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一、无阻尼系统的受迫振动1、振型叠加分析法考虑具有 $n$ 个自由度的无阻尼线性系统。记物理位移列向量为 $\boldsymbol{x}(t)$，外力列向量为 $\boldsymbol{f}(t)$，质量矩阵和刚度矩阵分别为 $\boldsymbol{M}$、$\boldsymbol{K}$，则运动方程为$$ \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}(t) $$其中 $\boldsymbol{M}$ 为实对称正定矩阵，$\boldsymb…

一、振动微分方程的建立无阻尼多自由度线性系统的运动方程可由达朗贝尔原理、影响系数方法或拉格朗日方程建立。对于保守系统，也可利用机械能守恒关系。考虑不计水平方向运动、无外载荷作用的刚硬翼段。线弹簧刚度为 $K_h$，扭转弹簧刚度为 $K_\alpha$；翼段质量为 $m$，绕质心的转动惯量为 $J_0$。取弯心偏离平衡位置的位移 $h$ 和翼段绕弯心的转角 $\alpha$ 为广义坐标，正方向如图所示。质心与弯心的距离为 $b$，在线性小转角近似下，质心位移为 $h+b\alpha$。1、达朗贝尔原理质心加速度为 $\ddot h+b\ddot\alpha…

一、简谐激励下的受迫振动1、问题的提出前几节讨论的都是单自由度系统在给定初始条件下的自由振动。当系统受到随时间变化的激振力作用时，产生的振动称为受迫振动。工程中最基本的激励形式是简谐激励，即激振力随时间按正弦或余弦规律变化，例如不平衡转子产生的离心惯性力。简谐激励之所以重要，是因为一般周期力可以展开为傅里叶级数，从而化为不同频率简谐激励的叠加；非周期的一般激振力也可以用傅里叶变换转换成简谐分量的叠加。因此简谐激励是其他形式载荷作用下受迫振动分析的基础，重要的共振现象也是由简谐激励引起的。考虑由质量 $m$、弹簧（刚度系数 $k$）和黏性阻尼器（阻尼系数 …

[!NOTE]难度较高，我也不太懂，SRTP 要用，考试应该不考一、研究对象与符号约定振动力学研究系统的振荡运动及其产生、传播和控制。常见模型描述物体在平衡位置附近的运动，但振动也可能是非周期的，或发生在随时间变化的参考运动附近。振动研究通常包含两类任务：正问题：给定系统参数、激励和初始条件；对于连续系统，还需给定边界条件，求解运动响应。逆问题：根据观测到的响应及已知信息，识别系统参数、载荷或损伤。逆问题可能不唯一，通常需要额外约束。正、逆问题均可涉及常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）。采用哪类方程，主要取决于系统的空间建模方式，而不是问题属于正…

一、振动力学概述振动力学研究物体在其平衡位置附近所做的往复运动。振动现象广泛存在于工程领域——从建筑物的地震响应、桥梁的风致振动，到精密仪器的微振动控制，无不涉及振动力学的基本原理。振动研究的两大核心任务是：已知系统求响应（正问题）：给定系统的物理参数和外激励，求解系统的振动响应已知响应求系统（逆问题）：通过实测振动信号识别系统的动力学参数这两种任务分别对应着不同的数学描述——常微分方程（ODE） 和 偏微分方程（PDE），其选择取决于对系统采用的力学模型。二、振动力学问题的分类1、按自由度分类这是最根本的分类方式，直接决定了数学描述的性质。（1）离散系…

设两列波的表达式均为：$$ f_1(x,t) = A_1 \cos(k_1 x + \omega_1 t + \varphi_1) $$$$ f_2(x,t) = A_2 \cos(k_2 x + \omega_2 t + \varphi_2) $$常见叠加情况如下：一、同频同波数同相位（完全相同的波）$$ f(x,t) = f_1(x,t) + f_2(x,t) = A_1 \cos(kx + \omega t + \varphi) + A_2 \cos(kx + \omega t + \varphi) $$直接合并：$$ f(x,t) = (A_1 …