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一、流体运动的一维模型与基本方程1、一维流动模型一维流动是指速度、压强、密度等流动物理量只随一个空间坐标变化的流动。若这些物理量与时间无关，则为一维定常流动；若还随时间变化，则为一维非定常流动。以流线或微元流束的中心流线为坐标线时，沿该流线的运动可按一维流动研究。管道或槽道中各物理量在过流截面上通常并不均匀。将截面上的物理量视为均匀分布，或用适当的截面平均量描述流动，所得模型称为准一维流动。它既描述物理量沿流道轴线的变化，也考虑过流截面面积变化对质量、动量和能量输运的影响。准一维模型通常要求流道截面沿程变化缓慢而连续，轴线曲率半径远大于截面尺度，所研究的…

一、流体运动的连续性方程连续性方程是质量守恒定律的数学表达，适用于粘性与无粘性、可压缩与不可压缩流动。记密度为 $\rho$，速度为 $\boldsymbol{V}$，固定控制体为 $\tau$，其封闭控制面为 $A$，外法向单位矢量为 $\boldsymbol{n}$。随体导数表示同一流体质点沿运动的变化率：$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol{V}\cdot\nabla $$1、积分形式与微分形式固定控制体内的质量积累率与通过控制面的质量净…

一、基本方程组的封闭性1、封闭性的含义对于选定的流动模型，若独立未知标量场的数目与独立标量方程的数目相同，且有关本构关系和物性关系已经给定，则称该方程组在形式上封闭。矢量方程应按分量计数。在三维空间中，一个矢量未知量相当于三个标量未知量，一个矢量方程相当于三个标量方程。封闭性表示描述未知量所需的方程已经配齐；解是否存在、是否唯一以及是否稳定，还取决于方程性质、数据与定解条件。2、黏性可压缩完全气体的基本方程组记密度为 $\rho$，速度为 $\boldsymbol{V}=(u,v,w)$，压强为 $p$，温度为 $T$。随体导数为$$ \frac{\ma…

一、流体的热动平衡假设1、热力学系统与状态参数热力学系统是作为研究对象的物质集合。在连续介质模型中，可将流体质点看作局部的热力学系统，每个流体质点内包含足够多的分子，使其热力学性质可以用宏观参数描述。记密度为 $\rho$，压强为 $p$，热力学温度为 $T$。单位质量流体所占的体积称为比体积，记为 $\upsilon$，满足$$ \upsilon=\frac{1}{\rho} $$描述流体热力学状态的参数还包括单位质量内能 $e$、焓 $h$、熵 $s$ 等。对于成分固定、处于单一相的简单可压缩流体，平衡态中只有两个独立的热力学状态参数；选择两个适当的…

一、积分形式的能量方程1、能量守恒定律运动流体除满足质量守恒与动量定律外，还须满足能量守恒定律，即热力学第一定律：对于由确定流体质点组成的流体系统，其总能量的时间变化率等于单位时间内传给系统的热量与外力对系统所做的功之和。记系统总能量为 $E$，传入系统的热流率为 $\sum Q_h$，外力对系统做功的功率为 $\sum N$，则$$ \frac{\mathrm{D}E}{\mathrm{D}t}=\sum Q_h+\sum N $$采用流体吸热为正、外力对流体做功为正的约定。记密度为 $\rho$，速度为 $\boldsymbol{V}=u\bolds…

一、积分形式的运动方程1、动量定律与流体系统的动量对于由确定流体质点组成的流体系统，其总动量的时间变化率等于作用在系统上的体积力与表面力之和。将这一动量定律写成流体运动的数学表达式，即得到运动方程，也称动量方程。记密度为 $\rho$，速度为 $\boldsymbol{V}=u\boldsymbol{i}+v\boldsymbol{j}+w\boldsymbol{k}$，时间为 $t$。同一流体系统在 $t$ 时刻所占的体积为 $\tau(t)$，微元体积 $\mathrm{d}\tau$ 内的质量及动量分别为$$ \mathrm{d}m=\rho\,\…

一、质量守恒与连续性方程1、物理基础与表达形式对于由确定流体质点组成的流体系统，其总质量在运动过程中保持不变。质量守恒定律的数学表达式称为连续性方程。连续性方程只涉及密度、速度及其时空变化，不涉及作用力，也不依赖流体的黏性性质，因此适用于黏性流体与理想流体，也适用于可压缩流体与不可压缩流体。按研究对象的尺度，可采用两种表达形式：表达形式研究对象主要用途使用条件积分形式有限控制体内的总质量及边界上的质量流量研究总体质量收支、管道进出口流量等可以处理包含间断面的流动，但须正确计入边界通量微分形式流场中各点的密度与速度研究密度、速度的局部分布及变化经典形式要求…

流体运动通常采用欧拉描述，即研究物理量在空间和时间中的分布；质量守恒、牛顿运动定律和能量守恒等基本物理定律，则通常直接针对一个确定的物质系统建立。因而，建立流体运动基本方程时，需要把针对流体系统的物理规律转换为针对控制体的数学表达式。这一转换的关键是体积分的随体导数：既要计入物理量在空间中的局部变化，也要计入流体穿越控制面所产生的输运。一、流体的系统1、系统、外界与边界定义在连续介质假设下，由一组确定的、连续分布的流体质点组成的流体团，称为流体的系统，简称系统。系统可以是微元体积内的流体微团，也可以是有限体积内的流体团。系统的大小不影响其本质：在不同时刻…

一、流体静压强及其特性1、静压力与静压强静止流体中只有沿作用面法线方向的表面力，这种力称为静压力。单位面积上所受的静压力称为静压强，记为 $p$。若微小面积 $\mathrm{d}A$ 上的静压力大小为 $\mathrm{d}P$，则$$ p=\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}A} $$静压力是力，单位为 $\mathrm{N}$；静压强是标量，单位为 $\mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^2}$。工程上常把静压强简称为压力，但计算总作用力时应区分二者。静止流体作用于所取流体分离体表面的静压力，必沿该表面的内法线方向。…

一、迹线、流线、脉线流动可以从两种角度描述：拉格朗日描述始终跟踪同一个流体质点，欧拉描述则记录各固定空间点在不同时刻的速度。记 $(a,b,c)$ 为质点的固定标号，$t$ 为时间，$\boldsymbol{r}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$ 为位置矢量，$\boldsymbol{V}=u\boldsymbol{i}+v\boldsymbol{j}+w\boldsymbol{k}$ 为速度场。迹线、流线和脉线均为流场中的曲线，但其“固定什么、改变什么”各不相同。1、迹线迹线（pathli…

一、流体运动的两种描述方法1、研究对象与符号约定流场由大量流体质点（fluid particle）组成，每个流体质点都具有质量、动量、内能等物理属性，因此可以为每个流体质点建立数学方程。描述流体运动需要回答两个问题：一是某个确定的流体质点在各时刻位于何处、其物理量如何变化；二是某个确定的空间点，在各时刻由哪个流体质点占据、其物理量如何变化。前者的数学表述称为拉格朗日描述，后者称为欧拉描述。记 $t$ 为时间，$(a,b,c)$ 为区分不同流体质点的标号参数，$(x,y,z)$ 为空间直角坐标。速度矢量记作 $\boldsymbol{V} = u\bold…

流体不经搓，一搓就搓出了涡——陆士嘉从流体力学的角度看，物质只分为流体与固体两种状态。固体的特征是：受到剪切应力时可以通过静变形抵抗剪切应力；流体则不能，只要存在剪切应力，无论它多么小，流体都会发生连续不断的剪切变形，即流动。一、流体质点与连续介质假设1、两种研究途径流体力学主要研究流体的宏观运动，研究途径有微观和宏观两种。微观途径：从研究分子和原子的运动出发，采用统计平均方法建立宏观物理量应满足的方程，并确定流体的宏观性质。这种途径取决于分子运动论的发展，目前应用较少。宏观途径：先给流体建立一个宏观的“抽象化”的物质模型，然后直接应用基本物理定律来建立…

流体运动的描述主要有两种基本方法：拉格朗日方法（Lagrangian Description）：跟踪流体中各个微小粒子的运动，描述粒子在随时间演化过程中的位置、速度和加速度。欧拉方法（Eulerian Description）：在固定的空间控制体上描述流体的各种物理量（如速度、密度、压强等）随时间的变化。下面分别对这两种方法进行详细推导介绍。一、拉格朗日方法拉格朗日方法关注流体中每个微元粒子，标记每个粒子在初始时的参照位置 $\mathbf{X}$，其随时间的运动由映射函数描述。设$$ \mathbf{x} = \boldsymbol{\chi}(\ma…

伯努利方程描述了理想流体在稳态、不可压、无粘等条件下沿流线的能量守恒关系，其数学形式为$$ \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gz = \text{常数}, $$其中$p$ 为流体压强$\rho$ 为流体密度$v$ 为流体速度$z$ 为高度（或任意参考坐标系中的位移）$g$ 为重力加速度下面给出两种推导方法。方法一：基于欧拉方程的推导对于无粘、不可压的理想流体，欧拉方程写为$$ \rho\frac{\mathrm{D}\mathbf{v}}{\mathrm{D}t} = -\nabla p + \rho \mathbf{g…