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指数函数 $$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$正弦函数 $$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $$余弦函数 $$ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2…

一、第一类反常积分定义设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，于是对于任意$t>a$，积分$\int_a^tf(x)\mathrm{d}x$存在，它是$t$的函数，称记号$$ \int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\xlongequal{\text{def}}\lim_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\mathrm{d}x $$为函数$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty)$上的反常积分（或第一类反常积分）同样地，设函数$f(x)$在区间$(-\infty,b]$上连续，于是对于任意…

一、求平面图形的面积求曲线$y=f_1(x),y=f_2(x)$（均连续），$x=a,x=b,(a<b)$围成的平面图形面积，为：$$ S=\int_a^b|f_2(x)-f_1(x)|\mathrm{d}x $$二、求夹在两平面间的立体的体积设$\Omega$为一空间立体，它夹在垂直于$Ox$轴的两平面$x=a,x=b$之间$(a<b)$，我们称$\Omega$为位于$[a,b]$上的空间立体。在区间$[a,b]$上任取一点$x$处，做垂直于$Ox$轴的平面，它截得立体$\Omega$的截面面积显然是$x$的函数，设$x$为连续函数，记为$…

注：本文中的计算方法，不包括牛顿莱布尼茨公式和求不定积分的四种方法。一、利用被积函数的奇偶性设$f(x)$在$[-a,a]$上连续，则：若$f(x)$为偶函数：$$\int^a_{-a}f(x)\mathrm{d}x=2\int^a_0f(x)\mathrm{d}x$$若$f(x)$为奇函数：$$\int^a_{-a}f(x)\mathrm{d}x=0$$可使用换元（令$t=-x$）证明上面结论。方法一的推论：若$f(x)$在$[-a,a]$上连续，则：$$\int_{-a}^af(x)\mathrm{d}x=\int^a_0[f(x)+f(-x)]\m…

以正弦函数的沃利斯公式为例：记$I_n=\int_0^{\frac \pi 2}\sin^nx\mathrm{d}x$，当$n\geq2$时，应用凑微分和分部积分得：$$ \begin{aligned} I_n=&\int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{d}x\\ =&-\Big[\sin^{n-1}x \cos x \big|^{\frac \pi 2}_0-\int_0^{\frac\pi 2}\cos x \mathrm{d}(\sin^{n-2}x)\Big]\\ =&-\Big[0-0-(n-1…

一、重要的函数极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin\:x}{x}=1$$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$\lim _{x\to 0}\frac {\ln ( 1+ x) }x= \operatorname* { lim} _{x\to 0}\frac 1x\ln ( 1+ x) = \operatorname* { lim} _{x\to 0}\ln ( 1+ x) ^{\frac 1x}= \ln \lim _{x\to 0}( 1+ x) ^{\frac 1x}= \ln e= 1$$\lim_{x…

数列极限$\lim _{n\to + \infty }a_n= a$ （存在），当$n>N$时恒有$|a_n-a|<\varepsilon$。$\lim_{n\to+\infty}a_n=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists N\in Z^+$，当$n>N$时恒有$|a_n|>M$。$\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists N\in Z^+$，当$n>N$时恒有$a_n>M$。…