一、流体运动的连续性方程

连续性方程是质量守恒定律的数学表达，适用于粘性与无粘性、可压缩与不可压缩流动。

记密度为 $\rho$，速度为 $\boldsymbol{V}$，固定控制体为 $\tau$，其封闭控制面为 $A$，外法向单位矢量为 $\boldsymbol{n}$。随体导数表示同一流体质点沿运动的变化率：

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol{V}\cdot\nabla $$

1、积分形式与微分形式

固定控制体内的质量积累率与通过控制面的质量净流出率之和为零：

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\rho(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A=0 $$

局部形式及其等价的随体形式为

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})=0 $$

$$ \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}+\rho\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0 $$

积分形式用于总体质量收支，可以处理包含间断面的流动；经典微分形式用于局部场分析，要求有关物理量满足相应光滑性条件。

2、定常与不可压缩条件

定常流动满足

$$ \nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})=0 $$

定常流动中，质点经过不同位置时仍可能发生密度变化。

不可压缩条件表示同一流体质点沿运动保持密度不变：

$$ \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}=0, \qquad \nabla\cdot\boldsymbol{V}=0 $$

该条件对定常与非定常流动均成立，不要求不同流体质点具有相同密度。

定常单入口、单出口流动中，进出口质量流量相等。若各截面的密度与法向速度均匀，则

$$ \rho_1V_{n1}A_1=\rho_2V_{n2}A_2 $$

两截面密度相同时，有

$$ V_{n1}A_1=V_{n2}A_2 $$

相关内容：《流体运动的连续性方程》

二、流体的运动方程

运动方程表示流体系统的动量变化率等于合外力。记 $\boldsymbol{f}$ 为单位质量体积力，$\boldsymbol{P}$ 为应力张量，$\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}$ 为控制面上的应力矢量。

1、一般运动方程

固定控制体内的动量积累率与动量净流出率之和等于合外力：

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\boldsymbol{V}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\rho\boldsymbol{V}(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A =\int_\tau\rho\boldsymbol{f}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}A $$

局部运动方程为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}+\nabla\cdot\boldsymbol{P} $$

定常流动的控制体动量积累率为零，合外力等于动量净流出率；流体质点仍可具有对流加速度。

2、牛顿流体本构关系与纳维－斯托克斯方程

记动力黏度为 $\mu$，应变率张量为 $\boldsymbol{E}$，其分量为

$$ \varepsilon_{ij} =\frac12\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) $$

采用斯托克斯假设时，牛顿流体的应力分解为压强部分与粘性部分：

$$ \boldsymbol{P}=-p\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\tau}, \qquad \boldsymbol{\tau}=2\mu\boldsymbol{E} -\frac23\mu(\nabla\cdot\boldsymbol{V})\boldsymbol{I} $$

其中 $p$ 为热力学压强，$\boldsymbol{I}$ 为单位张量。粘性应力既可含切向分量，也可含附加法向分量。

黏度在空间中均匀时，可压缩流体的纳维－斯托克斯方程为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}-\nabla p +\mu\nabla^2\boldsymbol{V} +\frac{\mu}{3}\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{V}) $$

不可压缩流动进一步满足

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{V}=0, \qquad \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}-\nabla p+\mu\nabla^2\boldsymbol{V} $$

3、无黏流动与静止状态

忽略粘性时，欧拉运动方程为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}-\nabla p $$

该式适用于可压缩与不可压缩的无黏流动。

流体静止时，粘性与无粘性流体均满足

$$ \nabla p=\rho\boldsymbol{f} $$

相关内容：《流体的运动方程》

三、流体运动的能量方程

流体系统总能量的变化率等于传入热量与外力功率之和。记单位质量内能为 $e$，单位质量热源功率为 $q$，导热系数为 $k$，温度为 $T$。

1、总能量与内能方程

以 $e+V^2/2$ 表示单位质量总能量，将体积力作用计入外力功时，局部总能量方程为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} \left(e+\frac{V^2}{2}\right) =\rho q+\nabla\cdot(k\nabla T) +\rho\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{V} +\nabla\cdot(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{V}) $$

动能方程不是独立于运动方程的基本方程。牛顿流体的内能方程为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}e}{\mathrm{D}t} =\rho q+\nabla\cdot(k\nabla T) -p\nabla\cdot\boldsymbol{V}+\Phi $$

其中 $-p\nabla\cdot\boldsymbol{V}$ 为压缩或膨胀功，$\Phi$ 为粘性耗散函数。对正压强流体，压缩功提高内能，膨胀功降低内能。

采用斯托克斯假设且 $\mu\ge0$ 时，有

$$ \Phi=\boldsymbol{\tau}:\boldsymbol{E} =2\mu\left[\boldsymbol{E}:\boldsymbol{E} -\frac13(\nabla\cdot\boldsymbol{V})^2\right]\ge0 $$

冒号表示张量双点积。粘性耗散使机械能不可逆地转化为内能。

2、温度方程与不可压缩流动

采用 $\mathrm{d}e=c_v\,\mathrm{d}T$，且比定容热容 $c_v$ 为常数时，温度方程为

$$ \rho c_v\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t} =\rho q+\nabla\cdot(k\nabla T) -p\nabla\cdot\boldsymbol{V}+\Phi $$

不可压缩且导热系数在空间中均匀时，有

$$ \rho c_v\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t} =\rho q+k\nabla^2T+\Phi, \qquad \Phi=2\mu\boldsymbol{E}:\boldsymbol{E} $$

不可压缩流动的压强体积变形功为零，但仍可存在粘性发热。

3、光滑无黏绝热流动

在无黏、无热传导、无热源的光滑区域内，单位质量熵 $s$ 满足

$$ \frac{\mathrm{D}s}{\mathrm{D}t}=0 $$

各质点沿运动保持各自的熵；全流场均匀熵还要求初始熵均匀。

若同时不可压缩，并采用 $\mathrm{d}e=c_v\,\mathrm{d}T$，则

$$ \frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t}=0 $$

温度沿质点轨迹不变；全流场温度相同还要求初始温度均匀。

相关内容：《流体运动的能量方程》

四、流体的热力学状态方程

1、局部热力学平衡与状态关系

对成分固定、单相的简单可压缩流体，局部平衡状态由两个适当的独立热力学参数确定。常用状态关系为

$$ p=p(\rho,T),\qquad e=e(\rho,T) $$

局部热力学平衡允许温度、压强和密度随时空变化，也允许存在导热与粘性耗散。

密度变化可忽略的液体可采用 $\rho=\rho_0$；比热容近似不变时，可采用 $e-e_0=c_v(T-T_0)$。

2、常比热容完全气体

记气体常数为 $R$，比定压热容为 $c_p$，比热比为 $\gamma$。完全气体满足

$$ p=\rho RT, \qquad e=c_vT, \qquad h=e+\frac{p}{\rho}=c_pT $$

内能和焓的表达式采用相应参考零点。状态方程中的 $p$ 为绝对压强，$T$ 为热力学温度。

$$ c_p-c_v=R, \qquad \gamma=\frac{c_p}{c_v}, \qquad c_v=\frac{R}{\gamma-1}, \qquad c_p=\frac{\gamma R}{\gamma-1} $$

完全气体模型描述热力学性质，无黏流体模型描述粘性近似，两者属于不同假设。

3、熵与等熵关系

简单可压缩流体的热力学基本关系为

$$ T\,\mathrm{d}s =\mathrm{d}e+p\,\mathrm{d}\left(\frac1\rho\right) =\mathrm{d}h-\frac1\rho\,\mathrm{d}p $$

常比热容完全气体的熵差为

$$ s-s_0 =c_v\ln\frac{T}{T_0}-R\ln\frac{\rho}{\rho_0} =c_p\ln\frac{T}{T_0}-R\ln\frac{p}{p_0} $$

等熵过程满足

$$ \frac{p}{\rho^\gamma}=C, \qquad \frac{T}{T_0} =\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^{\gamma-1} =\left(\frac{p}{p_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} $$

不同质点的熵不同时，常数 $C$ 可以不同；均匀熵流场中，$C$ 才是全区域统一的常数。

4、正压关系

正压流体满足 $\rho=\rho(p)$；密度不能简化为仅由压强确定时，属于斜压情形。常见正压模型包括常密度流动、区域内均匀等温的完全气体，以及均匀熵的完全气体。

已知正压关系，且物性与体积力不依赖待求温度时，连续性方程与运动方程即可确定机械流场。

相关内容：《流体的热力学状态方程》

五、基本方程组的封闭性及定解条件

1、方程组的封闭性

本构关系与物性关系已给定，且独立未知标量场与独立标量方程数目相同时，方程组形式上封闭。三维矢量未知量与矢量方程分别按三个标量计数。

经典气体动力学的等熵方程为

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right)=0 $$

该关系适用于光滑区域；激波处应采用质量、动量与总能量的守恒跳跃条件。

形式封闭不保证解的存在性、唯一性或稳定性。具体流动还需给定流动区域、相容的初始条件及边界条件。

2、初始条件与固壁条件

可压缩完全气体可给定初始速度、密度和温度，初始压强由状态方程确定。

常密度不可压缩流动的初始速度须满足

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{V}_0=0 $$

初始压强由运动方程、不可压缩约束及压力边界或基准条件共同确定，不作为任意独立的初始场。

记壁面速度为 $\boldsymbol{V}_b$，无穿透条件与粘性无滑移条件分别为

$$ (\boldsymbol{V}-\boldsymbol{V}_b)\cdot\boldsymbol{n}=0 $$

$$ \boldsymbol{V}=\boldsymbol{V}_b $$

无黏流体通常只施加法向无穿透条件。求解温度场时，还需给定壁面温度或热流；绝热壁面满足法向导热通量为零。

3、液体界面与自由液面条件

两种互不相混液体在无相变、无质量穿越的界面上，法向速度与界面法向速度一致。忽略表面张力时，两侧总应力平衡；只有法向粘性应力可忽略时，才简化为压强连续。

自由液面同时满足运动学条件与动力学条件。界面写为 $F(\boldsymbol{x},t)=0$ 且无相变时，运动学条件为

$$ \frac{\mathrm{D}F}{\mathrm{D}t}=0 $$

忽略表面张力和气体粘性应力，气侧压强为 $p_0$ 时，液侧满足

$$ \boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{n}=-p_0\boldsymbol{n} $$

液侧法向粘性应力也可忽略时，法向条件简化为 $p=p_0$。

对于无界面热源、无接触热阻的界面，温度与法向导热通量连续。外部绕流还需给定与所用模型相适应的远场条件。

相关内容：《流体力学基本方程组的封闭性及定解条件》