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根据前面的知识，对拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程进行分离变量，得到球函数方程：$$ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2}+l(l+1)Y=0 $$球函数方程的解$Y(\theta,\varphi)$称为球函数，即定义在半径$r$的球面上的函数，然后再分离变量，得到：…

一、约束方程与约束分类1、约束方程非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的平衡。约束的作用在于：一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该物体受到约束力的作用；而另一方面，约束也容许物体有可能沿另一些方向获得位移。 当质点系平衡时，主动力与约束力之间，以及主动力与约束所许可位移之间，都存在着一定的关系。这两种关系都可以作为质点系平衡的判据。刚体静力学利用了前一种情况，通过主动力和约束力之间的关系表示出刚体的平衡条件。而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点系的平衡条件。虚位移原理运用动力…

一、达朗贝尔原理1、质点达朗贝尔原理设质量为$m$的非自由质点$D$，在主动力$F$和约束力$F_N$作用下沿曲线运动，该质点的动力学基本方程为：$$ m\vec{a}=\vec{F}+\vec{F}_N $$或：$$ \vec{F}+\vec{F}_N+(-m\vec{a})=\vec{0} $$引入质点的惯性力$\vec{F_1}=-m\vec{a}$的概念，于是上式可以写为：$$ \vec{F}+\vec{F}_N+\vec{F}_I=\vec{0} $$上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系…

一、光速在真空中：$$ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} $$在介质中：$$ v=\frac{1}{\sqrt{\kappa_m\kappa_m\mu_0\varepsilon_0}}=\frac{e}{\sqrt{\kappa_m\kappa_e}} $$即：$$ v=\frac{c}n $$其中$n=\sqrt{\kappa_m\kappa_e}$二、光的多普勒效应当光速远大于源与观察者之间的相对速度$v$时，可以采用经典多普勒公式进行近似：设光源发出频率为$f_0$，观察者接收到的频率为$f$。光在真空中的…

一、力的功1、前面的你都会[!WARNING]菜，就多练！2、作用于刚体力系的功(1) 平移刚体上力的功设一刚体在力 $F$ 作用下作平移，其质心在 $C$ 点，刚体上点 $A$ 的矢径是 $r$，速度是 $v$，则力 $F$ 的元功为：$$ \mathrm{d}W = F \cdot \mathrm{d}r = F \cdot \mathrm{d}r_C $$或者$$ \mathrm{d}W = F \cdot v\,\mathrm{d}t = F \cdot v_C\,\mathrm{d}t $$总功表达式为：$$ \sum \mathrm{d}W …

一、初瞬时问题初瞬时问题，即系统本来静止，突然因为某个原因导致开始运动。例1：均质杆$AB$的质量为$m_1$，长度为$l$，上端$B$靠在光滑的墙壁上，下端与圆柱的中心$A$铰接。均质圆柱的质量为$m_2$ ，半径为$r$，可沿固定水平面滚动而不滑动。假设系统在$\varphi_0=30\mathrm{\degree}$位置由静止释放，试求在初瞬时圆柱质心的$A$加速度。解：考虑从初始条件开始，到任意角度时系统的情况，代入初始条件从而求解。应用动能定理：$$ T = \frac{1}{2}m_2v_A^2 + \frac{1}{2}\left(\fra…

一、电磁波的产生1、静止电荷当一个电荷静止时，它只在空间周围产生静电场 $\vec{E}$。在这个情况下，电场的能量密度为：$$ u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 $$其中，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数，$E$ 是电场强度。此时，空间中没有变化的磁场，也没有能量或动量的传播，因此不会产生电磁波。2、匀速运动的电荷当一个电荷以恒定速度运动时，它会产生恒定的磁场 $\vec{B}$。磁场的能量密度为：$$ u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0} $$其中，$\mu_0$ 是真空磁导率，$B$…

一、动量矩1、质点的动量矩(1) 对点的动量矩质点$A$的动量$m\vec{v}$对点$O$的矩，定义为质点$A$对点$O$的动量矩：$$ \vec{L}_O(m\vec{v})=\vec{r}\times m\vec{v} $$$$ \vec{L}_0(m\vec{v})=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\x&y&z\\mv_x&mv_y&mv_z\end{vmatrix}=m(yv_z-zv_y)\boldsymbo…

一、传输线电报方程和直流不同，当导线上传输信号频率较高且导线长度与信号波长在同一数量级时，需要考虑导线中分布的电阻、电容、电感和漏电所带来的影响。以平行双线为例推导传输线上电压电流变化规律中分布的电阻、电容、电感和漏电所带来的影响。在平行双线中，情况等效为上图所示电路。两端的电流不同，主要原因是两线之间的寄生电容引起充放电，从而引起电流的变化；同时介质损耗引起的漏电流是另一个原因。两端电压也不同，主要是线上寄生的串联电感引起的充放电引起；同时导体损耗也引起部分压降。压降来自串联部分寄生参数，电流变化来自并联寄生参数。假设：传输线是均匀的。均匀传输线沿线的…

一、特殊函数常微分方程圆球形和圆柱形就是两种常见的边界，相应地用球坐标系和柱坐标系比较方便。本文研究球坐标系和柱坐标系中的分离变数法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。1、拉普拉斯方程$\Delta =0$(1) 球坐标系写出球坐标系下拉普拉斯方程：$$ \Delta u=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\…

一、位移电流在原始的安培环路定理中，只考虑了电流产生磁场：$$ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 i $$但在电容充放电等情况下，电流的连续性会断开（比如电容板之间没有实际电流通过），这导致了矛盾。例如，如果我们取一个环路穿过电容板之间的空间，按安培定律，环路上应有磁场，但空间中没有实际电流。或者说选取下图中圈1作为安培环路，利用斯托克斯公式，将积分写为面积分形式，发现如果取得曲面是2或者4，则不存在问题，但是若是取曲面3，曲面3并不包括任何电流，导致这一细节问题产生。麦克斯韦为了解决这个矛盾，引…

一、曲线坐标系1、曲线坐标系方程设空间中有三个变量 $u^1, u^2, u^3$，它们可以唯一地确定空间中一点 $P$。空间直角坐标系下，点 $P$ 的坐标为 $(x, y, z)$。如果存在三元函数：$$ x = x(u^1, u^2, u^3),\quad y = y(u^1, u^2, u^3),\quad z = z(u^1, u^2, u^3) $$则称 $u^1, u^2, u^3$ 为空间的曲线坐标，$(u^1, u^2, u^3)$ 为点 $P$ 的曲线坐标。曲线坐标系的坐标方程就是上面这三条方程：$$ \begin{cases} x …

一、分离变量法的理论基础1、线性问题的叠加原理非齐次线性微分方程的解可以分解成一个非齐次方程的特解与多个齐次微分方程解的叠加；对于非齐次的边界条件，也可以把它拆分成一个特定非齐次边界条件与多个齐次边界条件的叠加。把拆分后的微分方程与边界条件进行组合，从而可以把原来比较复杂、难以求解的问题简化为一些比较容易、易于求解问题的叠加。2、线性问题形式上的变量分离将$u(x,t)$进行变量分离：$$ u(x,t)=X(x)T(t) $$这样做的目的是通过引入一些特定的参数（例如特征值），把偏微分方程转化为常微分方程的问题。二、齐次方程的分离变量法1、齐次方程和齐次…

一、动量与冲量1、动量定义质点系的动量为所有质点动量的矢量和：$$ \vec{p}=\sum m_i\vec{v}_i $$质点系的动量也可以向坐标轴进行投影：$$ \vec{p}_x=\sum m\vec{v}_x\quad \vec{p}_y=\sum m\vec{v}_y\quad \vec{p}_z=\sum m\vec{v}_z $$质点系质心$C$的矢径表达式为：$$ r_C=\frac{\sum m_ir_i}{\sum m_i}=\frac{\sum m_ir_i}M\Rightarrow Mr_c=\sum m_ir_i $$当质点系运…

一、法拉第电磁感应引入当一块磁铁穿过闭合线圈时，电路中会产生电流。定义磁通量，描述穿过某个表面的磁场流量的物理量，表达式为：$$ \varPhi=\iint \vec{B}\cdot \mathrm{d} \vec{A} $$法拉第电磁感应定律是电磁学中的一条基本定律，主要用于描述磁场与电路之间的相互作用。该定律指出，当通过导体回路的磁通量发生变化时，会在回路中产生电动势。其数学表达式为：$$ E=-\frac{\mathrm{d}\varPhi}{\mathrm{d}t} $$二、楞次定律在法拉第电磁感应定律中，电动势的方向遵循右手定则：伸平右手使姆指…