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一、悬臂梁自由端受横向力作用无体力时，采用艾里应力函数 $U(x,y)$，应力分量与双调和方程为$$ \sigma_x=\frac{\partial^2U}{\partial y^2},\qquad \sigma_y=\frac{\partial^2U}{\partial x^2},\qquad \tau_{xy}=-\frac{\partial^2U}{\partial x\partial y},\qquad \nabla^4U=0 $$边界外法线的方向余弦为 $l,m$，边界面力为 $\bar f_x,\bar f_y$，则$$ \bar f_x=l…

一、平面应变问题1、几何条件与位移特征考虑母线平行于 $Oz$ 轴的长柱形弹性体，其横截面形状沿 $z$ 方向不变，所受外力垂直于 $Oz$ 轴，且载荷分布不随 $z$ 改变。在远离端部、轴向伸缩受到约束或可以忽略的区域，可采用平面应变模型。水坝和隧道等长结构的横截面问题常作这种简化。取 $Oxy$ 为横截面，位移分量分别为 $u,v,w$。略去整体刚体位移后，平面应变的位移特征为$$ u=u(x,y),\qquad v=v(x,y),\qquad w=0 $$由小变形几何方程，面内应变为$$ \varepsilon_x=\frac{\partial u…

一、圆柱体的扭转1、问题与应力分布考虑长为 $L$ 的等截面圆柱体，两端承受大小相等、方向相反的扭矩 $M$，不计体力。取 $Oz$ 为柱体轴线，$Ox,Oy$ 位于下端横截面内，原点 $O$ 为该截面的形心。\begin{tikzpicture}[>=stealth,scale=1.5] \draw[thick] (-0.7,0) -- (-0.7,3.2); \draw[thick] (0.7,0) -- (0.7,3.2); \draw[thick] (0,3.2) ellipse (0.7 and 0.24); \draw[thick] (…

一、弹性力学的基本方程及其边值问题1、平衡与运动微分方程取直角坐标 $x,y,z$，相应的位移分量为 $u,v,w$。正应力为 $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$，切应力为 $\tau_{yz},\tau_{xz},\tau_{xy}$，并满足切应力互等关系。$F_x,F_y,F_z$ 表示单位体积上的体力分量，$\rho$ 为密度。静力问题的平衡微分方程为$$ \begin{cases} \dfrac{\partial\sigma_x}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{yx}}{\partial …

在应力状态理论中，由静力学关系得到了平衡微分方程和应力边界条件；在应变状态理论中，由几何关系得到了位移与应变的关系。这些方程尚未涉及应力与应变之间反映材料性质的联系，因而还需要建立物理方程，即材料的本构关系。一、应力和应变最一般的关系与广义胡克定律1、应力与应变的一般关系对于本文所讨论的弹性体，应力与应变之间的关系由材料本身的性质决定。写为：$$ \begin{aligned} \sigma_x&=f_1(\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z,\gamma_{yz},\gamma_{xz},\gamm…

一、位移分量与应变分量1、位移与变形设物体变形前占据区域 $D$，变形后占据区域 $D_1$。同一质点变形前的位置为 $P(x,y,z)$，变形后的位置为 $P_1(\xi,\eta,\zeta)$。记两位置的矢量分别为 $\boldsymbol{r}$ 和 $\boldsymbol{\rho}$，则位移矢量定义为$$ \boldsymbol{u}=\boldsymbol{\rho}-\boldsymbol{r} =u\boldsymbol{e}_x+v\boldsymbol{e}_y+w\boldsymbol{e}_z $$位移分量为$$ \begin…

一、体力和面力确定弹性体的受力状态和变形，需要用到三类基本关系：平衡关系（力之间的平衡，即牛顿力学）几何关系（变形与运动）物理关系（力与变形之间的相互联系）外力在其中作为已知量进入平衡关系，是求解的出发点。作用于弹性体上的外力分为体力和面力两类。体力（body force）是作用在物体微粒体上的力，以单位体积的力即体力集度度量。在物体内取包含点 $O$、体积为 $\Delta V$ 的微元体，作用其上的体力合力为 $\Delta\boldsymbol{P}$，定义：$$ \boldsymbol{p}=\lim_{\Delta V\to0}\frac{\D…

一、指标符号与爱因斯坦求和约定1、指标符号一组数或变量 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 可简记为 $A_i$，其中 $i$ 称为指标（index），其取值范围（指标集合）写在紧邻的括号内，如 $A_i$（$i=1,2,\ldots,n$）。三维问题的指标集合恒为 $\{1,2,3\}$，通常省略标注。例如坐标 $x,y,z$ 记为 $x_1,x_2,x_3$，即 $x_i$（$i=1,2,3$）；三个数 $a_1,a_2,a_3$ 记为 $a_i$（$i=1,2,3$）。2、指标符号应用于方程组设有线性代数方程组：$$ \begin{align…

在现代计算机图形学、机器人控制工程、数字孪生技术以及物理驱动的影视动画领域，一维弹性体（Deformable Linear Objects, DLOs，如绳索、毛发、缝合线、工业线缆及软体机器人附属结构等）的物理仿真一直是一项具有高度复杂性的核心课题。由于此类物体在三维空间中呈现出极高的长宽比，其形变动力学往往伴随着高度非线性的物理现象，涵盖了拉伸（Stretch）、剪切（Shear）、弯曲（Bend）以及扭转（Twist）等多种模式的高度耦合。特别是弯曲与扭转之间的耦合作用，使得系统在数学建模、数值积分与计算稳定性上面临着巨大的工程挑战。过去的二十余年…