一、无阻尼系统的受迫振动

1、振型叠加分析法

考虑具有 $n$ 个自由度的无阻尼线性系统。记物理位移列向量为 $\boldsymbol{x}(t)$，外力列向量为 $\boldsymbol{f}(t)$，质量矩阵和刚度矩阵分别为 $\boldsymbol{M}$、$\boldsymbol{K}$，则运动方程为

$$ \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}(t) $$

其中 $\boldsymbol{M}$ 为实对称正定矩阵，$\boldsymbol{K}$ 为实对称半正定矩阵。外力分量 $f_s(t)$ 与相应坐标 $x_s$ 的正方向一致。第 $j$ 阶固有频率 $\omega_j$ 和固有振型 $\boldsymbol{\varphi}_j$ 满足广义本征方程

$$ \boldsymbol{K}\boldsymbol{\varphi}_j=\omega_j^2\boldsymbol{M}\boldsymbol{\varphi}_j $$

选取一组质量正交的实振型，按列组成振型矩阵

$$ \boldsymbol{\Phi}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\varphi}_1&\boldsymbol{\varphi}_2&\cdots&\boldsymbol{\varphi}_n\end{bmatrix} $$

记第 $j$ 阶模态质量、模态刚度分别为

$$ M_{pj}=\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{\varphi}_j,\qquad K_{pj}=\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{K}\boldsymbol{\varphi}_j=M_{pj}\omega_j^2 $$

由振型正交性，有

$$ \boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{M}_p=\operatorname{diag}(M_{p1},\ldots,M_{pn}) $$

$$ \boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\boldsymbol{K}\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{K}_p=\operatorname{diag}(K_{p1},\ldots,K_{pn}) $$

重频对应的振型可在相应本征子空间内进行质量正交化，因而也可采用上述形式。引入主坐标列向量 $\boldsymbol{q}(t)$，作坐标变换

$$ \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{q}=\sum_{j=1}^n\boldsymbol{\varphi}_jq_j $$

代入运动方程，并左乘 $\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}$，得到

$$ \boldsymbol{M}_p\ddot{\boldsymbol{q}}+\boldsymbol{K}_p\boldsymbol{q}=\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\boldsymbol{f} $$

记第 $j$ 阶模态力为

$$ P_j(t)=\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{f}(t) $$

则原来相互耦合的方程化为 $n$ 个独立的单自由度方程

$$ M_{pj}\ddot q_j+K_{pj}q_j=P_j(t) $$

模态力是外力沿相应振型的投影。同一外力可以同时激发多个模态；若 $P_j(t)\equiv0$，且该阶初始位移、初始速度均为零，则第 $j$ 阶模态不参与响应。给定物理初始条件

$$ \boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0,\qquad \dot{\boldsymbol{x}}(0)=\dot{\boldsymbol{x}}_0 $$

由 $\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{q}_0$，左乘 $\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}$，得到

$$ q_j(0)=\frac{\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}_0}{M_{pj}},\qquad \dot q_j(0)=\frac{\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{x}}_0}{M_{pj}} $$

当 $\omega_j>0$ 时，模态齐次方程的解为

$$ q_{1j}(t)=q_j(0)\cos\omega_jt+\frac{\dot q_j(0)}{\omega_j}\sin\omega_jt $$

因此，初始条件引起的物理响应为

$$ \boldsymbol{x}_{\mathrm{IC}}(t)=\sum_{j=1}^n\frac{\boldsymbol{\varphi}_j}{M_{pj}} \left(\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}_0\cos\omega_jt +\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{x}}_0\frac{\sin\omega_jt}{\omega_j}\right) $$

先考虑零初始条件。若在时刻 $\tau$ 施加一个模态冲量 $P_j(\tau)\,\mathrm{d}\tau$，对运动方程在该时刻附近积分，位移连续，而速度增量为

$$ \mathrm{d}\dot q_j=\frac{P_j(\tau)}{M_{pj}}\,\mathrm{d}\tau $$

在 $t>\tau$ 时，这一速度增量引起的自由响应为

$$ \mathrm{d}q_j(t)=\frac{P_j(\tau)}{M_{pj}\omega_j}\sin\omega_j(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau $$

叠加 $0\le\tau\le t$ 内的所有冲量，得到杜哈梅积分

$$ q_{2j}(t)=\frac1{M_{pj}\omega_j}\int_0^tP_j(\tau)\sin\omega_j(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau $$

记该阶模态的单位脉冲响应函数为

$$ h_j(t)=\frac{\sin\omega_jt}{M_{pj}\omega_j},\qquad t\ge0 $$

则 $q_{2j}$ 是模态力与脉冲响应的卷积。

总模态响应为 $q_j=q_{1j}+q_{2j}$，因而

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{x}(t) ={}&\sum_{j=1}^n\frac{\boldsymbol{\varphi}_j}{M_{pj}} \left(\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}_0\cos\omega_jt +\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{x}}_0\frac{\sin\omega_jt}{\omega_j}\right)\\ &+\sum_{j=1}^n\frac{\boldsymbol{\varphi}_j}{M_{pj}\omega_j} \int_0^t\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{f}(\tau)\sin\omega_j(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau \end{aligned} $$

若 $\omega_j=0$，则 $K_{pj}=0$，相应主坐标满足

$$ M_{pj}\ddot q_j=P_j(t) $$

连续积分两次，得到

$$ q_j(t)=q_j(0)+t\dot q_j(0)+\frac1{M_{pj}}\int_0^t(t-\tau)P_j(\tau)\,\mathrm{d}\tau $$

这一结果也可由 $\sin\omega_jt/\omega_j\to t$ 得到。零频项表示刚体运动或零刚度运动，仍应作为系统响应的一部分保留。

设各坐标所受激励具有相同频率 $\omega$，且

$$ \boldsymbol{f}(t)=\boldsymbol{F}\sin\omega t,\qquad \boldsymbol{F}=\begin{bmatrix}F_1&F_2&\cdots&F_n\end{bmatrix}^{\mathrm T} $$

记第 $j$ 阶模态力幅为 $\widehat P_j=\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{F}$。当 $\omega_j>0$、$\omega\ne\omega_j$ 时，模态方程为

$$ \ddot q_j+\omega_j^2q_j=\frac{\widehat P_j}{M_{pj}}\sin\omega t $$

设同频特解为 $a_j\sin\omega t$，代入得

$$ a_j=\frac{\widehat P_j}{M_{pj}(\omega_j^2-\omega^2)} $$

加上齐次解，并令 $q_j(0)=\dot q_j(0)=0$，有

$$ q_j(t)=\frac{\widehat P_j}{M_{pj}(\omega_j^2-\omega^2)} \left(\sin\omega t-\frac{\omega}{\omega_j}\sin\omega_jt\right) $$

引入第 $j$ 阶频率比 $\bar\omega_j=\omega/\omega_j$，也可写成

$$ q_j(t)=\frac{\widehat P_j}{K_{pj}(1-\bar\omega_j^2)} \left(\sin\omega t-\bar\omega_j\sin\omega_jt\right) $$

第一项是与激励同频的特解，第二项是保证零初始条件的伴随自由振动。由于没有阻尼，伴随自由振动持续存在，不能仅凭时间增长将其略去。

非共振时，各阶模态的同频特解叠加为

$$ \boldsymbol{x}_{\mathrm{ss}}(t)=\sum_{j=1}^n \frac{\boldsymbol{\varphi}_j\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{F}} {K_{pj}(1-\bar\omega_j^2)}\sin\omega t $$

这里的稳态响应指同频特解；实际无阻尼响应还包括由初值及激励接入过程确定的自由振动。

对时间求导，得到同频速度响应

$$ \dot{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{ss}}(t)=\sum_{j=1}^n \frac{\boldsymbol{\varphi}_j\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{F}\,\omega} {K_{pj}(1-\bar\omega_j^2)}\cos\omega t $$

因此，同一非零坐标分量的速度比位移超前 $\pi/2$。

当 $\omega\to\omega_r$ 时，第 $r$ 阶同频特解中的分母趋于零。若 $\widehat P_r\ne0$，其响应占据主导地位，位移的空间分布趋近于 $\boldsymbol{\varphi}_r$。

在精确共振 $\omega=\omega_r>0$ 时，应求解共振模态方程。取特解

$$ q_{pr}(t)=-\frac{\widehat P_r}{2M_{pr}\omega_r}t\cos\omega_rt $$

由零初始位移和零初始速度确定齐次项，得到

$$ q_r(t)=\frac{\widehat P_r}{2M_{pr}\omega_r^2} \left(\sin\omega_rt-\omega_rt\cos\omega_rt\right) $$

其中含有随时间线性增大的振动项。若 $\boldsymbol{\varphi}_r^{\mathrm T}\boldsymbol{F}=0$，外力不激发该阶模态，因而不会产生该阶受迫共振。测量坐标若位于该阶振型的节点，也可能观测不到该阶共振峰。

非简谐周期力可展开为傅里叶级数，分别计算各谐波响应，再按线性叠加原理相加。

2、机械阻抗分析法

将简谐激励写成复数形式

$$ \boldsymbol{f}(t)=\boldsymbol{F}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t},\qquad \boldsymbol{x}_{\mathrm{ss}}(t)=\boldsymbol{X}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} $$

其中 $\boldsymbol{F}$、$\boldsymbol{X}$ 为复幅值列向量；实际余弦响应取实部，正弦响应取虚部。由 $\ddot{\boldsymbol{x}}=-\omega^2\boldsymbol{X}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$，得到

$$ \boldsymbol{Z}(\omega)\boldsymbol{X}=\boldsymbol{F},\qquad \boldsymbol{Z}(\omega)=\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M} $$

$\boldsymbol{Z}$ 称为位移阻抗矩阵或动刚度矩阵。当它可逆时，定义位移导纳矩阵或动柔度矩阵

$$ \boldsymbol{H}(\omega)=\boldsymbol{Z}(\omega)^{-1},\qquad \boldsymbol{X}=\boldsymbol{H}(\omega)\boldsymbol{F} $$

$\boldsymbol{H}$ 也称位移频响矩阵。对角元素称为原点或直接位移导纳、位移阻抗；非对角元素称为跨点或交叉位移导纳、位移阻抗。导纳可通过单点施力、各点测响应获得；阻抗的测量则须控制其他坐标的位移。

当 $\omega=0$ 时，$\boldsymbol{Z}(0)=\boldsymbol{K}$；若 $\boldsymbol{K}$ 可逆，则 $\boldsymbol{H}(0)=\boldsymbol{K}^{-1}$，分别退化为静刚度矩阵与静柔度矩阵。

由模态矩阵的定义，得到

$$ \boldsymbol{M}=\boldsymbol{\Phi}^{-\mathrm T}\boldsymbol{M}_p\boldsymbol{\Phi}^{-1},\qquad \boldsymbol{K}=\boldsymbol{\Phi}^{-\mathrm T}\boldsymbol{K}_p\boldsymbol{\Phi}^{-1} $$

因此

$$ \boldsymbol{Z}=\boldsymbol{\Phi}^{-\mathrm T}(\boldsymbol{K}_p-\omega^2\boldsymbol{M}_p)\boldsymbol{\Phi}^{-1} $$

对乘积取逆，并利用中间矩阵为对角矩阵，得

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{H}(\omega) &=\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{K}_p-\omega^2\boldsymbol{M}_p)^{-1}\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\\ &=\sum_{j=1}^n\frac{\boldsymbol{\varphi}_j\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}}{K_{pj}-\omega^2M_{pj}} \end{aligned} $$

记 $\varphi_{rj}$ 为第 $j$ 阶振型的第 $r$ 个分量，则

$$ H_{rs}(\omega)=\sum_{j=1}^n\frac{\varphi_{rj}\varphi_{sj}}{K_{pj}-\omega^2M_{pj}} $$

该表达式直接给出 $H_{rs}=H_{sr}$，即对称系统的位移互易性。代入 $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{H}\boldsymbol{F}$，即恢复振型叠加得到的简谐特解。采用 $K_{pj}-\omega^2M_{pj}$ 的形式还可保留零频模态。

对共同相位的实正弦激励，非共振时 $\boldsymbol{H}(\omega)$ 为实矩阵，因此 $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{H}\boldsymbol{F}$ 也是实向量。若 $X_r>0$，第 $r$ 个位移分量与所选正弦基准同相；若 $X_r<0$，则反相。

任意两个非零位移分量的复幅值同号时同相，异号时反相。这是无阻尼系统在共同相位简谐激励下的特点。

二、比例黏性阻尼和实模态理论

1、系统阻尼

具有线性黏性阻尼的 $n$ 自由度系统满足

$$ \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}(t) $$

其中 $\boldsymbol{x}$ 为物理位移列向量，$\boldsymbol{f}$ 为外力列向量，$\boldsymbol{M}$、$\boldsymbol{C}$、$\boldsymbol{K}$ 分别为质量矩阵、黏性阻尼矩阵和刚度矩阵。取 $\boldsymbol{M}$ 实对称正定、$\boldsymbol{K}$ 实对称半正定，并考虑实对称阻尼矩阵。

无外力时，系统机械能为

$$ E=\frac12\dot{\boldsymbol{x}}^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{x}} +\frac12\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{K}\boldsymbol{x} $$

对时间求导，利用矩阵对称性和运动方程，得到

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} &=\dot{\boldsymbol{x}}^{\mathrm T}(\boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x})\\ &=-\dot{\boldsymbol{x}}^{\mathrm T}\boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{x}} \end{aligned} $$

因此，半正定阻尼使机械能不增加。局部阻尼可能对应奇异的半正定矩阵；其是否能使所有振动模态衰减，还取决于各模态是否受到阻尼作用。

无阻尼主振动可由实振型描述，各坐标之间只有同相或反相关系，节点位置固定，呈驻波性质。若阻尼仍允许利用这些实振型将运动方程完全解耦，就可以继续采用实模态叠加分析。

取无阻尼广义本征问题的一组质量正交实振型

$$ \boldsymbol{K}\boldsymbol{\varphi}_j=\omega_j^2\boldsymbol{M}\boldsymbol{\varphi}_j,\qquad \boldsymbol{\Phi}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\varphi}_1&\cdots&\boldsymbol{\varphi}_n\end{bmatrix} $$

其中模态质量和模态刚度满足

$$ \boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{M}_p,\qquad \boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\boldsymbol{K}\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{K}_p $$

$\boldsymbol{M}_p$、$\boldsymbol{K}_p$ 均为对角矩阵，且 $K_{pj}=M_{pj}\omega_j^2$。作变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{q}$，得到

$$ \boldsymbol{M}_p\ddot{\boldsymbol{q}}+\boldsymbol{C}_p\dot{\boldsymbol{q}}+\boldsymbol{K}_p\boldsymbol{q} =\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\boldsymbol{f},\qquad \boldsymbol{C}_p=\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\boldsymbol{C}\boldsymbol{\Phi} $$

若可选取实振型使 $\boldsymbol{C}_p$ 也为对角矩阵，则称系统具有比例黏性阻尼，也称经典阻尼。此时惯性、弹性和阻尼三类耦合均被消除。

对实对称的 $\boldsymbol{M}$、$\boldsymbol{K}$、$\boldsymbol{C}$，允许在重频子空间内重新选取振型时，比例阻尼的充要条件可写为

$$ \boldsymbol{K}\boldsymbol{M}^{-1}\boldsymbol{C} =\boldsymbol{C}\boldsymbol{M}^{-1}\boldsymbol{K} $$

其依据是质量标准化后的两个实对称矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{M}^{-1/2}\boldsymbol{K}\boldsymbol{M}^{-1/2},\qquad \boldsymbol{B}=\boldsymbol{M}^{-1/2}\boldsymbol{C}\boldsymbol{M}^{-1/2} $$

满足 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$ 时，可以由同一组实正交向量同时对角化。将该交换关系左右同乘 $\boldsymbol{M}^{1/2}$，即得到上述条件。

若相应逆矩阵存在，也可分别改写为

$$ \boldsymbol{K}\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{M} =\boldsymbol{M}\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{K} $$

或

$$ \boldsymbol{C}\boldsymbol{K}^{-1}\boldsymbol{M} =\boldsymbol{M}\boldsymbol{K}^{-1}\boldsymbol{C} $$

存在零频或局部阻尼时，优先采用只涉及 $\boldsymbol{M}^{-1}$ 的形式。

常用的瑞利阻尼取为

$$ \boldsymbol{C}=a\boldsymbol{M}+b\boldsymbol{K} $$

其中 $a$、$b$ 为比例系数，其量纲分别为时间的倒数和时间。利用振型矩阵前乘、后乘，得到

$$ \boldsymbol{C}_p=a\boldsymbol{M}_p+b\boldsymbol{K}_p $$

它显然为对角矩阵，因而瑞利阻尼是比例阻尼的一种形式。第 $j$ 阶模态阻尼系数为

$$ C_{pj}=aM_{pj}+bK_{pj}=M_{pj}(a+b\omega_j^2) $$

对 $\omega_j>0$，定义模态阻尼比

$$ \xi_j=\frac{C_{pj}}{2M_{pj}\omega_j} =\frac12\left(\frac a{\omega_j}+b\omega_j\right) $$

质量比例项对低频模态的阻尼比贡献较大，刚度比例项对高频模态的贡献较大。

若已知两个不同正频率 $\omega_r$、$\omega_s$ 及相应阻尼比 $\xi_r$、$\xi_s$，则

$$ \begin{cases} a+b\omega_r^2=2\xi_r\omega_r\\ a+b\omega_s^2=2\xi_s\omega_s \end{cases} $$

两式相减可得 $b$，再回代求 $a$，结果为

$$ b=\frac{2(\xi_s\omega_s-\xi_r\omega_r)}{\omega_s^2-\omega_r^2},\qquad a=\frac{2\omega_r\omega_s(\xi_r\omega_s-\xi_s\omega_r)}{\omega_s^2-\omega_r^2} $$

由拟合参数构造模型后，各阶是否耗能取决于 $C_{pj}=M_{pj}(a+b\omega_j^2)$ 是否非负。

对所有固有频率均为正的系统，若已知完整实振型、模态质量及各阶阻尼比，可直接令

$$ \boldsymbol{C}_p=\operatorname{diag}(2\xi_1M_{p1}\omega_1,\ldots,2\xi_nM_{pn}\omega_n) $$

由 $\boldsymbol{C}_p=\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\boldsymbol{C}\boldsymbol{\Phi}$，得到

$$ \boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Phi}^{-\mathrm T}\boldsymbol{C}_p\boldsymbol{\Phi}^{-1} $$

又由 $\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{M}_p$，有

$$ \boldsymbol{\Phi}^{-1}=\boldsymbol{M}_p^{-1}\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\boldsymbol{M},\qquad \boldsymbol{\Phi}^{-\mathrm T}=\boldsymbol{M}\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{M}_p^{-1} $$

因此

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{C} &=\boldsymbol{M}\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{M}_p^{-1}\boldsymbol{C}_p\boldsymbol{M}_p^{-1})\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\\ &=\sum_{j=1}^n\frac{2\xi_j\omega_j}{M_{pj}} (\boldsymbol{M}\boldsymbol{\varphi}_j)(\boldsymbol{M}\boldsymbol{\varphi}_j)^{\mathrm T} \end{aligned} $$

这样构造的阻尼可以具有独立指定的各阶阻尼比，不必都服从瑞利阻尼的双参数关系。

若实际 $\boldsymbol{C}_p$ 不是对角矩阵，而将其非对角元素略去，则得到振型阻尼近似。被略去的模态阻尼耦合可能影响响应，特别是在相邻模态较接近时，需结合响应精度判断这一近似。

2、时域特性分析

(1) 自由振动的模态叠加方法

外力为零时，比例阻尼系统解耦为

$$ M_{pj}\ddot q_j+C_{pj}\dot q_j+K_{pj}q_j=0 $$

对正频率模态，两边除以 $M_{pj}$，得到

$$ \ddot q_j+2\xi_j\omega_j\dot q_j+\omega_j^2q_j=0 $$

在欠阻尼情况 $0\le\xi_j<1$ 下，特征根为

$$ \lambda_{j\pm}=-\xi_j\omega_j\pm\mathrm{i}\omega_{dj},\qquad \omega_{dj}=\omega_j\sqrt{1-\xi_j^2} $$

其中 $\omega_{dj}$ 为第 $j$ 阶有阻尼固有频率。令

$$ q_j(t)=\mathrm{e}^{-\xi_j\omega_jt}(A_j\cos\omega_{dj}t+B_j\sin\omega_{dj}t) $$

代入初始位移 $q_{j0}=q_j(0)$ 和初始速度 $\dot q_{j0}=\dot q_j(0)$，有

$$ A_j=q_{j0},\qquad -\xi_j\omega_jA_j+\omega_{dj}B_j=\dot q_{j0} $$

故

$$ q_j(t)=\mathrm{e}^{-\xi_j\omega_jt} \left(q_{j0}\cos\omega_{dj}t+ \frac{\dot q_{j0}+\xi_j\omega_jq_{j0}}{\omega_{dj}}\sin\omega_{dj}t\right) $$

给定 $\boldsymbol{x}_0$、$\dot{\boldsymbol{x}}_0$，利用质量正交性得

$$ q_{j0}=\frac{\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}_0}{M_{pj}},\qquad \dot q_{j0}=\frac{\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{x}}_0}{M_{pj}} $$

因此

$$ \boldsymbol{x}(t) =\sum_{j=1}^n\frac{\mathrm{e}^{-\xi_j\omega_jt}\boldsymbol{\varphi}_j}{M_{pj}} \Bigg[\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}_0\cos\omega_{dj}t +\frac{\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{x}}_0 +\xi_j\omega_j\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}_0}{\omega_{dj}} \sin\omega_{dj}t\Bigg] $$

(2) 受迫振动的模态叠加法

比例阻尼系统在外力作用下的模态方程为

$$ M_{pj}\ddot q_j+C_{pj}\dot q_j+K_{pj}q_j=P_j(t),\qquad P_j(t)=\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{f}(t) $$

对正频率欠阻尼模态，单位模态冲量使速度从零跃变至 $1/M_{pj}$，因而模态脉冲响应为

$$ h_j(t)=\frac{\mathrm{e}^{-\xi_j\omega_jt}}{M_{pj}\omega_{dj}}\sin\omega_{dj}t,\qquad t\ge0 $$

零初始条件下的杜哈梅积分为

$$ q_{2j}(t)=\int_0^tP_j(\tau)h_j(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau $$

变换回物理坐标，得到

$$ \boldsymbol{x}_{\mathrm{F}}(t)=\sum_{j=1}^n\frac{\boldsymbol{\varphi}_j}{M_{pj}\omega_{dj}} \int_0^t\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{f}(\tau) \mathrm{e}^{-\xi_j\omega_j(t-\tau)}\sin\omega_{dj}(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau $$

若初始条件不为零，还须加上相应的自由响应，即

$$ \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}_{\mathrm{IC}}(t)+\boldsymbol{x}_{\mathrm{F}}(t) $$

设 $\boldsymbol{f}(t)=\boldsymbol{F}\sin\omega t$，记

$$ \widehat P_j=\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{F},\qquad \bar\omega_j=\frac{\omega}{\omega_j} $$

对模态方程采用复数法，令 $q_j=Q_j\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$，则

$$ (K_{pj}-\omega^2M_{pj}+\mathrm{i}\omega C_{pj})Q_j=\widehat P_j $$

由 $C_{pj}=2\xi_jM_{pj}\omega_j$、$K_{pj}=M_{pj}\omega_j^2$，得到

$$ Q_j=\frac{\widehat P_j}{K_{pj}} \frac1{1-\bar\omega_j^2+2\mathrm{i}\xi_j\bar\omega_j} $$

定义第 $j$ 阶振幅放大系数和相位差

$$ \beta_j=\frac1{\sqrt{(1-\bar\omega_j^2)^2+(2\xi_j\bar\omega_j)^2}} $$

$$ \theta_j=\arccos\frac{1-\bar\omega_j^2} {\sqrt{(1-\bar\omega_j^2)^2+(2\xi_j\bar\omega_j)^2}} $$

对 $\xi_j>0$、$\omega>0$，有 $0<\theta_j<\pi$，且

$$ \frac1{1-\bar\omega_j^2+2\mathrm{i}\xi_j\bar\omega_j} =\beta_j\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta_j} $$

因此，取复解的虚部，得到模态正弦稳态响应

$$ q_{j,\mathrm{ss}}(t)=\frac{\widehat P_j}{K_{pj}}\beta_j\sin(\omega t-\theta_j) $$

其中 $\theta_j$ 是相对于该阶模态力的滞后相位，主坐标的非负振幅为 $|\widehat P_j|\beta_j/K_{pj}$。

记 $A_j=\widehat P_j\beta_j/K_{pj}$，它可以带符号。零初始条件下，令完整受迫模态响应为

$$ q_{2j}(t)=A_j\sin(\omega t-\theta_j) +\mathrm{e}^{-\xi_j\omega_jt}(B_j\cos\omega_{dj}t+D_j\sin\omega_{dj}t) $$

由 $q_{2j}(0)=0$，得 $B_j=A_j\sin\theta_j$；再由 $\dot q_{2j}(0)=0$，得

$$ D_j=\frac{A_j}{\omega_{dj}}(\xi_j\omega_j\sin\theta_j-\omega\cos\theta_j) $$

因而

$$ \begin{aligned} q_{2j}(t)={}&A_j\sin(\omega t-\theta_j)\\ &+A_j\mathrm{e}^{-\xi_j\omega_jt} \left[\sin\theta_j\cos\omega_{dj}t +\frac{\xi_j\omega_j\sin\theta_j-\omega\cos\theta_j}{\omega_{dj}}\sin\omega_{dj}t\right] \end{aligned} $$

第一项为同频稳态响应，第二项为激励接入引起的伴随自由振动。若各参与模态均有正阻尼，初值响应与伴随自由振动随时间衰减，剩下的物理稳态响应为

$$ \boldsymbol{x}_{\mathrm{ss}}(t)=\sum_{j=1}^n \boldsymbol{\varphi}_j\frac{\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{F}}{K_{pj}} \beta_j\sin(\omega t-\theta_j) $$

各模态具有不同的相位差，因此物理坐标响应是各模态复幅值的矢量叠加。

3、频域特性分析

采用复数简谐激励 $\boldsymbol{f}=\boldsymbol{F}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ 和同频响应 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$，代入运动方程得

$$ (\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M}+\mathrm{i}\omega\boldsymbol{C})\boldsymbol{X}=\boldsymbol{F} $$

因此，动刚度矩阵和动柔度矩阵分别为

$$ \boldsymbol{Z}(\omega)=\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M}+\mathrm{i}\omega\boldsymbol{C},\qquad \boldsymbol{H}(\omega)=\boldsymbol{Z}(\omega)^{-1} $$

位移复幅值满足 $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{H}(\omega)\boldsymbol{F}$。实际余弦响应取 $\boldsymbol{X}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ 的实部，正弦响应取虚部。

上述动刚度关系适用于一般黏性阻尼；以无阻尼实振型将其化为独立模态之和，则需要比例阻尼条件。

由三个模态矩阵的定义，动刚度可写为

$$ \boldsymbol{Z}(\omega)=\boldsymbol{\Phi}^{-\mathrm T} (\boldsymbol{K}_p-\omega^2\boldsymbol{M}_p+\mathrm{i}\omega\boldsymbol{C}_p) \boldsymbol{\Phi}^{-1} $$

因此

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{H}(\omega) &=\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{K}_p-\omega^2\boldsymbol{M}_p+\mathrm{i}\omega\boldsymbol{C}_p)^{-1}\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm T}\\ &=\sum_{j=1}^n\frac{\boldsymbol{\varphi}_j\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}} {K_{pj}-\omega^2M_{pj}+\mathrm{i}\omega C_{pj}}\\ &=\sum_{j=1}^n\frac{\boldsymbol{\varphi}_j\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}} {K_{pj}}\beta_j\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta_j} \end{aligned} $$

最后一式用于正频率模态；若存在零频模态，采用前一式中的未归一化分母即可。矩阵元素为

$$ H_{rs}(\omega)=\sum_{j=1}^n\frac{\varphi_{rj}\varphi_{sj}} {K_{pj}-\omega^2M_{pj}+\mathrm{i}\omega C_{pj}} $$

其中 $H_{rs}$ 表示仅在第 $s$ 个坐标施加单位简谐力时，第 $r$ 个坐标的位移复幅值。由分子关于 $r$、$s$ 的对称性，仍有 $H_{rs}=H_{sr}$。

由 $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{H}\boldsymbol{F}$，得到

$$ \boldsymbol{X}=\sum_{j=1}^n\boldsymbol{\varphi}_j \frac{\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{F}}{K_{pj}} \beta_j\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta_j} $$

乘以 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ 并取虚部，即恢复正弦激励下的时域稳态响应。

对共同相位的正弦力，若第 $r$ 个坐标的复幅值写为 $X_r=|X_r|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_r}$，则

$$ x_{r,\mathrm{ss}}(t)=|X_r|\sin(\omega t+\gamma_r) $$

物理坐标的振幅和相位由各阶模态复幅值相加后确定，不能直接把单阶 $\beta_j$、$\theta_j$ 当作整个系统该坐标的幅频和相频特性。

三、对称状态方程

1、由二阶方程转为一阶方程

将速度和位移组成 $2n$ 维状态列向量

$$ \boldsymbol{z}=\begin{bmatrix}\dot{\boldsymbol{x}}\\\boldsymbol{x}\end{bmatrix} $$

状态向量 $\boldsymbol{z}$ 的上半部分为速度，下半部分为位移。引入恒等式 $\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{x}}-\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{0}$，可将系统改写为

$$ \widetilde{\boldsymbol{M}}\dot{\boldsymbol{z}} +\widetilde{\boldsymbol{K}}\boldsymbol{z}=\widetilde{\boldsymbol{f}} $$

其中

$$ \widetilde{\boldsymbol{M}}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{0}&\boldsymbol{M}\\\boldsymbol{M}&\boldsymbol{C} \end{bmatrix},\qquad \widetilde{\boldsymbol{K}}=\begin{bmatrix} -\boldsymbol{M}&\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{0}&\boldsymbol{K} \end{bmatrix},\qquad \widetilde{\boldsymbol{f}}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{f}\end{bmatrix} $$

第一块行给出 $\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{x}}-\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{0}$，第二块行给出原运动方程。两个状态矩阵均为实对称矩阵。

$\widetilde{\boldsymbol{M}}$ 不是物理质量矩阵，也不是正定矩阵，但它可逆。事实上，若

$$ \begin{bmatrix}\boldsymbol{0}&\boldsymbol{M}\\\boldsymbol{M}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\boldsymbol{u}\\\boldsymbol{v}\end{bmatrix}=\boldsymbol{0} $$

第一行由 $\boldsymbol{M}$ 可逆推出 $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$，第二行再推出 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}$。

2、状态振型与位移振型

无外力时，设

$$ \boldsymbol{z}(t)=\boldsymbol{\psi}_j\mathrm{e}^{\lambda_jt} $$

代入状态方程，得到广义本征方程

$$ \widetilde{\boldsymbol{K}}\boldsymbol{\psi}_j =-\lambda_j\widetilde{\boldsymbol{M}}\boldsymbol{\psi}_j $$

若相应的位移振型为 $\boldsymbol{\varphi}_j$，则由速度等于位移的时间导数，状态振型满足

$$ \boldsymbol{\psi}_j=\begin{bmatrix} \lambda_j\boldsymbol{\varphi}_j\\\boldsymbol{\varphi}_j \end{bmatrix} $$

将此式代回第二块行，恰得

$$ (\lambda_j^2\boldsymbol{M}+\lambda_j\boldsymbol{C}+\boldsymbol{K})\boldsymbol{\varphi}_j=\boldsymbol{0} $$

因此，一阶状态本征问题与原来的二次本征问题等价。每个状态振型有 $2n$ 个分量，能同时编码该模态的位移和速度关系。

对两个状态本征向量，有

$$ \widetilde{\boldsymbol{K}}\boldsymbol{\psi}_j=-\lambda_j\widetilde{\boldsymbol{M}}\boldsymbol{\psi}_j,\qquad \widetilde{\boldsymbol{K}}\boldsymbol{\psi}_i=-\lambda_i\widetilde{\boldsymbol{M}}\boldsymbol{\psi}_i $$

对第一式左乘 $\boldsymbol{\psi}_i^{\mathrm T}$；对第二式取转置，再右乘 $\boldsymbol{\psi}_j$。利用两个状态矩阵的对称性，分别得到

$$ \boldsymbol{\psi}_i^{\mathrm T}\widetilde{\boldsymbol{K}}\boldsymbol{\psi}_j =-\lambda_j\boldsymbol{\psi}_i^{\mathrm T}\widetilde{\boldsymbol{M}}\boldsymbol{\psi}_j $$

$$ \boldsymbol{\psi}_i^{\mathrm T}\widetilde{\boldsymbol{K}}\boldsymbol{\psi}_j =-\lambda_i\boldsymbol{\psi}_i^{\mathrm T}\widetilde{\boldsymbol{M}}\boldsymbol{\psi}_j $$

两式相减，得

$$ (\lambda_i-\lambda_j)\boldsymbol{\psi}_i^{\mathrm T}\widetilde{\boldsymbol{M}}\boldsymbol{\psi}_j=0 $$

故当 $\lambda_i\ne\lambda_j$ 时，成立

$$ \boldsymbol{\psi}_i^{\mathrm T}\widetilde{\boldsymbol{M}}\boldsymbol{\psi}_j=0,\qquad \boldsymbol{\psi}_i^{\mathrm T}\widetilde{\boldsymbol{K}}\boldsymbol{\psi}_j=0 $$

这里使用普通转置 $\mathrm T$，不取复共轭。该正交性来自复对称本征问题，是双线性正交关系，而非通常复内积中的厄米正交关系。

定义

$$ \widetilde M_{pj}=\boldsymbol{\psi}_j^{\mathrm T}\widetilde{\boldsymbol{M}}\boldsymbol{\psi}_j,\qquad \widetilde K_{pj}=\boldsymbol{\psi}_j^{\mathrm T}\widetilde{\boldsymbol{K}}\boldsymbol{\psi}_j $$

代入状态振型的分块表达式，得到

$$ \begin{aligned} \widetilde M_{pj} &=\begin{bmatrix}\lambda_j\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}&\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\boldsymbol{M}\boldsymbol{\varphi}_j\\ \lambda_j\boldsymbol{M}\boldsymbol{\varphi}_j+\boldsymbol{C}\boldsymbol{\varphi}_j\end{bmatrix}\\ &=\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T}(2\lambda_j\boldsymbol{M}+\boldsymbol{C})\boldsymbol{\varphi}_j \end{aligned} $$

以及

$$ \widetilde K_{pj}=\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm T} (-\lambda_j^2\boldsymbol{M}+\boldsymbol{K})\boldsymbol{\varphi}_j $$

由本征方程直接得到

$$ \widetilde K_{pj}=-\lambda_j\widetilde M_{pj},\qquad \lambda_j=-\frac{\widetilde K_{pj}}{\widetilde M_{pj}} $$

复模态质量和复模态刚度一般为复数，其数值随振型定标而改变。

[!NOTE]

后面不记了，黄志龙老师说，研究力学四十年来，从未在实际问题中应用过复模态理论。期待你能对这部分理论进一步完善。