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一、常见积分表序号积分表达式积分结果1$\int x^n \, \mathrm{d}x$$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$2$\int \mathrm{d}x$$x + C$3$\int a \, \mathrm{d}x$$a x + C$4$\int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x$$\ln\vert x\vert + C$5$\int e^{x} \, \mathrm{d}x$$e^{x} + C$6$\int a^{x} \, \mathrm{d}x$$\dfrac{a^{…

设$n$阶常数矩阵$\mathbf{A}$中的每一元素$a_{ij}\ (i,j=1,\cdots,n)$都是常数，则称$$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} + \mathbf{f}(t) $$为常系数线性微分方程组。我们先介绍常系数齐次方程组$$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} $$的解法，再讨论常系数非齐次方程组的情形。一、常系数齐次线性方程组的解法与解常系数线性方程类似，根据方程组是齐次、线性，…

一、叉积1、定义设$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$是三维空间中的两个向量，则它们的差积（叉积）定义为：$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \left( a_2b_3 - a_3…

我们约定向量用粗体小写字母表示，如 $\mathbf{x}$，矩阵用大写字母表示，如 $A$。该部分考试不做要求。一、一阶微分方程组的标准形式含有 $n$ 个未知函数 $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$ 的 $n$ 个一阶微分方程构成的一阶微分方程组，如果已经解出了一阶导数 $\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t}, \ldots, \frac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t}$，则其标准形式可以写为：$$ \begin{cases} \frac{\mathrm{d}x_1}…

我们首先介绍矢量微分算子 $\nabla$ (Nabla 或 Del 算子)。在三维笛卡尔坐标系中，它的定义是：$$ \nabla = \mathbf{i} \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j} \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k} \frac{\partial}{\partial z} $$其中 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 分别是 $x, y, z$ 方向的单位矢量。下面我们将分别推导梯度、散度和旋度的计算公式及其物理意…

一、格林公式1、公式内容$$ \oint_{C} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$其中$C$为闭合曲线，$D$为曲线围成的区域。2、证明假设区域$D$是$y$关于$x$的单值区域，形如：$$ D = \{(x, y)\mid a \leq x \leq b, \varphi_1(x) \leq y…

本文系统介绍一般线性微分方程的部分解法，包括：变量变换法（欧拉方程、降阶法、特殊变系数方程）、变动任意常数法、幂级数解法（定理、$\gamma$ 阶贝塞尔方程及其解）。一、变量变换法1、欧拉方程（Cauchy-Euler 方程）典型形式：$$ a_{0}x^{n}\frac{\mathrm{d}^{n}n}{\mathrm{d}x^{n}}+a_{1}x^{n-1}\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_{n}…

一、二重极限的定义设函数$f(x, y)$在区域$D$内，点$(x_0, y_0)$是$D$的聚点。若$$ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A $$则称$A$为$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处的二重极限，记作$$ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A $$二、证明二重极限存在的方法1、直接利用$\varepsilon-\delta$定义法定义： 若对任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$0 <…

一、空间曲线的切线与法平面1、曲线为参数方程表示设空间曲线$C$的参数方程为：$$ \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} $$其中$t$为参数。其切向量为：$$ \vec{r}'(t) = \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \right) $$曲线在点$P(x_0, y_0, z_0)$处…

本文将系统介绍常系数线性微分方程的解法方法，分别包括二阶常系数齐次线性微分方程、$n$ 阶常系数齐次线性微分方程、以及常系数非齐次线性微分方程的解法。详细推导各步骤，便于理解和掌握。一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法考虑如下方程：$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + a_1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_0 y = 0 $$其中 $a_0, a_1$ 为常数。1、特征方程法设 $y = e^{\lambda x}$，代入原方程：$$ \frac{\mathrm{d}^2…

曲面积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲面积分（标量场的曲面积分）和第二类曲面积分（向量场的曲面积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法及其变形推导。一、第一类曲面积分（对面积的积分）1、定义设$S$是空间中的一个光滑曲面，$f(x, y, z)$是在$S$上定义的标量函数。第一类曲面积分是指对$f$沿$S$的面积积分，记作：$$ \iint_S f(x, y, z)\, \mathrm{d}S $$其中，$\mathrm{d}S$表示曲面$S$上的面积微元。2、几何意义$\mathrm{d}S$是曲面$S$上一小块的面积，$…

曲线积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲线积分（标量场曲线积分）和第二类曲线积分（向量场曲线积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法和常见性质。一、第一类曲线积分（对弧长的积分）1、定义设$C$是空间中的一条光滑有向曲线，$f(x, y, z)$是定义在$C$上的一个标量函数。第一类曲线积分是指对$f$沿$C$的弧长$s$积分，记作：$$ \int_C f(x, y, z) \, \mathrm{d}s $$其中，$\mathrm{d}s$表示曲线$C$上的弧长微元。2、几何意义$\mathrm{d}s$表示曲线$C$上一小段…

一、不定积分（Indefinite Integral）数学定义：$$ \int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C,\quad \text{其中 } F'(x) = f(x) $$通俗解释： 找到一个函数，其导数为已知函数 $f(x)$，即反导数。二、定积分（Definite Integral）数学定义：$$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i $$通俗解释： 表示函数图像与 $x$ 轴之间在…

本篇文章讨论几种特殊形式的二阶微分方程，他们可以经过适当的变量替换降阶为一阶微分方程，称为可降阶的二阶微分方程，这里所用的一些处理方法，对于高阶方程也适用。下面讨论三种情况下的求解方法。一、$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=f(x)$型的微分方程对于标题指出的这类方程，只需积分两次，就能求得解。积分一次得到：$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\int f(x)\mathrm{d}x+c_1 $$再积分一次得到：$$ \begin{aligned}y&=\int\left[…

一、线性微分方程1、方程形式我们将未知函数 $y$ 及其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$ 是一次式的 $n$ 阶微分方程，称为线性微分方程。这是在应用中经常遇到的一类方程，其一般形式是：$$ \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n} + p_1(x) \frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + p_{n-1}(x) \frac{\m…