在应力状态理论中，由静力学关系得到了平衡微分方程和应力边界条件；在应变状态理论中，由几何关系得到了位移与应变的关系。这些方程尚未涉及应力与应变之间反映材料性质的联系，因而还需要建立物理方程，即材料的本构关系。

一、应力和应变最一般的关系与广义胡克定律

1、应力与应变的一般关系

对于本文所讨论的弹性体，应力与应变之间的关系由材料本身的性质决定。写为：

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=f_1(\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z,\gamma_{yz},\gamma_{xz},\gamma_{xy})\\ \sigma_y&=f_2(\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z,\gamma_{yz},\gamma_{xz},\gamma_{xy})\\ \sigma_z&=f_3(\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z,\gamma_{yz},\gamma_{xz},\gamma_{xy})\\ \tau_{yz}&=f_4(\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z,\gamma_{yz},\gamma_{xz},\gamma_{xy})\\ \tau_{xz}&=f_5(\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z,\gamma_{yz},\gamma_{xz},\gamma_{xy})\\ \tau_{xy}&=f_6(\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z,\gamma_{yz},\gamma_{xz},\gamma_{xy}) \end{aligned} $$

其中 $f_i\,(i=1,2,\ldots,6)$ 为反映材料性质的函数。以式（1）的第一式为例，在六个应变分量均为零的状态附近展开。下标 $0$ 表示在该状态取值。将多元 Taylor 展开的一次项逐项写出，得到

$$ \begin{aligned} \sigma_x &=(f_1)_0 +\left(\frac{\partial f_1}{\partial\varepsilon_x}\right)_0\varepsilon_x +\left(\frac{\partial f_1}{\partial\varepsilon_y}\right)_0\varepsilon_y +\left(\frac{\partial f_1}{\partial\varepsilon_z}\right)_0\varepsilon_z\\ &\quad+\left(\frac{\partial f_1}{\partial\gamma_{yz}}\right)_0\gamma_{yz} +\left(\frac{\partial f_1}{\partial\gamma_{xz}}\right)_0\gamma_{xz} +\left(\frac{\partial f_1}{\partial\gamma_{xy}}\right)_0\gamma_{xy} +\cdots \end{aligned} $$

当应变分量均为零时，式（2）给出 $\sigma_x=(f_1)_0$，因此常数项表示初始应力。由无初始应力假设，$(f_1)_0=0$。其余五个函数同样满足 $(f_i)_0=0$。定义：

$$ \begin{aligned} C_{11}&=\left(\frac{\partial f_1}{\partial\varepsilon_x}\right)_0,& C_{12}&=\left(\frac{\partial f_1}{\partial\varepsilon_y}\right)_0,& C_{13}&=\left(\frac{\partial f_1}{\partial\varepsilon_z}\right)_0\\ C_{14}&=\left(\frac{\partial f_1}{\partial\gamma_{yz}}\right)_0,& C_{15}&=\left(\frac{\partial f_1}{\partial\gamma_{xz}}\right)_0,& C_{16}&=\left(\frac{\partial f_1}{\partial\gamma_{xy}}\right)_0 \end{aligned} $$

略去二次及更高次小量，得到第一条线性关系：

$$ \sigma_x=C_{11}\varepsilon_x+C_{12}\varepsilon_y+C_{13}\varepsilon_z +C_{14}\gamma_{yz}+C_{15}\gamma_{xz}+C_{16}\gamma_{xy} $$

对 $f_2,\ldots,f_6$ 重复相同的展开，分别得到系数 $C_{2n},\ldots,C_{6n}$。这里第二个下标 $n=1,\ldots,6$ 依次对应 $\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z,\gamma_{yz},\gamma_{xz},\gamma_{xy}$。

2、广义胡克定律

六条线性关系合称广义胡克定律：

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=C_{11}\varepsilon_x+C_{12}\varepsilon_y+C_{13}\varepsilon_z+C_{14}\gamma_{yz}+C_{15}\gamma_{xz}+C_{16}\gamma_{xy}\\ \sigma_y&=C_{21}\varepsilon_x+C_{22}\varepsilon_y+C_{23}\varepsilon_z+C_{24}\gamma_{yz}+C_{25}\gamma_{xz}+C_{26}\gamma_{xy}\\ \sigma_z&=C_{31}\varepsilon_x+C_{32}\varepsilon_y+C_{33}\varepsilon_z+C_{34}\gamma_{yz}+C_{35}\gamma_{xz}+C_{36}\gamma_{xy}\\ \tau_{yz}&=C_{41}\varepsilon_x+C_{42}\varepsilon_y+C_{43}\varepsilon_z+C_{44}\gamma_{yz}+C_{45}\gamma_{xz}+C_{46}\gamma_{xy}\\ \tau_{xz}&=C_{51}\varepsilon_x+C_{52}\varepsilon_y+C_{53}\varepsilon_z+C_{54}\gamma_{yz}+C_{55}\gamma_{xz}+C_{56}\gamma_{xy}\\ \tau_{xy}&=C_{61}\varepsilon_x+C_{62}\varepsilon_y+C_{63}\varepsilon_z+C_{64}\gamma_{yz}+C_{65}\gamma_{xz}+C_{66}\gamma_{xy} \end{aligned} $$

系数 $C_{mn}\,(m,n=1,2,\ldots,6)$ 称为弹性常数，共有 $36$ 个系数，量纲均与应力相同。非均匀材料中，$C_{mn}$ 可以是 $x,y,z$ 的函数；均匀材料中，它们不随位置改变。

这些系数并非全部独立。应变能的存在将使一般各向异性材料只有 $21$ 个独立弹性常数；进一步利用材料的弹性对称性，还能减少独立常数的数目。

二、弹性体变形过程中的功和能

1、热力学第一定律（绝热过程）

在物体内任取一个有限部分，其区域记为 $V$，边界面记为 $S$，外力作功为 $W$，动能为 $E_k$，内能为 $V_I$，输入该部分的热量的机械当量为 $Q$。热力学第一定律为：

$$ \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t} +\frac{\mathrm{d}V_I}{\mathrm{d}t} -\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} $$

现在假设为绝热过程，绝热过程中无热量输入或输出，因此 $\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t=0$，上式化为：

$$ \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t} +\frac{\mathrm{d}V_I}{\mathrm{d}t} $$

位移分量为 $u,v,w$，速度分量分别为 $\partial u/\partial t,\partial v/\partial t,\partial w/\partial t$。以 $\rho_1$ 表示变形前的密度，动能为：

$$ E_k=\frac12\iiint_V\rho_1 \left[ \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 +\left(\frac{\partial v}{\partial t}\right)^2 +\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)^2 \right]\mathrm{d}V $$

采用随材料质点的参考描述时，积分区域 $V$ 和参考密度 $\rho_1$ 不随时间改变，因此可将时间导数移入积分号内。逐项使用平方函数的求导法则，例如：

$$ \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 =2\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$

其余两项同理，因子 $2$ 与动能式中的 $1/2$ 相消，得：

$$ \frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t} =\iiint_V\rho_1\left( \frac{\partial^2u}{\partial t^2}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial^2v}{\partial t^2}\frac{\partial v}{\partial t} +\frac{\partial^2w}{\partial t^2}\frac{\partial w}{\partial t} \right)\mathrm{d}V $$

以 $(F_x,F_y,F_z)$ 表示单位体积体力，以 $(f_{\nu x},f_{\nu y},f_{\nu z})$ 表示所取部分边界处单位面积的面力。面力下标中的 $\nu$ 是该边界面法线方向的标记。边界上的面力可以是整个物体外边界上的外力，也可以是所取部分与其余部分之间的内力。

在时间 $\mathrm{d}t$ 内，各质点的位移增量分别为 $(\partial u/\partial t)\mathrm{d}t$、$(\partial v/\partial t)\mathrm{d}t$、$(\partial w/\partial t)\mathrm{d}t$。以 $W_1,W_2$ 区分体力功和面力功，得到

$$ \mathrm{d}W_1=\iiint_V \left(F_x\frac{\partial u}{\partial t} +F_y\frac{\partial v}{\partial t} +F_z\frac{\partial w}{\partial t}\right)\mathrm{d}t\,\mathrm{d}V $$

$$ \mathrm{d}W_2=\oiint_S \left(f_{\nu x}\frac{\partial u}{\partial t} +f_{\nu y}\frac{\partial v}{\partial t} +f_{\nu z}\frac{\partial w}{\partial t}\right)\mathrm{d}t\,\mathrm{d}S $$

两者相加给出 $\mathrm{d}W=\mathrm{d}W_1+\mathrm{d}W_2$。记边界外法线的方向余弦为 $l,m,n$。由斜面应力公式和切应力互等定理，有：

$$ \begin{aligned} f_{\nu x}&=\sigma_xl+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n\\ f_{\nu y}&=\tau_{xy}l+\sigma_ym+\tau_{yz}n\\ f_{\nu z}&=\tau_{xz}l+\tau_{yz}m+\sigma_zn \end{aligned} $$

将三条斜面应力关系代入 $\mathrm{d}W_2$，按 $l,m,n$ 分组，得到

$$ \begin{aligned} \mathrm{d}W_2=\oiint_S\Bigg[ &l\left(\sigma_x\frac{\partial u}{\partial t} +\tau_{xy}\frac{\partial v}{\partial t} +\tau_{xz}\frac{\partial w}{\partial t}\right)\\ &+m\left(\tau_{xy}\frac{\partial u}{\partial t} +\sigma_y\frac{\partial v}{\partial t} +\tau_{yz}\frac{\partial w}{\partial t}\right)\\ &+n\left(\tau_{xz}\frac{\partial u}{\partial t} +\tau_{yz}\frac{\partial v}{\partial t} +\sigma_z\frac{\partial w}{\partial t}\right) \Bigg]\mathrm{d}t\,\mathrm{d}S \end{aligned} $$

对方向余弦 $l,m,n$ 的三个系数应用 Gauss 积分公式，得到

$$ \begin{aligned} \mathrm{d}W_2=\iiint_V\Bigg[ &\frac{\partial}{\partial x}\left( \sigma_x\frac{\partial u}{\partial t} +\tau_{xy}\frac{\partial v}{\partial t} +\tau_{xz}\frac{\partial w}{\partial t}\right)\\ &+\frac{\partial}{\partial y}\left( \tau_{xy}\frac{\partial u}{\partial t} +\sigma_y\frac{\partial v}{\partial t} +\tau_{yz}\frac{\partial w}{\partial t}\right)\\ &+\frac{\partial}{\partial z}\left( \tau_{xz}\frac{\partial u}{\partial t} +\tau_{yz}\frac{\partial v}{\partial t} +\sigma_z\frac{\partial w}{\partial t}\right) \Bigg]\mathrm{d}t\,\mathrm{d}V \end{aligned} $$

每一个乘积均须展开为两项。例如

$$ \frac{\partial}{\partial x}\left(\sigma_x\frac{\partial u}{\partial t}\right) =\frac{\partial\sigma_x}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial t} +\sigma_x\frac{\partial^2u}{\partial x\partial t} $$

九个乘积全部展开后，把含应力空间导数的项按三个速度分量归并，得到

$$ \begin{aligned} \mathrm{d}W_2 &=\iiint_V\Bigg[ \left(\frac{\partial\sigma_x}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y} +\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}\right)\frac{\partial u}{\partial t}\\ &\qquad+\left(\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} +\frac{\partial\sigma_y}{\partial y} +\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial z}\right)\frac{\partial v}{\partial t}\\ &\qquad+\left(\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y} +\frac{\partial\sigma_z}{\partial z}\right)\frac{\partial w}{\partial t} \Bigg]\mathrm{d}t\,\mathrm{d}V\\ &\quad+\iiint_V\Bigg[ \sigma_x\frac{\partial^2u}{\partial x\partial t} +\sigma_y\frac{\partial^2v}{\partial y\partial t} +\sigma_z\frac{\partial^2w}{\partial z\partial t}\\ &\qquad+\tau_{yz}\left(\frac{\partial^2v}{\partial z\partial t} +\frac{\partial^2w}{\partial y\partial t}\right) +\tau_{xz}\left(\frac{\partial^2u}{\partial z\partial t} +\frac{\partial^2w}{\partial x\partial t}\right)\\ &\qquad+\tau_{xy}\left(\frac{\partial^2u}{\partial y\partial t} +\frac{\partial^2v}{\partial x\partial t}\right) \Bigg]\mathrm{d}t\,\mathrm{d}V \end{aligned} $$

对几何方程关于时间求导，有

$$ \begin{aligned} \frac{\partial\varepsilon_x}{\partial t} &=\frac{\partial^2u}{\partial x\partial t},& \frac{\partial\varepsilon_y}{\partial t} &=\frac{\partial^2v}{\partial y\partial t},& \frac{\partial\varepsilon_z}{\partial t} &=\frac{\partial^2w}{\partial z\partial t}\\ \frac{\partial\gamma_{yz}}{\partial t} &=\frac{\partial^2v}{\partial z\partial t}+\frac{\partial^2w}{\partial y\partial t},& \frac{\partial\gamma_{xz}}{\partial t} &=\frac{\partial^2u}{\partial z\partial t}+\frac{\partial^2w}{\partial x\partial t},& \frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial t} &=\frac{\partial^2u}{\partial y\partial t}+\frac{\partial^2v}{\partial x\partial t} \end{aligned} $$

用这些式子替换第二个体积分中的位移混合导数，即得到以应变变化率表示的面力功。将 $\mathrm{d}W_1$ 与上节的 $\mathrm{d}W_2$ 相加，第一组体积分中的三个应力散度分别与 $F_x,F_y,F_z$ 合并。利用运动方程：

$$ \begin{aligned} \frac{\partial\sigma_x}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y} +\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}+F_x &=\rho_1\frac{\partial^2u}{\partial t^2}\\ \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} +\frac{\partial\sigma_y}{\partial y} +\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial z}+F_y &=\rho_1\frac{\partial^2v}{\partial t^2}\\ \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y} +\frac{\partial\sigma_z}{\partial z}+F_z &=\rho_1\frac{\partial^2w}{\partial t^2} \end{aligned} $$

将所得功增量除以 $\mathrm{d}t$，得到

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t} +\iiint_V\Bigg( \sigma_x\frac{\partial\varepsilon_x}{\partial t} +\sigma_y\frac{\partial\varepsilon_y}{\partial t} +\sigma_z\frac{\partial\varepsilon_z}{\partial t} +\tau_{yz}\frac{\partial\gamma_{yz}}{\partial t} +\tau_{xz}\frac{\partial\gamma_{xz}}{\partial t} +\tau_{xy}\frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial t} \Bigg)\mathrm{d}V \end{aligned} $$

与绝热过程的式（7）比较，消去两边相同的动能变化率，得到

$$ \frac{\mathrm{d}V_I}{\mathrm{d}t} =\iiint_V\left( \sigma_x\frac{\partial\varepsilon_x}{\partial t} +\sigma_y\frac{\partial\varepsilon_y}{\partial t} +\sigma_z\frac{\partial\varepsilon_z}{\partial t} +\tau_{yz}\frac{\partial\gamma_{yz}}{\partial t} +\tau_{xz}\frac{\partial\gamma_{xz}}{\partial t} +\tau_{xy}\frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial t} \right)\mathrm{d}V $$

以内能密度 $v_I$ 表示单位体积的内能，有

$$ V_I=\iiint_Vv_I\,\mathrm{d}V,\qquad \frac{\mathrm{d}V_I}{\mathrm{d}t} =\iiint_V\frac{\partial v_I}{\partial t}\,\mathrm{d}V $$

将上式与式（21）的结果比较，并利用所取区域 $V$ 的任意性，得到局部关系

$$ \frac{\partial v_I}{\partial t} =\sigma_x\frac{\partial\varepsilon_x}{\partial t} +\sigma_y\frac{\partial\varepsilon_y}{\partial t} +\sigma_z\frac{\partial\varepsilon_z}{\partial t} +\tau_{yz}\frac{\partial\gamma_{yz}}{\partial t} +\tau_{xz}\frac{\partial\gamma_{xz}}{\partial t} +\tau_{xy}\frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial t} $$

固定质点的参考坐标 $x,y,z$，将两边乘以 $\mathrm{d}t$，得

$$ \mathrm{d}v_I =\sigma_x\mathrm{d}\varepsilon_x +\sigma_y\mathrm{d}\varepsilon_y +\sigma_z\mathrm{d}\varepsilon_z +\tau_{yz}\mathrm{d}\gamma_{yz} +\tau_{xz}\mathrm{d}\gamma_{xz} +\tau_{xy}\mathrm{d}\gamma_{xy} $$

在可逆绝热条件下，熵保持不变，$v_I$ 对应变的全微分还可写为

$$ \begin{aligned} \mathrm{d}v_I &=\frac{\partial v_I}{\partial\varepsilon_x}\mathrm{d}\varepsilon_x +\frac{\partial v_I}{\partial\varepsilon_y}\mathrm{d}\varepsilon_y +\frac{\partial v_I}{\partial\varepsilon_z}\mathrm{d}\varepsilon_z\\ &\quad+\frac{\partial v_I}{\partial\gamma_{yz}}\mathrm{d}\gamma_{yz} +\frac{\partial v_I}{\partial\gamma_{xz}}\mathrm{d}\gamma_{xz} +\frac{\partial v_I}{\partial\gamma_{xy}}\mathrm{d}\gamma_{xy} \end{aligned} $$

比较六个独立应变增量的系数，得

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=\frac{\partial v_I}{\partial\varepsilon_x},& \tau_{yz}&=\frac{\partial v_I}{\partial\gamma_{yz}}\\ \sigma_y&=\frac{\partial v_I}{\partial\varepsilon_y},& \tau_{xz}&=\frac{\partial v_I}{\partial\gamma_{xz}}\\ \sigma_z&=\frac{\partial v_I}{\partial\varepsilon_z},& \tau_{xy}&=\frac{\partial v_I}{\partial\gamma_{xy}} \end{aligned} $$

7、热力学第二定律（等温过程）

以 $S$ 表示所取部分的熵，以 $\mathrm{d}S_{\mathrm e}$、$\mathrm{d}S_{\mathrm i}$ 分别表示供熵和产熵。此处的 $S$ 是状态量，与前文作为曲面积分区域的边界面 $S$ 按语境区分。

$$ \mathrm{d}S=\mathrm{d}S_{\mathrm e}+\mathrm{d}S_{\mathrm i},\qquad \mathrm{d}S_{\mathrm e}=\frac{\mathrm{d}Q}{T},\qquad \mathrm{d}S_{\mathrm i}\geqslant0 $$

其中 $T$ 为热力学温度。可逆弹性变形中 $\mathrm{d}S_{\mathrm i}=0$，因此：

$$ \mathrm{d}Q=T\mathrm{d}S,\qquad \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=T\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} $$

等温过程满足 $\mathrm{d}T/\mathrm{d}t=0$。代入式（6），有

$$ \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t} +\frac{\mathrm{d}V_I}{\mathrm{d}t} -T\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} $$

由乘积求导法则，$\mathrm{d}(TS)/\mathrm{d}t=T\mathrm{d}S/\mathrm{d}t+S\mathrm{d}T/\mathrm{d}t=T\mathrm{d}S/\mathrm{d}t$，故

$$ \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t} +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V_I-TS) $$

以 $\eta$ 表示单位体积的熵，定义自由能密度为 $v_F=v_I-T\eta$。在采用的共同温度 $T$ 下，$S=\iiint_V\eta\,\mathrm{d}V$，于是

$$ V_I-TS=\iiint_V(v_I-T\eta)\,\mathrm{d}V =\iiint_Vv_F\,\mathrm{d}V $$

对时间求导，再与式（21）中的外力功率关系比较，消去动能变化率，利用区域任意性，得到

$$ \frac{\partial v_F}{\partial t} =\sigma_x\frac{\partial\varepsilon_x}{\partial t} +\sigma_y\frac{\partial\varepsilon_y}{\partial t} +\sigma_z\frac{\partial\varepsilon_z}{\partial t} +\tau_{yz}\frac{\partial\gamma_{yz}}{\partial t} +\tau_{xz}\frac{\partial\gamma_{xz}}{\partial t} +\tau_{xy}\frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial t} $$

固定参考坐标并乘以 $\mathrm{d}t$，得到 $\mathrm{d}v_F$ 的表达式。等温条件下，将它与 $v_F$ 对六个应变分量的全微分逐项比较，得到

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=\frac{\partial v_F}{\partial\varepsilon_x},& \tau_{yz}&=\frac{\partial v_F}{\partial\gamma_{yz}}\\ \sigma_y&=\frac{\partial v_F}{\partial\varepsilon_y},& \tau_{xz}&=\frac{\partial v_F}{\partial\gamma_{xz}}\\ \sigma_z&=\frac{\partial v_F}{\partial\varepsilon_z},& \tau_{xy}&=\frac{\partial v_F}{\partial\gamma_{xy}} \end{aligned} $$

8、格林公式

以 $v_\varepsilon$ 表示应变能密度，以 $v_{I0}$、$v_{F0}$ 分别表示自然状态的内能密度和自由能密度。自然状态为无应力状态，取应变能密度为零。

$$ v_\varepsilon=v_I-v_{I0}\quad\text{（绝热情况）},\qquad v_\varepsilon=v_F-v_{F0}\quad\text{（等温情况）} $$

自然状态的基准值对相应应变分量为常数，求偏导数时消失，式（26）与式（33）统一成为

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\varepsilon_x},& \tau_{yz}&=\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\gamma_{yz}}\\ \sigma_y&=\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\varepsilon_y},& \tau_{xz}&=\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\gamma_{xz}}\\ \sigma_z&=\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\varepsilon_z},& \tau_{xy}&=\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\gamma_{xy}} \end{aligned} $$

上式称为格林公式，并写出缩记形式

$$ \sigma_{ij}=\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\varepsilon_{ij}} $$

使用这一张量缩记时，能量微分为 $\mathrm{d}v_\varepsilon=\sigma_{ij}\mathrm{d}\varepsilon_{ij}$，重复指标求和。因为 $\varepsilon_{xz}=\varepsilon_{zx}=\gamma_{xz}/2$，一对非对角项相加给出 $2\tau_{xz}\mathrm{d}\varepsilon_{xz}=\tau_{xz}\mathrm{d}\gamma_{xz}$，其余两对同理。

格林公式本身不要求应力与应变呈线性关系；下面的二次型表达式则是在式（5）的线性关系和无初始应力条件下得到的。

由式（35），$v_\varepsilon$ 对每个应变分量的一阶偏导数都是式（5）给出的一次齐次函数。取同一应变状态的比例路径：六个应变分量同时乘以辅助参数 $a$，其中 $0\leqslant a\leqslant1$。记沿此路径的应变能密度为 $g(a)$。

由链式法则，$g'(a)$ 等于路径上六个应力分量分别乘以最终的六个应变分量之和。式（5）是一次齐次关系，所以路径上的各应力均等于其最终值乘以 $a$，于是

$$ g'(a)=a\left( \sigma_x\varepsilon_x+\sigma_y\varepsilon_y+\sigma_z\varepsilon_z +\tau_{yz}\gamma_{yz}+\tau_{xz}\gamma_{xz}+\tau_{xy}\gamma_{xy} \right) $$

由 $g(0)=0$，积分得到 $g(1)$ 为上述括号乘以 $1/2$。括号内每个应力又是应变的一次函数，故 $v_\varepsilon$ 是应变的二次齐次函数。对这二次齐次函数应用欧拉定理，得

$$ \begin{aligned} 2v_\varepsilon &=\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\varepsilon_x}\varepsilon_x +\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\varepsilon_y}\varepsilon_y +\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\varepsilon_z}\varepsilon_z\\ &\quad+\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\gamma_{yz}}\gamma_{yz} +\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\gamma_{xz}}\gamma_{xz} +\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\gamma_{xy}}\gamma_{xy}\\ &=\sigma_x\varepsilon_x+\sigma_y\varepsilon_y+\sigma_z\varepsilon_z +\tau_{yz}\gamma_{yz}+\tau_{xz}\gamma_{xz}+\tau_{xy}\gamma_{xy} \end{aligned} $$

因而

$$ v_\varepsilon=\frac12\left( \sigma_x\varepsilon_x+\sigma_y\varepsilon_y+\sigma_z\varepsilon_z +\tau_{yz}\gamma_{yz}+\tau_{xz}\gamma_{xz}+\tau_{xy}\gamma_{xy} \right) $$

逐项展开 $\sigma_{ij}\varepsilon_{ij}$，三对非对角项分别合并为工程切应变项，得到其张量形式

$$ v_\varepsilon=\frac12\sigma_{ij}\varepsilon_{ij} $$

整个物体的应变能使用记号 $V_\varepsilon$，为

$$ V_\varepsilon=\iiint_Vv_\varepsilon\,\mathrm{d}V $$

三、各向异性弹性体

1、极端各向异性弹性体

首先讨论没有额外弹性对称性的一般情形，称其为极端各向异性弹性体。由应变能的存在，可以证明式（5）中的 $36$ 个系数只有 $21$ 个独立。

将式（35）中 $\sigma_y=\partial v_\varepsilon/\partial\varepsilon_y$ 与式（5）的第二式联立，得

$$ \frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\varepsilon_y} =C_{21}\varepsilon_x+C_{22}\varepsilon_y+C_{23}\varepsilon_z +C_{24}\gamma_{yz}+C_{25}\gamma_{xz}+C_{26}\gamma_{xy} $$

对 $\gamma_{xz}$ 求偏导数。六个应变分量作为独立变量，只有 $C_{25}\gamma_{xz}$ 一项的导数非零，因此

$$ \frac{\partial^2v_\varepsilon}{\partial\gamma_{xz}\partial\varepsilon_y} =0+0+0+0+C_{25}+0=C_{25} $$

再将 $\tau_{xz}=\partial v_\varepsilon/\partial\gamma_{xz}$ 与式（5）的第五式联立，得

$$ \frac{\partial v_\varepsilon}{\partial\gamma_{xz}} =C_{51}\varepsilon_x+C_{52}\varepsilon_y+C_{53}\varepsilon_z +C_{54}\gamma_{yz}+C_{55}\gamma_{xz}+C_{56}\gamma_{xy} $$

对 $\varepsilon_y$ 求偏导数，同理得到

$$ \frac{\partial^2v_\varepsilon}{\partial\varepsilon_y\partial\gamma_{xz}} =C_{52} $$

在二阶偏导数连续的条件下，混合偏导数的次序可交换，故 $C_{25}=C_{52}$。对其他任意一对应力所对应的两个应变变量重复相同的求导步骤，得到

$$ C_{mn}=C_{nm},\qquad m,n=1,2,\ldots,6 $$

六个对角系数不参与成对合并，另外 $30$ 个非对角系数两两相等，因此独立系数数目为

$$ 6+\frac{30}{2}=21 $$

这项系数对称性来自应变能的存在，应与由力矩平衡得到的切应力互等定理区分。以下如用矩阵排列这些系数，记 $\boldsymbol{C}=(C_{mn})$，只是式（5）的数学排列，物理量仍采用原来的六个应力、应变分量。

2、具有一个弹性对称面的各向异性弹性体

如果关于某一平面对称的两个方向具有相同的弹性，该平面称为弹性对称面，垂直于该平面的方向称为弹性主方向。

设 $Oyz$ 为弹性对称面，$x$ 轴为弹性主方向。取坐标变换 $x'=-x,y'=y,z'=z$，方向余弦为：

由二阶张量变换公式，各分量的符号取决于两个方向余弦的乘积。例如 $\sigma_{x'}=(-1)^2\sigma_x=\sigma_x$，而 $\tau_{x'z'}=(-1)(1)\tau_{xz}=-\tau_{xz}$。逐项计算得到

$$ \begin{aligned} \sigma_{x'}&=\sigma_x,&\sigma_{y'}&=\sigma_y,&\sigma_{z'}&=\sigma_z\\ \tau_{y'z'}&=\tau_{yz},&\tau_{x'z'}&=-\tau_{xz},&\tau_{x'y'}&=-\tau_{xy}\\ \varepsilon_{x'}&=\varepsilon_x,&\varepsilon_{y'}&=\varepsilon_y,&\varepsilon_{z'}&=\varepsilon_z\\ \gamma_{y'z'}&=\gamma_{yz},&\gamma_{x'z'}&=-\gamma_{xz},&\gamma_{x'y'}&=-\gamma_{xy} \end{aligned} $$

将旧分量用新分量代替，代入式（5），得到

$$ \begin{aligned} \sigma_{x'}&=C_{11}\varepsilon_{x'}+C_{12}\varepsilon_{y'}+C_{13}\varepsilon_{z'} +C_{14}\gamma_{y'z'}-C_{15}\gamma_{x'z'}-C_{16}\gamma_{x'y'}\\ \sigma_{y'}&=C_{21}\varepsilon_{x'}+C_{22}\varepsilon_{y'}+C_{23}\varepsilon_{z'} +C_{24}\gamma_{y'z'}-C_{25}\gamma_{x'z'}-C_{26}\gamma_{x'y'}\\ \sigma_{z'}&=C_{31}\varepsilon_{x'}+C_{32}\varepsilon_{y'}+C_{33}\varepsilon_{z'} +C_{34}\gamma_{y'z'}-C_{35}\gamma_{x'z'}-C_{36}\gamma_{x'y'}\\ \tau_{y'z'}&=C_{41}\varepsilon_{x'}+C_{42}\varepsilon_{y'}+C_{43}\varepsilon_{z'} +C_{44}\gamma_{y'z'}-C_{45}\gamma_{x'z'}-C_{46}\gamma_{x'y'}\\ -\tau_{x'z'}&=C_{51}\varepsilon_{x'}+C_{52}\varepsilon_{y'}+C_{53}\varepsilon_{z'} +C_{54}\gamma_{y'z'}-C_{55}\gamma_{x'z'}-C_{56}\gamma_{x'y'}\\ -\tau_{x'y'}&=C_{61}\varepsilon_{x'}+C_{62}\varepsilon_{y'}+C_{63}\varepsilon_{z'} +C_{64}\gamma_{y'z'}-C_{65}\gamma_{x'z'}-C_{66}\gamma_{x'y'} \end{aligned} $$

弹性对称性要求新坐标中的关系仍具有式（5）的同一组系数。例如，第一式中 $\gamma_{x'z'}$ 的系数实际为 $-C_{15}$，保持原关系则须为 $C_{15}$。因为应变分量可以独立变化，故 $C_{15}=-C_{15}$，即 $C_{15}=0$。对前四式中两个变号的剪切应变逐项比较，得到

$$ C_{15}=C_{16}=C_{25}=C_{26} =C_{35}=C_{36}=C_{45}=C_{46}=0 $$

将后两式先乘以 $-1$ 再比较，可得对称位置上的八个系数也为零，与 $C_{mn}=C_{nm}$ 一致。共有八个原本独立的系数消失，故独立常数数目为 $21-8=13$。因此，本构关系简化为

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=C_{11}\varepsilon_x+C_{12}\varepsilon_y+C_{13}\varepsilon_z+C_{14}\gamma_{yz}\\ \sigma_y&=C_{21}\varepsilon_x+C_{22}\varepsilon_y+C_{23}\varepsilon_z+C_{24}\gamma_{yz}\\ \sigma_z&=C_{31}\varepsilon_x+C_{32}\varepsilon_y+C_{33}\varepsilon_z+C_{34}\gamma_{yz}\\ \tau_{yz}&=C_{41}\varepsilon_x+C_{42}\varepsilon_y+C_{43}\varepsilon_z+C_{44}\gamma_{yz}\\ \tau_{xz}&=C_{55}\gamma_{xz}+C_{56}\gamma_{xy}\\ \tau_{xy}&=C_{65}\gamma_{xz}+C_{66}\gamma_{xy} \end{aligned} $$

3、正交各向异性弹性体

进一步设 $Oxz$ 也为弹性对称面，即 $y$ 轴也为弹性主方向。取坐标变换 $x'=x,y'=-y,z'=z$。

按两个方向余弦的乘积计算，得到

$$ \begin{aligned} \sigma_{x'}&=\sigma_x,&\sigma_{y'}&=\sigma_y,&\sigma_{z'}&=\sigma_z\\ \tau_{y'z'}&=-\tau_{yz},&\tau_{x'z'}&=\tau_{xz},&\tau_{x'y'}&=-\tau_{xy}\\ \varepsilon_{x'}&=\varepsilon_x,&\varepsilon_{y'}&=\varepsilon_y,&\varepsilon_{z'}&=\varepsilon_z\\ \gamma_{y'z'}&=-\gamma_{yz},&\gamma_{x'z'}&=\gamma_{xz},&\gamma_{x'y'}&=-\gamma_{xy} \end{aligned} $$

代入上一节的六条关系，第一条变为

$$ \sigma_{x'}=C_{11}\varepsilon_{x'}+C_{12}\varepsilon_{y'}+C_{13}\varepsilon_{z'} -C_{14}\gamma_{y'z'} $$

与新坐标中应保持的同形式关系比较，得到 $C_{14}=-C_{14}$，故 $C_{14}=0$。第二、第三条同理得到 $C_{24}=C_{34}=0$，第四条中对应的 $C_{41},C_{42},C_{43}$ 也为零。第五条变为

$$ \tau_{x'z'}=C_{55}\gamma_{x'z'}-C_{56}\gamma_{x'y'} $$

对 $\gamma_{x'y'}$ 的系数比较，得到 $C_{56}=-C_{56}$，故 $C_{56}=0$，并由系数对称性得到 $C_{65}=0$。因此，本次变换又消去了四个独立常数，剩下 $13-4=9$ 个。正交各向异性弹性体的关系为

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=C_{11}\varepsilon_x+C_{12}\varepsilon_y+C_{13}\varepsilon_z\\ \sigma_y&=C_{21}\varepsilon_x+C_{22}\varepsilon_y+C_{23}\varepsilon_z\\ \sigma_z&=C_{31}\varepsilon_x+C_{32}\varepsilon_y+C_{33}\varepsilon_z\\ \tau_{yz}&=C_{44}\gamma_{yz}\\ \tau_{xz}&=C_{55}\gamma_{xz}\\ \tau_{xy}&=C_{66}\gamma_{xy} \end{aligned} $$

若再取 $x'=x,y'=y,z'=-z$，则 $\gamma_{yz},\gamma_{xz}$ 与对应的 $\tau_{yz},\tau_{xz}$ 同时变号，其他关系不变，式（55）自动保持同一形式。因此，当三个相互垂直的平面中有两个为弹性对称面时，第三个也必为弹性对称面。

这些解耦关系要求坐标轴与材料的弹性主方向一致。此时正应力只与正应变有关，各切应力只与其对应的切应变有关；改变坐标方向后，展开式中一般会重新出现耦合项。

4、横观各向同性材料

若某一平面内的材料性质对任意方向相同，而法线方向的性质可以不同，则材料称为横观各向同性材料（transversely isotropic material）。设 $Oxy$ 为各向同性平面，$z$ 轴为弹性对称轴。

（1）绕对称轴旋转九十度

先取 $x'=y,y'=-x,z'=z$，方向余弦为

由张量变换公式，得

$$ \begin{aligned} \sigma_{x'}&=\sigma_y,&\sigma_{y'}&=\sigma_x,&\sigma_{z'}&=\sigma_z\\ \tau_{y'z'}&=-\tau_{xz},&\tau_{x'z'}&=\tau_{yz},&\tau_{x'y'}&=-\tau_{xy}\\ \varepsilon_{x'}&=\varepsilon_y,&\varepsilon_{y'}&=\varepsilon_x,&\varepsilon_{z'}&=\varepsilon_z\\ \gamma_{y'z'}&=-\gamma_{xz},&\gamma_{x'z'}&=\gamma_{yz},&\gamma_{x'y'}&=-\gamma_{xy} \end{aligned} $$

将旧坐标中的第一条正应力关系改写为新分量，得

$$ \sigma_{y'}=C_{11}\varepsilon_{y'} +C_{12}\varepsilon_{x'}+C_{13}\varepsilon_{z'} $$

而材料对称性要求新坐标中的第二条关系仍为

$$ \sigma_{y'}=C_{12}\varepsilon_{x'} +C_{22}\varepsilon_{y'}+C_{23}\varepsilon_{z'} $$

比较独立应变的系数，得 $C_{11}=C_{22}$、$C_{13}=C_{23}$。剪切关系中的 $\tau_{yz}=C_{44}\gamma_{yz}$ 在此次变换下成为 $\tau_{x'z'}=C_{44}\gamma_{x'z'}$，而新坐标中对应关系应为 $\tau_{x'z'}=C_{55}\gamma_{x'z'}$，故 $C_{44}=C_{55}$。独立常数由 $9$ 个减少为 $6$ 个，逐项代入式（55）得到

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=C_{11}\varepsilon_x+C_{12}\varepsilon_y+C_{13}\varepsilon_z\\ \sigma_y&=C_{12}\varepsilon_x+C_{11}\varepsilon_y+C_{13}\varepsilon_z\\ \sigma_z&=C_{13}\varepsilon_x+C_{13}\varepsilon_y+C_{33}\varepsilon_z\\ \tau_{yz}&=C_{44}\gamma_{yz}\\ \tau_{xz}&=C_{44}\gamma_{xz}\\ \tau_{xy}&=C_{66}\gamma_{xy} \end{aligned} $$

（2）绕对称轴旋转任意角

仅有九十度旋转对称还不足以保证平面内各向同性。进一步取

$$ \boldsymbol{A}(\varphi)= \begin{bmatrix} \cos\varphi&\sin\varphi&0\\ -\sin\varphi&\cos\varphi&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} $$

由应力变换公式，先将剪切分量写为

$$ \begin{aligned} \tau_{x'y'} &=(\sigma_y-\sigma_x)\sin\varphi\cos\varphi +\tau_{xy}(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)\\ &=\frac12(\sigma_y-\sigma_x)\sin2\varphi +\tau_{xy}\cos2\varphi \end{aligned} $$

对应的工程切应变为

$$ \gamma_{x'y'}=(\varepsilon_y-\varepsilon_x)\sin2\varphi +\gamma_{xy}\cos2\varphi $$

各向同性平面内，新坐标中仍应满足 $\tau_{x'y'}=C_{66}\gamma_{x'y'}$。代入上述两式，并利用旧坐标中的 $\tau_{xy}=C_{66}\gamma_{xy}$，消去含 $\cos2\varphi$ 的项，得

$$ \left[\frac12(\sigma_y-\sigma_x) -C_{66}(\varepsilon_y-\varepsilon_x)\right]\sin2\varphi=0 $$

此式须对任意角度成立，可取 $\sin2\varphi\ne0$，得到

$$ \sigma_y-\sigma_x=2C_{66}(\varepsilon_y-\varepsilon_x) $$

另一方面，利用 $C_{11}=C_{22}$ 和 $C_{13}=C_{23}$，两条正应力关系相减，得到

$$ \sigma_y-\sigma_x=(C_{11}-C_{12})(\varepsilon_y-\varepsilon_x) $$

比较任意应变状态下的系数，得

$$ C_{66}=\frac12(C_{11}-C_{12}) $$

因而横观各向同性材料有 $5$ 个独立弹性常数，可取 $C_{11},C_{12},C_{13},C_{33},C_{44}$。其本构关系为

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=C_{11}\varepsilon_x+C_{12}\varepsilon_y+C_{13}\varepsilon_z\\ \sigma_y&=C_{12}\varepsilon_x+C_{11}\varepsilon_y+C_{13}\varepsilon_z\\ \sigma_z&=C_{13}(\varepsilon_x+\varepsilon_y)+C_{33}\varepsilon_z\\ \tau_{yz}&=C_{44}\gamma_{yz}\\ \tau_{xz}&=C_{44}\gamma_{xz}\\ \tau_{xy}&=\frac12(C_{11}-C_{12})\gamma_{xy} \end{aligned} $$

5、材料对称性与独立常数数目

四、各向同性弹性体

1、由横观各向同性进一步简化

各向同性弹性体（isotropic elastic body）在同一点沿所有方向具有相同的弹性性质，其本构关系在任意正交坐标变换后均保持相同形式。

横观各向同性只要求 $Oxy$ 平面内的性质相同，尚允许 $z$ 方向与平面内方向不同。若进一步要求交换平面内方向与 $z$ 方向后本构关系也不变，就能得到各向同性关系。

取 $x'=x,y'=z,z'=-y$，对应

$$ \boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&-1&0 \end{bmatrix} $$

由张量变换，得

$$ \begin{aligned} \sigma_{x'}&=\sigma_x,&\sigma_{y'}&=\sigma_z,&\sigma_{z'}&=\sigma_y\\ \tau_{y'z'}&=-\tau_{yz},&\tau_{x'z'}&=-\tau_{xy},&\tau_{x'y'}&=\tau_{xz}\\ \varepsilon_{x'}&=\varepsilon_x,&\varepsilon_{y'}&=\varepsilon_z,&\varepsilon_{z'}&=\varepsilon_y\\ \gamma_{y'z'}&=-\gamma_{yz},&\gamma_{x'z'}&=-\gamma_{xy},&\gamma_{x'y'}&=\gamma_{xz} \end{aligned} $$

旧坐标中第一条正应力关系改写为

$$ \sigma_{x'}=C_{11}\varepsilon_{x'} +C_{13}\varepsilon_{y'}+C_{12}\varepsilon_{z'} $$

与新坐标中应保持的关系比较，得到 $C_{12}=C_{13}$。旧坐标中第三条关系给出

$$ \sigma_{y'}=C_{13}\varepsilon_{x'} +C_{33}\varepsilon_{y'}+C_{13}\varepsilon_{z'} $$

比较新坐标中第二条关系，进一步得到 $C_{33}=C_{11}$。由 $\tau_{xz}=C_{44}\gamma_{xz}$ 与新坐标中的 $\tau_{x'y'}=\tfrac12(C_{11}-C_{12})\gamma_{x'y'}$ 比较，得

$$ C_{44}=\frac12(C_{11}-C_{12}) $$

因而只剩两个独立常数。令

$$ C_{12}=\lambda,\qquad C_{11}-C_{12}=2\mu $$

则 $C_{11}=\lambda+2\mu$，所有三个剪切系数均为 $\mu$。$\lambda,\mu$ 称为拉梅常数（Lamé constants），量纲均为应力。

2、广义胡克定律的拉梅常数形式

定义体应变 $\theta=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z$。先使用 $C_{13}=C_{12}$、$C_{33}=C_{11}$ 整理三个正应力关系：

$$ \begin{aligned} \sigma_x &=C_{11}\varepsilon_x+C_{12}\varepsilon_y+C_{12}\varepsilon_z\\ &=C_{12}(\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z) +(C_{11}-C_{12})\varepsilon_x =C_{12}\theta+(C_{11}-C_{12})\varepsilon_x\\ \sigma_y &=C_{12}\varepsilon_x+C_{11}\varepsilon_y+C_{12}\varepsilon_z\\ &=C_{12}\theta+(C_{11}-C_{12})\varepsilon_y\\ \sigma_z &=C_{12}\varepsilon_x+C_{12}\varepsilon_y+C_{11}\varepsilon_z\\ &=C_{12}\theta+(C_{11}-C_{12})\varepsilon_z \end{aligned} $$

三个剪切关系的系数均为 $(C_{11}-C_{12})/2$。将 $C_{12}=\lambda$、$C_{11}-C_{12}=2\mu$ 分别代入，得到各向同性线性弹性体的物理方程为

$$ \begin{aligned} \sigma_x&=\lambda\theta+2\mu\varepsilon_x,&\tau_{yz}&=\mu\gamma_{yz}\\ \sigma_y&=\lambda\theta+2\mu\varepsilon_y,&\tau_{xz}&=\mu\gamma_{xz}\\ \sigma_z&=\lambda\theta+2\mu\varepsilon_z,&\tau_{xy}&=\mu\gamma_{xy} \end{aligned} $$

工程切应变满足 $\gamma_{ij}=2\varepsilon_{ij}$，于是张量形式为

$$ \sigma_{ij}=\lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij} $$

若 $\boldsymbol{I}$ 表示单位矩阵，矩阵形式为

$$ \boldsymbol{\sigma} =\lambda\operatorname{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\boldsymbol{I} +2\mu\boldsymbol{\varepsilon} $$

对任意正交矩阵 $\boldsymbol{A}$，迹不变且 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{I}\boldsymbol{A}^{\mathrm T}=\boldsymbol{I}$，因此

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{\sigma}' &=\boldsymbol{A}\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{A}^{\mathrm T}\\ &=\lambda\operatorname{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}')\boldsymbol{I} +2\mu\boldsymbol{\varepsilon}' \end{aligned} $$

这说明所得到的两常数关系确实在任意正交坐标系中保持不变。

在各向同性体内的各点应力主方向与应变主方向相同，设单位矢量 $\boldsymbol{n}$ 是应变主方向，其对应主应变为 $\varepsilon$，即

$$ \boldsymbol{\varepsilon}\boldsymbol{n}=\varepsilon\boldsymbol{n} $$

利用各向同性本构关系，得

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} &=(\lambda\theta\boldsymbol{I}+2\mu\boldsymbol{\varepsilon})\boldsymbol{n}\\ &=(\lambda\theta+2\mu\varepsilon)\boldsymbol{n} \end{aligned} $$

因而 $\boldsymbol{n}$ 同时也是应力主方向，其主应力为 $\sigma=\lambda\theta+2\mu\varepsilon$。反之，当 $\mu\ne0$ 时，可由

$$ \boldsymbol{\varepsilon} =\frac1{2\mu}(\boldsymbol{\sigma}-\lambda\theta\boldsymbol{I}) $$

推出每个应力主方向也是应变主方向。出现重主值时，主方向可以不唯一，但可以选取同一组正交主轴同时将两个张量对角化。一般各向异性材料不具有这一性质。

4、体应变的胡克定律

记三个正应力之和为 $\Theta=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z$。三个正应力方程相加，得

$$ \Theta=(3\lambda+2\mu)\theta $$

这称为体应变的胡克定律。若 $3\lambda+2\mu\ne0$，则

$$ \theta=\frac{\Theta}{3\lambda+2\mu} $$

从 $\sigma_x=\lambda\theta+2\mu\varepsilon_x$ 解出 $\varepsilon_x$，并代入体应变关系，得

$$ \begin{aligned} \varepsilon_x &=\frac{\sigma_x-\lambda\theta}{2\mu}\\ &=\frac{\sigma_x}{2\mu} -\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\Theta \end{aligned} $$

对 $y,z$ 方向作相同处理，并由剪切关系直接求逆，得到

$$ \begin{aligned} \varepsilon_x&=\frac{\sigma_x}{2\mu} -\frac{\lambda\Theta}{2\mu(3\lambda+2\mu)},& \gamma_{yz}&=\frac{\tau_{yz}}\mu\\ \varepsilon_y&=\frac{\sigma_y}{2\mu} -\frac{\lambda\Theta}{2\mu(3\lambda+2\mu)},& \gamma_{xz}&=\frac{\tau_{xz}}\mu\\ \varepsilon_z&=\frac{\sigma_z}{2\mu} -\frac{\lambda\Theta}{2\mu(3\lambda+2\mu)},& \gamma_{xy}&=\frac{\tau_{xy}}\mu \end{aligned} $$

这些关系要求 $\mu\ne0$ 且 $3\lambda+2\mu\ne0$。它们分别对应剪切响应和体积响应的非退化性。

五、弹性常数的测定

1、杨氏模量、泊松比

取均匀试件沿 $x$ 方向简单拉伸，在均匀应力区内有

$$ \sigma_y=\sigma_z=\tau_{yz}=\tau_{xz}=\tau_{xy}=0 $$

因此 $\Theta=\sigma_x$。代入逆本构关系，得

$$ \begin{aligned} \varepsilon_x &=\left[\frac1{2\mu} -\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\right]\sigma_x\\ &=\frac{3\lambda+2\mu-\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\sigma_x\\ &=\frac{\lambda+\mu}{\mu(3\lambda+2\mu)}\sigma_x \end{aligned} $$

横向应变为

$$ \varepsilon_y=\varepsilon_z =-\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\sigma_x $$

杨氏模量（Young's modulus）$E$ 和泊松比（Poisson's ratio）$\nu$ 由简单拉伸试验定义为

$$ E=\frac{\sigma_x}{\varepsilon_x},\qquad \nu=-\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x} =-\frac{\varepsilon_z}{\varepsilon_x} $$

与上式比较，得到

$$ E=\frac{\mu(3\lambda+2\mu)}{\lambda+\mu},\qquad \nu=\frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} $$

由泊松比关系，得

$$ 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda $$

移项并整理，得到

$$ \lambda(1-2\nu)=2\nu\mu,\qquad \lambda=\frac{2\nu\mu}{1-2\nu} $$

将此式代入杨氏模量关系。先计算分子和分母中的组合：

$$ \begin{aligned} 3\lambda+2\mu &=\frac{6\nu\mu+2\mu(1-2\nu)}{1-2\nu} =\frac{2\mu(1+\nu)}{1-2\nu}\\ \lambda+\mu &=\frac{2\nu\mu+\mu(1-2\nu)}{1-2\nu} =\frac{\mu}{1-2\nu} \end{aligned} $$

故

$$ E=\mu\frac{2\mu(1+\nu)/(1-2\nu)}{\mu/(1-2\nu)} =2\mu(1+\nu) $$

最终得到

$$ \lambda=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)},\qquad \mu=\frac{E}{2(1+\nu)} $$

3、切变模量

取只有 $\tau_{xy}$ 非零的纯剪切应力状态：

$$ \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=\tau_{yz}=\tau_{xz}=0 $$

此时 $\Theta=0$，由逆本构关系得到

$$ \varepsilon_x=\varepsilon_y=\varepsilon_z =\gamma_{yz}=\gamma_{xz}=0,\qquad \gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}\mu $$

切变模量（shear modulus）$G$ 定义为纯剪切试验中的 $G=\tau_{xy}/\gamma_{xy}$，故

$$ \mu=G $$

再结合式（95），得到 $G=E/[2(1+\nu)]$。此处可以联系材料力学课程中 $G,E,\nu$ 三者的独立关系（当时懒了，没记，应该也是使用应变能证明的）因而 $E,\nu,G$ 不是三个独立常数。对于各向同性线性弹性材料，测得其中两个非退化的独立常数组合，即可确定其本构关系。

4、广义胡克定律另一种形式

先将式（95）代入 $3\lambda+2\mu$，逐项通分，得到

$$ \begin{aligned} 3\lambda+2\mu &=\frac{3E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}+\frac{E}{1+\nu}\\ &=\frac{E[3\nu+(1-2\nu)]}{(1+\nu)(1-2\nu)}\\ &=\frac{E(1+\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} =\frac{E}{1-2\nu} \end{aligned} $$

因此，式（85）中的第二个系数逐步化为

$$ \begin{aligned} \frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)} &=\frac{E\nu/[(1+\nu)(1-2\nu)]} {[E/(1+\nu)][E/(1-2\nu)]}\\ &=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} \frac{(1+\nu)(1-2\nu)}{E^2} =\frac{\nu}{E} \end{aligned} $$

与第一个系数合并写为

$$ \frac1{2\mu}=\frac{1+\nu}{E},\qquad \frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}=\frac\nu E $$

将其代入逆本构关系，得到

$$ \begin{aligned} \varepsilon_x&=\frac1E[\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)],& \gamma_{yz}&=\frac{2(1+\nu)}E\tau_{yz}\\ \varepsilon_y&=\frac1E[\sigma_y-\nu(\sigma_z+\sigma_x)],& \gamma_{xz}&=\frac{2(1+\nu)}E\tau_{xz}\\ \varepsilon_z&=\frac1E[\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)],& \gamma_{xy}&=\frac{2(1+\nu)}E\tau_{xy} \end{aligned} $$

张量形式为

$$ \varepsilon_{ij} =\frac1E\left[(1+\nu)\sigma_{ij}-\nu\sigma_{kk}\delta_{ij}\right] $$

注意当 $i\ne j$ 时，上式给出的是张量切应变 $\varepsilon_{ij}=(1+\nu)\sigma_{ij}/E$，乘以 $2$ 后才得到工程切应变。

将三个正应变相加，每个正应力在横向影响项中出现两次，因此

$$ \begin{aligned} \theta &=\frac1E\left[ \sigma_x+\sigma_y+\sigma_z -\nu\{(\sigma_y+\sigma_z)+(\sigma_z+\sigma_x)+(\sigma_x+\sigma_y)\} \right]\\ &=\frac1E(\Theta-2\nu\Theta) =\frac{1-2\nu}{E}\Theta \end{aligned} $$

即体应变的胡克定律

$$ \theta=\frac{1-2\nu}{E}\Theta $$

六、各向同性材料的应变能密度

1、应变分量表示

在线性弹性、无初始应力条件下，由应变能公式，得

$$ 2v_\varepsilon =\sigma_x\varepsilon_x+\sigma_y\varepsilon_y+\sigma_z\varepsilon_z +\tau_{yz}\gamma_{yz}+\tau_{xz}\gamma_{xz}+\tau_{xy}\gamma_{xy} $$

代入 $\sigma_x=\lambda\theta+2\mu\varepsilon_x$ 等式，先合并正应变项：

$$ \begin{aligned} \sigma_x\varepsilon_x+\sigma_y\varepsilon_y+\sigma_z\varepsilon_z &=\lambda\theta(\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z) +2\mu(\varepsilon_x^2+\varepsilon_y^2+\varepsilon_z^2)\\ &=\lambda\theta^2+2\mu(\varepsilon_x^2+\varepsilon_y^2+\varepsilon_z^2) \end{aligned} $$

剪切项为 $\mu(\gamma_{yz}^2+\gamma_{xz}^2+\gamma_{xy}^2)$。故

$$ v_\varepsilon=\frac\lambda2\theta^2 +\mu(\varepsilon_x^2+\varepsilon_y^2+\varepsilon_z^2) +\frac\mu2(\gamma_{yz}^2+\gamma_{xz}^2+\gamma_{xy}^2) $$

对体应变平方作完整展开，得到

$$ \theta^2 =\varepsilon_x^2+\varepsilon_y^2+\varepsilon_z^2 +2\varepsilon_x\varepsilon_y+2\varepsilon_y\varepsilon_z+2\varepsilon_z\varepsilon_x $$

将该式代入 $\lambda\theta^2$，三个正应变平方项的系数均由 $2\mu$ 变为 $\lambda+2\mu$，三项混合乘积的系数均为 $2\lambda$，于是得到其展开形式

$$ \begin{aligned} 2v_\varepsilon &=(\lambda+2\mu)(\varepsilon_x^2+\varepsilon_y^2+\varepsilon_z^2)\\ &\quad+2\lambda(\varepsilon_x\varepsilon_y +\varepsilon_y\varepsilon_z+\varepsilon_z\varepsilon_x)\\ &\quad+\mu(\gamma_{yz}^2+\gamma_{xz}^2+\gamma_{xy}^2) \end{aligned} $$

由于 $\varepsilon_{ij}\varepsilon_{ij}=\varepsilon_x^2+\varepsilon_y^2+\varepsilon_z^2+\tfrac12(\gamma_{yz}^2+\gamma_{xz}^2+\gamma_{xy}^2)$，张量形式为

$$ v_\varepsilon=\frac\lambda2(\varepsilon_{kk})^2 +\mu\varepsilon_{ij}\varepsilon_{ij} $$

2、以应力分量表示

将工程常数形式的逆本构关系代入能量公式，正应力项给出

$$ \begin{aligned} \sigma_x\varepsilon_x+\sigma_y\varepsilon_y+\sigma_z\varepsilon_z &=\frac1E\big[ \sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2\\ &\qquad-\nu\{\sigma_x(\sigma_y+\sigma_z) +\sigma_y(\sigma_z+\sigma_x) +\sigma_z(\sigma_x+\sigma_y)\}\big]\\ &=\frac1E\left[ \sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2 -2\nu(\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_x) \right] \end{aligned} $$

其中每个不同正应力的乘积均出现两次。剪切项为

$$ \tau_{yz}\gamma_{yz}+\tau_{xz}\gamma_{xz}+\tau_{xy}\gamma_{xy} =\frac{2(1+\nu)}E(\tau_{yz}^2+\tau_{xz}^2+\tau_{xy}^2) $$

因而

$$ \begin{aligned} 2v_\varepsilon=\frac1E\big[ &\sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2 -2\nu(\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_x)\\ &+2(1+\nu)(\tau_{yz}^2+\tau_{xz}^2+\tau_{xy}^2) \big] \end{aligned} \tag{4-21} $$

张量形式为

$$ v_\varepsilon=\frac1{2E} \left[(1+\nu)\sigma_{ij}\sigma_{ij}-\nu(\sigma_{kk})^2\right] $$

应变能密度的量纲为单位体积的能量，与应力相同；其对体积积分后才得到总能量。

3、应变能密度的非负性

由式（108）

$$ 2v_\varepsilon =\lambda\theta^2 +2\mu(\varepsilon_x^2+\varepsilon_y^2+\varepsilon_z^2) +\mu(\gamma_{yz}^2+\gamma_{xz}^2+\gamma_{xy}^2) $$

在 $\lambda>0,\mu>0$ 条件下，三个系数均为正，而所有平方项均非负，所以

$$ v_\varepsilon\geqslant0 $$

若任一应变分量非零，第二组或第三组平方和至少有一个正项，因此 $v_\varepsilon>0$。只有六个应变分量全为零时才有 $v_\varepsilon=0$。这就是应变能密度的非负性。