一、曲线坐标系
1、曲线坐标系方程
设空间中有三个变量 $u^1, u^2, u^3$，它们可以唯一地确定空间中一点 $P$。空间直角坐标系下，点 $P$ 的坐标为 $(x, y, z)$。如果存在三元函数：
$$ x = x(u^1, u^2, u^3),\quad y = y(u^1, u^2, u^3),\quad z = z(u^1, u^2, u^3) $$
则称 $u^1, u^2, u^3$ 为空间的曲线坐标，$(u^1, u^2, u^3)$ 为点 $P$ 的曲线坐标。曲线坐标系的坐标方程就是上面这三条方程：
$$ \begin{cases} x &= x(u^1, u^2, u^3) \\ y &= y(u^1, u^2, u^3) \\ z &= z(u^1, u^2, u^3) \end{cases} $$
当 $u^2, u^3$ 固定，$u^1$ 变化时，得到一条空间曲线，称为 $u^1$ 坐标曲线。同理，分别固定另外两组变量，$u^2$、$u^3$ 变化时分别得到 $u^2$ 和 $u^3$ 坐标曲线。以 $u^1$ 坐标曲线为例，其切向量为：
$$ \left. \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^1} \right|_{u^2, u^3=comst.} $$
其中，$\vec{r}$ 为点 $P$ 的矢径：
$$ \vec{r} = x(u^1, u^2, u^3) \vec{e}_x + y(u^1, u^2, u^3) \vec{e}_y + z(u^1, u^2, u^3) \vec{e}_z $$
一般地，三条坐标曲线的切向量分别为：
$$ \vec{a}_i = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^i}, \quad (i=1,2,3) $$
切向量 $\vec{a}_i$ 的模称为拉梅系数 $h_i$：
$$ h_i = \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^i} \right| $$
单位基向量定义为：
$$ \vec{e}_i = \frac{\vec{a}_i}{h_i} = \frac{1}{h_i} \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^i}, \quad (i=1,2,3) $$
单位基向量 $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ 分别沿着 $u^1, u^2, u^3$ 坐标曲线的切向量方向，且模长为 $1$。如果三个单位基向量相互垂直，我们称为正交曲线坐标系。
2、弧段、面元、体积元
在曲线坐标系中，任意弧段指的是坐标曲线上的一小段曲线。假设我们考虑 $u^1$ 坐标曲线（即 $u^2, u^3$ 固定，$u^1$ 变化），任意取 $u^1$ 的两个值 $u^1$ 和 $u^1 + \mathrm{d}u^1$，此时空间中的点 $P$ 的位置矢量为：
$$ \vec{r}(u^1, u^2, u^3) $$
而相邻点 $P'$ 的位置矢量为：
$$ \vec{r}(u^1+\mathrm{d}u^1, u^2, u^3) $$
这两点之间的曲线段就称为$u^1$坐标曲线上的任意弧段。同理，也可以定义 $u^2$ 或 $u^3$ 坐标曲线上的任意弧段。设 $u^i$ 为某一坐标曲线的参数，其他两个坐标固定，$\mathrm{d}u^i$ 为参数的微小变化，则对应的空间微元弧段为：
$$ \mathrm{d}\vec{r} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^i} \mathrm{d}u^i $$
弧段的长度为
$$ \mathrm{d}s = |\mathrm{d}\vec{r}| = \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^i} \right| \mathrm{d}u^i = h_i \mathrm{d}u^i $$
对于任意曲线（不一定是坐标曲线），其微元弧长为：
$$ \mathrm{d}s = \sqrt{ \left( \frac{\partial x}{\partial u^1} \mathrm{d}u^1 + \frac{\partial x}{\partial u^2} \mathrm{d}u^2 + \frac{\partial x}{\partial u^3} \mathrm{d}u^3 \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial u^1} \mathrm{d}u^1 + \frac{\partial y}{\partial u^2} \mathrm{d}u^2 + \frac{\partial y}{\partial u^3} \mathrm{d}u^3 \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial u^1} \mathrm{d}u^1 + \frac{\partial z}{\partial u^2} \mathrm{d}u^2 + \frac{\partial z}{\partial u^3} \mathrm{d}u^3 \right)^2 } $$
或者记为：
$$ \mathrm{d}s^2 = \sum_{i,j=1}^3 g_{ij} \mathrm{d}u^i \mathrm{d}u^j $$
其中
$$ g_{ij} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^i} \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^j} $$
为度规张量。
对于正交曲线坐标系，$g_{ij} = 0$（$i \ne j$），则
$$ \mathrm{d}s^2 = h_1^2 (\mathrm{d}u^1)^2 + h_2^2 (\mathrm{d}u^2)^2 + h_3^2 (\mathrm{d}u^3)^2 $$
考虑 $u^1$ 和 $u^2$ 变化、$u^3$ 固定，形成一小块曲面（称为 $u^1$-$u^2$ 曲面），其面元 $\mathrm{d}\vec{S}$ 的向量形式为：
$$ \mathrm{d}\vec{S} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^1} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^2} \, \mathrm{d}u^1 \mathrm{d}u^2 $$
面元的大小（数量值）为：
$$ \mathrm{d}S = \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^1} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^2} \right| \mathrm{d}u^1 \mathrm{d}u^2 $$
如果该坐标系是正交曲线坐标系，即三个基矢互相正交，则：
$$ \mathrm{d}S = h_1 h_2 \, \mathrm{d}u^1 \mathrm{d}u^2 $$
其中 $h_1, h_2$ 分别为对应坐标的拉梅系数。如果面元是 $u^2$-$u^3$ 平面或 $u^3$-$u^1$ 平面，选取对应的两个坐标即可。
三个坐标同时变化时，微元体积为：
$$ \mathrm{d}V = \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^1} \cdot \left( \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^2} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial u^3} \right) \right| \mathrm{d}u^1 \mathrm{d}u^2 \mathrm{d}u^3 $$
对于正交曲线坐标系，因为三基矢正交，所以
$$ \mathrm{d}V = h_1 h_2 h_3 \, \mathrm{d}u^1 \mathrm{d}u^2 \mathrm{d}u^3 $$
3、梯度、散度、旋度
梯度 $\nabla f$ 的定义是：
$$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) $$
也梯度可表示为：
$$ \nabla f = \sum_{i=1}^3 \vec{e}_i \frac{1}{h_i} \frac{\partial f}{\partial u^i} $$
存在下面两个梯度恒等式：
$$ \frac{\vec{e}_1}{h_2 h_3} = \frac{\vec{e}_2}{h_3 h_1} \times \frac{\vec{e}_3}{h_1 h_2} = \nabla u_2 \times \nabla u_3 $$
$$ \nabla \cdot \frac{\vec{e}_1}{h_2 h_3} = \nabla \cdot \frac{\vec{e}_2}{h_3 h_1} = \nabla \cdot \frac{\vec{e}_3}{h_1 h_2} = 0 $$
散度在物理上与通量有关系，对应高斯定理：
$$ \iiint_{\Omega}\nabla\cdot\vec{A}\mathrm{d}V=\iint_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\vec{A}\mathrm{d}S $$
其中$\vec{A}$为向量，其散度为：
$$ \nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left[ \frac{\partial}{\partial u^1}(h_2 h_3 A_1) + \frac{\partial}{\partial u^2}(h_3 h_1 A_2) + \frac{\partial}{\partial u^3}(h_1 h_2 A_3) \right] $$
其中 $A_i$ 是 $\vec{A}$ 在 $\vec{e}_i$ 方向的分量。
旋度在物理上与环量有关系，对应斯托克斯公式：
$$ \iint_S\left(\nabla\times\vec{A}\right)\cdot\vec{n}\mathrm{d}S=\oint_C\vec{A}\cdot \mathrm{d}\vec{r} $$
因此，得到旋度：
$$ \nabla\times\vec{A}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\begin{vmatrix}h_1\vec{e}_1&h_2\vec{e}_2&h_3\vec{e}_3\\\dfrac{\partial}{\partial u_1}&\dfrac{\partial}{\partial u_2}&\dfrac{\partial}{\partial u_3}\\h_1A_1&h_2A_2&h_3A_3\end{vmatrix} $$
4、拉普拉斯算子
拉普拉斯算子为：
$$ \Delta=\nabla\cdot\nabla=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\left[\frac{\partial}{\partial u_{1}}\left(\frac{h_{2}h_{3}}{h_{1}}\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)+\frac{\partial}{\partial u_{2}}\left(\frac{h_{3}h_{1}}{h_{2}}\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)+\frac{\partial}{\partial u_{3}}\left(\frac{h_{1}h_{2}}{h_{3}}\frac{\partial}{\partial u_{3}}\right)\right] $$
二、直角坐标系
在直角坐标系下，曲线坐标系的相关参数为：
$$ \vec{r}=x\vec{e}_x+y\vec{e}+y+z\vec{e}_z $$
$$ h_1=h_2=h_3=1 $$
三、球坐标系
- 曲线坐标系相关参数：
$$ u_1=r,u_2=\theta,u_3=\varphi $$
$$ \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\varphi\\ y=r\sin\theta\sin\varphi\\ z=r\cos\theta \end{cases} $$
$$ \vec{r}=r\sin\theta\cos\varphi\vec{e}_x+r\sin\theta\sin\varphi\vec{e}_y+r\cos\theta\vec{e}_z $$
$$ h_r=1,h_\theta=r,h_\varphi=r\sin\theta $$
$$ \vec{e}_r=\frac{1}{h_r}\frac{\partial \vec{r}}{\partial r}=\sin\theta\cos\varphi \vec{e}_x+\sin\theta\sin\varphi\vec{e}_y+\cos\theta \vec{e}_z $$
$$ \vec{e}_\theta=\frac{1}{h_\theta}\frac{\partial \vec{r}}{\partial r}=\cos\theta\cos\varphi \vec{e}_x+\cos\theta\sin\varphi\vec{e}_y-\sin\theta \vec{e}_z $$
$$ \vec{e}_r=\frac{1}{h_r}\frac{\partial \vec{r}}{\partial r}=-\sin\varphi \vec{e}_x+\cos\varphi\vec{e}_y $$
- 弧段长度
$$ \mathrm{d}s^2 = h_r^2 (\mathrm{d}r)^2 + h_\theta^2 (\mathrm{d}\theta)^2 + h_\varphi^2 (\mathrm{d}\varphi)^2 = (\mathrm{d}r)^2 + r^2 (\mathrm{d}\theta)^2 + r^2 \sin^2\theta (\mathrm{d}\varphi)^2 $$
$r$-$\theta$ 面（$\varphi$ 固定）面元：
$$ \mathrm{d}S = h_r h_\theta\, \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = r\, \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta $$
$\theta$-$\varphi$ 面（$r$ 固定）面元：
$$ \mathrm{d}S = h_\theta h_\varphi\, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = r^2 \sin\theta\, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi $$
$\varphi$-$r$ 面（$\theta$ 固定）面元：
$$ \mathrm{d}S = h_\varphi h_r\, \mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r = r \sin\theta\, \mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r $$
- 体积元：
$$ \mathrm{d}V = h_r h_\theta h_\varphi\, \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = r^2 \sin\theta\, \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi $$
- 梯度：
$$ \nabla f = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r} + \vec{e}_\theta \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} + \vec{e}_\varphi \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial f}{\partial \varphi} $$
- 散度：
$$ \nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, A_\theta) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} $$
- 旋度：
$$ \nabla \times \vec{A} = \frac{1}{r \sin\theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta\, A_\varphi) - \frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right]\vec{e}_e + \frac{1}{r} \left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \frac{\partial}{\partial r}(r A_\varphi) \right]\vec{e}_\theta + \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r}(r A_\theta) - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right]\vec{e}_\varphi $$
拉普拉斯算子：
$$ \Delta u=\nabla^2u=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2} $$
四、柱坐标系
曲线坐标系相关系数：
$$ u_1=\rho,u_2=\varphi,u_3=z $$
$$ \begin{cases} x=\rho\cos\varphi\\ y=\rho\sin\varphi\\ z=z \end{cases} $$
$$ \vec{r}=\rho\cos\varphi\vec{\mathrm{e}}_{x}+\rho\sin\varphi\vec{\mathrm{e}}_{y}+z\vec{\mathrm{e}}_{z} $$
$$ h_\rho=1,h_\varphi=\rho,h_z=1 $$
$$ \vec{e}_\rho=\frac{1}{h_\rho}\frac{\partial\vec{r}}{\partial\rho}=\cos\varphi\vec{\mathrm{e}}_{x}+\sin\varphi\vec{\mathrm{e}}_{y} $$
$$ \vec{e}_\varphi=\frac{1}{h_\varphi}\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}=-\sin\varphi\vec{\mathrm{e}}_{x}+\cos\varphi\vec{\mathrm{e}}_{y} $$
$$ \vec{e}_z=\frac{1}{h_z}\frac{\partial\vec{r}}{\partial z}=\vec{\mathrm{e}}_{z} $$
- 弧段长度：
$$ \mathrm{d}s^2 = h_\rho^2 (\mathrm{d}\rho)^2 + h_\varphi^2 (\mathrm{d}\varphi)^2 + h_z^2 (\mathrm{d}z)^2 = (\mathrm{d}\rho)^2 + \rho^2 (\mathrm{d}\varphi)^2 + (\mathrm{d}z)^2 $$
$\rho$-$\varphi$ 面（$z$ 固定）面元：
$$ \mathrm{d}S = h_\rho h_\varphi\, \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi = \rho\, \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi $$
$\varphi$-$z$ 面（$\rho$ 固定）面元：
$$ \mathrm{d}S = h_\varphi h_z\, \mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z = \rho\, \mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z $$
$z$-$\rho$ 面（$\varphi$ 固定）面元：
$$ \mathrm{d}S = h_z h_\rho\, \mathrm{d}z\,\mathrm{d}\rho = \mathrm{d}z\,\mathrm{d}\rho $$
- 体积元：
$$ \mathrm{d}V = h_\rho h_\varphi h_z\, \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z = \rho\, \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z $$
梯度：
$$ \nabla f = \vec{e}_\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}
- \vec{e}_\varphi \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \varphi}
\vec{e}_z \frac{\partial f}{\partial z}
$$
- 散度：
$$ \nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho A_\rho) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z} $$
- 旋度：
$$ \nabla \times \vec{A} = \left[ \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial}{\partial z}(\rho A_\varphi) \right) \right] \vec{e}_\rho + \left[ \frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho} \right] \vec{e}_\varphi + \left[ \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\varphi) - \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi} \right) \right] \vec{e}_z $$
- 拉普拉斯算子：
$$ \Delta u=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\frac{\partial u}{\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2} $$