，欧拉描述则记录各固定空间点在不同时刻的速度。记 $(a,b,c)$ 为质点的固定标号，$t$ 为时间，$\boldsymbol{r}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$ 为位置矢量，$\boldsymbol{V}=u\boldsymbol{i}+v\boldsymbol{j}+w\boldsymbol{k}$ 为速度场。迹线、流线和脉线均为流场中的曲线，但其“固定什么、改变什么”各不相同。1、迹线迹线（pathli…

[!NOTE]难度较高，我也不太懂，SRTP 要用，考试应该不考一、研究对象与符号约定振动力学研究系统的振荡运动及其产生、传播和控制。常见模型描述物体在平衡位置附近的运动，但振动也可能是非周期的，或发生在随时间变化的参考运动附近。振动研究通常包含两类任务：正问题：给定系统参数、激励和初始条件；对于连续系统，还需给定边界条件，求解运动响应。逆问题：根据观测到的响应及已知信息，识别系统参数、载荷或损伤。逆问题可能不唯一，通常需要额外约束。正、逆问题均可涉及常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）。采用哪类方程，主要取决于系统的空间建模方式，而不是问题属于正…

一、指标符号与爱因斯坦求和约定1、指标符号一组数或变量 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 可简记为 $A_i$，其中 $i$ 称为指标（index），其取值范围（指标集合）写在紧邻的括号内，如 $A_i$（$i=1,2,\ldots,n$）。三维问题的指标集合恒为 $\{1,2,3\}$，通常省略标注。例如坐标 $x,y,z$ 记为 $x_1,x_2,x_3$，即 $x_i$（$i=1,2,3$）；三个数 $a_1,a_2,a_3$ 记为 $a_i$（$i=1,2,3$）。2、指标符号应用于方程组设有线性代数方程组：$$ \begin{align…

一、流体运动的两种描述方法1、研究对象与符号约定流场由大量流体质点（fluid particle）组成，每个流体质点都具有质量、动量、内能等物理属性，因此可以为每个流体质点建立数学方程。描述流体运动需要回答两个问题：一是某个确定的流体质点在各时刻位于何处、其物理量如何变化；二是某个确定的空间点，在各时刻由哪个流体质点占据、其物理量如何变化。前者的数学表述称为拉格朗日描述，后者称为欧拉描述。记 $t$ 为时间，$(a,b,c)$ 为区分不同流体质点的标号参数，$(x,y,z)$ 为空间直角坐标。速度矢量记作 $\boldsymbol{V} = u\bold…

流体不经搓，一搓就搓出了涡——陆士嘉从流体力学的角度看，物质只分为流体与固体两种状态。固体的特征是：受到剪切应力时可以通过静变形抵抗剪切应力；流体则不能，只要存在剪切应力，无论它多么小，流体都会发生连续不断的剪切变形，即流动。一、流体质点与连续介质假设1、两种研究途径流体力学主要研究流体的宏观运动，研究途径有微观和宏观两种。微观途径：从研究分子和原子的运动出发，采用统计平均方法建立宏观物理量应满足的方程，并确定流体的宏观性质。这种途径取决于分子运动论的发展，目前应用较少。宏观途径：先给流体建立一个宏观的“抽象化”的物质模型，然后直接应用基本物理定律来建立…

一、振动力学概述振动力学研究物体在其平衡位置附近所做的往复运动。振动现象广泛存在于工程领域——从建筑物的地震响应、桥梁的风致振动，到精密仪器的微振动控制，无不涉及振动力学的基本原理。振动研究的两大核心任务是：已知系统求响应（正问题）：给定系统的物理参数和外激励，求解系统的振动响应已知响应求系统（逆问题）：通过实测振动信号识别系统的动力学参数这两种任务分别对应着不同的数学描述——常微分方程（ODE） 和 偏微分方程（PDE），其选择取决于对系统采用的力学模型。二、振动力学问题的分类1、按自由度分类这是最根本的分类方式，直接决定了数学描述的性质。（1）离散系…

[!NOTE]约定主应力按代数值排序 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$；拉应力为正，压应力为负。一、应力状态1、应力是位置的函数材料中不同点处的应力一般不同：$$ \sigma=\sigma(x) $$更一般地，三维连续体中某点的应力状态可由应力张量表示：$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz}\\ \tau_…

I. Concepts and ExamplesThe bars is subjected to a pair of longitudinal forces with equal magnitude and opposite directions, and the line of action forces coincides with the axis of the bar.II. Internal Forces and Stress1. Internal forceBecause the action line of the external for…

I. StressThe internal force of a member is not uniformly distributed in most cases, so the definition of internal force concentration is not only accurate but also important, because failure or damage often starts from the place where the internal force concentration is the great…

I. Introduction1. An Overview of Mechanics of MaterialsMechanics of materials mainly studies the deformation of deformable body under external forces,, the additional internal forces caused by the deformation, the failure caused by the internal forces, and the criteria to avoid/c…

一、勒让德变换[!NOTE]将原有的独立变量的一部分或者全部，换为相应的共轭变量，从而得到一个新函数，这种变换称为勒让德变换。1、一元函数勒让德变换函数$f(x)$是变量$x$的函数，且$u(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$，可以构造一个新的以$u$为自变量的函数：$$ g=xu-f $$取$g$的全微分：$$ \mathrm{d}g=x\mathrm{d}u+u\mathrm{d}x-\mathrm{d}f=x\mathrm{d}u $$也就是：$$ x=\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{…

一、第二类拉格朗日方程一般地，质点系各个质点的矢量坐标可以表示为广义坐标的函数$\vec{r}=\vec{r}_i(q_1,q_2,\cdots,q_k;t)$。质点速度相应地通过广义速度表示为：$$ \dot{\vec{r}}_i=\sum_{l=1}^k\frac{\partial {\vec{r}}_i}{\partial q_l}\dot{q}_l+\frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial t} $$上式两边对广义速度$\dot q_j$求偏导数，得到消点规则：$$ \frac{\partial {\vec…