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一、矢量法1、点的运动方程点的运动方程是描述点的位置、速度和加速度随时间变化的数学方程。由定点$O$画到动点$M$的有向线段$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol{r}$称为动点$M$的矢径，它的分解式可以表示为下面的方程：$$ \boldsymbol{r}=\overrightarrow{OM}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k} $$矢径唯一地决定了点$M$的位置。当点$M$运动时，矢径$\boldsymbol{r}$是随时间而变的矢量。一般可表示为时间$t$的单值…

[!TIP]刚体是由无数点组成的，在点的运动学基础上可研究刚体的运动，并且研究刚体运动与刚体上各点运动之间的关系。刚体的两种最简单的运动是平移和定轴转动。以后可以看到，刚体更复杂的运动可以看成由这两种运动的合成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。一、刚体的平移1、平移的定义在运动过程中，刚体上任意一条直线的方向都保持不变。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的平行移动，简称为平移。2、平移的性质当刚体作平移时，体内所有各点的轨迹形状完全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点的加速度也相等。证明：因为这是一个刚体，并且进行的是平移运动，所以刚体内任…

一、拉普拉斯变换1、拉普拉斯变换的定义傅里叶积分和傅里叶变换的应用要满足以下两个条件：原函数$f(t)$定义域为$(-\infty,+\infty)$。原函数$f(t)$在定义域$(-\infty,+\infty)$区间上必须是绝对可积。为了能让更多的函数能够应用傅里叶变换，我们构造一个新的函数$g(t)$：$$ g(t)=e^{-\sigma t}f(t)H(t) $$通过引入阶跃函数$H(t)$后可以把$f(t)$函数延拓到整个实轴上$(-\infty,+\infty)$，只不过在$(-\infty,0)$上的函数值为$0$。后面内容将会省略$H(t…

一、电容1、电容的定义电容器由两个空间上分离的导体组成，分别可以带电为$+q$和$−q$。电容定义为电容器一个导体上所带电荷与两个导体之间电势差的比值：$$ C=\frac{q}{\Delta V} $$电容只与电容器本身有关，与电荷和电压无关，它取决于极板的形状、相对位置以及填充在极板之间的材料。2、不同类型电容器电容的计算(1) 平行板电容器上面平行板电容器的上下表面分别带电$+q,-q$，电势差为$\Delta V$，两板之间的距离为$d$。首先写出电容的计算式：$$ C=\frac{q}{\Delta V} $$设电荷面密度：$$ q=\sigm…

一、傅里叶级数1、周期函数的傅里叶展开(1) 三角函数族$$ \forall x,f(x+T)=f(x) $$那么称函数$f(x)$是以$T$为周期的周期函数，与该周期对应的原频率（称之为基频）为：$$ \omega =\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{l} $$对应的三角频率的三角函数族为（或者三角函数序列为）：$$ 1(\cos0x),\cos\omega x,\cos2\omega x,\cdots\cos k\omega x,\cdots $$$$ \sin\omega x,\sin\omega x,\cdots\sin k\o…

一、静电场的环路定律我们根据图示逐步推导静电场的环路定理（即闭合路径上的电场沿路径积分为零）。静电场是由静止电荷分布产生的。对于静电场来说，其电场 $\vec{E}$ 与电势（$V$）满足关系：$$ \vec{E} = -\nabla V $$电势$V$是标量场，描述了静电场各点的能量。设路径沿 $C$（如图中的闭合回路），则电场的环路积分可以表示为：$$ \oint_C \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} $$其中$\mathrm{d}\vec{l}$是路径上的微小位移向量。如图所示，我们考虑沿环路$C$的积分路径，有两个部…

一、简单平面桁架的内力计算1、相关概念桁架：所有杆件都在同一平面内的桁架。平面桁架：所有杆件都在同一平面内的桁架。节点：桁架中杆件的铰链接头。杆件内力：各杆件所承受的力。简单平面桁架：以一个铰链三角形框架为基础，每增加一个节点需增加两根杆件。简单平面桁架是静定桁架。2、三角形扩大法则对于平面简单桁架，除去第一个三角形外（$3$个节点$3$根杆），杆件数应为节点数的$2$倍。桁架杆数$m$和节点数$n$满足：$$ (m-3)=2(n-3) \Rightarrow m = 2n-3 $$分析上面的式子，$m+3$中，$m$表示$m$根杆有$m$个内力（未知量…

一、滑动摩擦1、库仑干摩擦理论下图所示为在理论力学中，物块受摩擦的受力情况：其中$F_{\max}$成为极限摩擦力（最大静摩擦力）。在实际情况下，物块底部的每一部分都受到摩擦力的作用，将支持力与摩擦力化简为一个力和一个力矩，再将力矩转化为力，将转化出的这个力向两个方向分解，即可得到上图结果，所以$F_N$与$F_{\max}$可以作用于一个点，并且不在物块的正上方，以保证力矩平衡。2、摩擦角和自锁(1) 总反力和摩擦角定义总反力为上图所示的$F_R$：$$ F_R=F_N+F\quad\tan \varphi=\frac{F}{F_N} $$定义摩擦角为…

一、留数定理1、留数如果复变函数$f(z)$有一个孤立奇点$z_{0}$，$f(z)$在$z_{0}$的去心邻域上是解析。根据洛朗级数展开定理，在以$z_{0}$为圆心、内半径足够小的圆环域上，$f(z)$可以展为洛朗级数：$$ f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}(z-z_{0})^{k} $$在洛朗级数的收敛环中取任意一个包围$z_{0}$的小回路$l_{0}$，计算回路积分：$$ \oint_{l_{0}}f(z)\mathrm{d}z=\oint_{l_{0}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}a…

一、通量通量的计算公式：$$ \Phi = \vec{v}\cdot\vec{A} $$其中$\vec{v}$为速度，$\vec{A}$为面积矢量，方向为其任意法向。二、高斯定理1、闭合曲面的通量任意形状的闭合曲面，规定面积的法向指向外，流入该曲面的通量与流出该曲面的通量相等，也就是说，闭合曲面的流量代数和为$0$。$$ \begin{aligned} \Phi &= {\int\kern{-8pt}\int \kern{-23mu} \bigcirc} \vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{A}\\ \mathrm{d} \Ph…

一、函数级数与复（函）数级数1、函数级数相关性质(1) 函数级数如果级数每一项都为函数：$$ S=\sum_{k=0}^{\infty}u_k\left(z\right) $$则称其为函数级数。(2)函数级数的点收敛性（单点收敛）如果对于某一个点$z_0$，级数$\Sigma u_k\left(z_0\right)$收敛，那么我们称级数在$z_0$收敛。(3)函数级数的区域收敛性（逐点收敛）如果级数对于区域内的每一点都收敛，那么我们称级数在区域收敛。(4)级数的一致收敛性（一致收敛）对于$\forall\varepsilon>0$，$\exists…

一、电偶极子考虑两个等量异号的点电荷 $+Q$ 和 $-Q$，分别位于 $(0,-a)$ 和 $(0,a)$，即沿 $y$ 轴对称分布。定义电偶极矩为$$ \vec{p} = 2Qa $$方向为负电荷指向正电荷，大小为电荷与距离的乘积1、电偶极子在$(x,0)$上产生的电场由对称性，$E_x=0$，只需要计算$E_y$：$$ E_{y}=-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_{_0}}\frac{Q}{r^2}\sin\theta $$其中：$$ \sin\theta=\frac{a}{r},\quad r^2=x^2+a^2 $$所以：…

一、因果推理的基本概念1、因果推理哲学上把现象和现象之间那种“引起和被引起”的关系，叫做因果关系，其中引起某种现象产生的现象叫做原因，被某种现象引起的现象叫做结果。因果推理是一种重要的推理手段，是人类智能的重要组成。2、辛普森悖论辛普森悖论是统计学中的一种反直觉现象，指的是在分组数据中，某种趋势在各子组中都存在，但当把所有数据合并后，趋势却发生了逆转。例如，某药物在男性和女性两个子组都有提高治愈率的效果，但合并数据后可能反而显示总体治愈率下降。这是因为分组比例不同或其他潜在变量影响了整体结果。辛普森悖论提醒我们，在分析数据时，要注意分组情况和潜在的混杂因…

[!NOTE]这份文章主要涉及命题逻辑、谓词逻辑和知识图谱推理，有关因果推理的内容，点击链接因果推理。一、命题逻辑1、相关概念与定理命题逻辑是应用一套形式化规则对以符号表示呃描述性陈述进行推理的系统。命题是一个能够确定为真或者假的陈述句，通常使用小写符号$p$或者$q$来表示。命题总有一个“值”，称为真值，为真或者假，只有确定真值的陈述句才是命题，无法判断正确性的描述性句子不能作为命题。原子命题指不包括其他命题或者作为其组成部分的命题，又称为简单命题。复合命题指包含其他命题作为其组成部分的命题。在命题逻辑中，一个或真或假的描述性陈述被称为原子命题，对原子…

一、力对点的矩和力对轴的矩1、力对点的矩(1) 力对点之矩的定义力使刚体绕某一点转动的效应由力对点的矩度量。力可以对空间任意一点取矩，矩心和力所决定的平面可以有任意方位，所以空间力对任一点的矩应该表示成矢量。规定力矩矢符号为$M_o(F)$，力矩矢是一个定位矢量，它的大小和方向都与作用点$O$的位置有关。(2) 力对点之矩的矢积表达式$$ M_O(F)=r\times F $$即力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。(3) 力对点之矩的解析表达式$$ M_O\left(F\right)=\left(yF_z-zF_y\right)\bol…