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一、达朗贝尔原理1、质点达朗贝尔原理设质量为$m$的非自由质点$D$，在主动力$F$和约束力$F_N$作用下沿曲线运动，该质点的动力学基本方程为：$$ m\vec{a}=\vec{F}+\vec{F}_N $$或：$$ \vec{F}+\vec{F}_N+(-m\vec{a})=\vec{0} $$引入质点的惯性力$\vec{F_1}=-m\vec{a}$的概念，于是上式可以写为：$$ \vec{F}+\vec{F}_N+\vec{F}_I=\vec{0} $$上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系…

一、光速在真空中：$$ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} $$在介质中：$$ v=\frac{1}{\sqrt{\kappa_m\kappa_m\mu_0\varepsilon_0}}=\frac{e}{\sqrt{\kappa_m\kappa_e}} $$即：$$ v=\frac{c}n $$其中$n=\sqrt{\kappa_m\kappa_e}$二、光的多普勒效应当光速远大于源与观察者之间的相对速度$v$时，可以采用经典多普勒公式进行近似：设光源发出频率为$f_0$，观察者接收到的频率为$f$。光在真空中的…

一、初瞬时问题初瞬时问题，即系统本来静止，突然因为某个原因导致开始运动。例1：均质杆$AB$的质量为$m_1$，长度为$l$，上端$B$靠在光滑的墙壁上，下端与圆柱的中心$A$铰接。均质圆柱的质量为$m_2$ ，半径为$r$，可沿固定水平面滚动而不滑动。假设系统在$\varphi_0=30\mathrm{\degree}$位置由静止释放，试求在初瞬时圆柱质心的$A$加速度。解：考虑从初始条件开始，到任意角度时系统的情况，代入初始条件从而求解。应用动能定理：$$ T = \frac{1}{2}m_2v_A^2 + \frac{1}{2}\left(\fra…

一、力的功1、前面的你都会[!WARNING]菜，就多练！2、作用于刚体力系的功(1) 平移刚体上力的功设一刚体在力 $F$ 作用下作平移，其质心在 $C$ 点，刚体上点 $A$ 的矢径是 $r$，速度是 $v$，则力 $F$ 的元功为：$$ \mathrm{d}W = F \cdot \mathrm{d}r = F \cdot \mathrm{d}r_C $$或者$$ \mathrm{d}W = F \cdot v\,\mathrm{d}t = F \cdot v_C\,\mathrm{d}t $$总功表达式为：$$ \sum \mathrm{d}W …

一、电磁波的产生1、静止电荷当一个电荷静止时，它只在空间周围产生静电场 $\vec{E}$。在这个情况下，电场的能量密度为：$$ u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 $$其中，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数，$E$ 是电场强度。此时，空间中没有变化的磁场，也没有能量或动量的传播，因此不会产生电磁波。2、匀速运动的电荷当一个电荷以恒定速度运动时，它会产生恒定的磁场 $\vec{B}$。磁场的能量密度为：$$ u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0} $$其中，$\mu_0$ 是真空磁导率，$B$…

一、动量矩1、质点的动量矩(1) 对点的动量矩质点$A$的动量$m\vec{v}$对点$O$的矩，定义为质点$A$对点$O$的动量矩：$$ \vec{L}_O(m\vec{v})=\vec{r}\times m\vec{v} $$$$ \vec{L}_0(m\vec{v})=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\x&y&z\\mv_x&mv_y&mv_z\end{vmatrix}=m(yv_z-zv_y)\boldsymbo…

一、位移电流在原始的安培环路定理中，只考虑了电流产生磁场：$$ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 i $$但在电容充放电等情况下，电流的连续性会断开（比如电容板之间没有实际电流通过），这导致了矛盾。例如，如果我们取一个环路穿过电容板之间的空间，按安培定律，环路上应有磁场，但空间中没有实际电流。或者说选取下图中圈1作为安培环路，利用斯托克斯公式，将积分写为面积分形式，发现如果取得曲面是2或者4，则不存在问题，但是若是取曲面3，曲面3并不包括任何电流，导致这一细节问题产生。麦克斯韦为了解决这个矛盾，引…

一、动量与冲量1、动量定义质点系的动量为所有质点动量的矢量和：$$ \vec{p}=\sum m_i\vec{v}_i $$质点系的动量也可以向坐标轴进行投影：$$ \vec{p}_x=\sum m\vec{v}_x\quad \vec{p}_y=\sum m\vec{v}_y\quad \vec{p}_z=\sum m\vec{v}_z $$质点系质心$C$的矢径表达式为：$$ r_C=\frac{\sum m_ir_i}{\sum m_i}=\frac{\sum m_ir_i}M\Rightarrow Mr_c=\sum m_ir_i $$当质点系运…

一、法拉第电磁感应引入当一块磁铁穿过闭合线圈时，电路中会产生电流。定义磁通量，描述穿过某个表面的磁场流量的物理量，表达式为：$$ \varPhi=\iint \vec{B}\cdot \mathrm{d} \vec{A} $$法拉第电磁感应定律是电磁学中的一条基本定律，主要用于描述磁场与电路之间的相互作用。该定律指出，当通过导体回路的磁通量发生变化时，会在回路中产生电动势。其数学表达式为：$$ E=-\frac{\mathrm{d}\varPhi}{\mathrm{d}t} $$二、楞次定律在法拉第电磁感应定律中，电动势的方向遵循右手定则：伸平右手使姆指…

[!NOTE]这一章节很水，只写一下自然形式的质点运动微分方程自然形式的运动和受力示意图为：如采用自然轴，并把上式向各轴投影，可得：$$ m\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2}=F_t $$$$ m\frac{v^2}\rho=F_n $$$$ 0=F_b $$上面三个式子中：$$ \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2}=a_t $$$$ \frac{v^2}{\rho}=a_n $$$$ 0=a_b $$是加速度$\vec{a}$在切线、主法线和副法线的正向投影，而$F_t,F_…

一、刚体平面运动的运动方程1、刚体平面运动简化刚体平行于某固定平面$I$作平面运动，现取一个与平面$I$相平行的平面$II$截取刚体，得到一个平面图形$S$。当刚体运动时，平面图形$S$将始终保持在平面$II$内运动。平面运动刚体上$A$点的运动状态与过$A$点且垂直于固定平面的垂直直线上各点的运动状态完全一样。数学上满足：$$ \begin{aligned} &\vec{r}_{A_1} = \vec{r}_A + \vec{r}_{AA_1} \\ &\vec{v}_{A_1} = \vec{v}_A + \frac{\mathrm{…

一、合成运动基本概念1、两种参考系静参考系（定系）：相对地面不动的参考系。动参考系（动系）：相对静系运动着的参考系。2、三种运动(1) 三种运动定义绝对运动：动点对于定参考系的运动。绝对运动轨迹：动点相对定系的运动轨迹。相对运动：动点对于动参考系的运动。相对运动轨迹：动点相对动系的运动轨迹。牵连运动：动参考系对于定参考系的运动。(2) 绝对、相对、牵连运动间的关系设绝对运动符号$x,y$，相对运动符号$x',y'$，牵连运动符号$x_0,y_0,\varphi$。根据坐标变换：$$ x=x_{o^{\prime}}+x^{\prime…

一、安培力1、安培力推导安培力是通电导线在磁场中受到的作用力。根据上一篇文章磁学的基本现象和规律，可知安培定律的表达式为：$$ \mathrm{d}\vec{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i_2\mathrm{d}\vec{s}_2\times(i_1\mathrm{d}\vec{s}_1\times\hat{r}_{12})}{r_{12}^2} $$以及毕奥-萨法尔定律：$$ \mathrm{d}\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i\,\mathrm{d}\vec{s} \time…

一、安培定律安培定律的核心在于描述电流之间的磁场与力的关系。具体来说，先是电流产生磁场，第一段导线上的电流$i_{1}$会在其周围空间产生磁场$\vec{B}$（见下面的毕奥-萨伐尔定律），磁场方向由右手定则确定。然后磁场对第二段导线产生作用，第二段导线上的电流$i_{2}$受到第一段导线产生的磁场$\vec{B}$的作用力。此力遵循洛伦兹力公式：$$ \mathrm{d}\vec{F}_{12}=i_2\mathrm{d}\vec{s}_2\times\vec{B} $$结合第一段导线产生的磁场表达式，可以推导出安培定律的形式。力的方向通过矢量叉乘确定…

一、矢量法1、点的运动方程点的运动方程是描述点的位置、速度和加速度随时间变化的数学方程。由定点$O$画到动点$M$的有向线段$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol{r}$称为动点$M$的矢径，它的分解式可以表示为下面的方程：$$ \boldsymbol{r}=\overrightarrow{OM}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k} $$矢径唯一地决定了点$M$的位置。当点$M$运动时，矢径$\boldsymbol{r}$是随时间而变的矢量。一般可表示为时间$t$的单值…