一、振动力学概述
振动力学研究物体在其平衡位置附近所做的往复运动。振动现象广泛存在于工程领域——从建筑物的地震响应、桥梁的风致振动，到精密仪器的微振动控制，无不涉及振动力学的基本原理。
振动研究的两大核心任务是：
- 已知系统求响应（正问题）：给定系统的物理参数和外激励，求解系统的振动响应
- 已知响应求系统（逆问题）：通过实测振动信号识别系统的动力学参数
这两种任务分别对应着不同的数学描述——常微分方程（ODE） 和 偏微分方程（PDE），其选择取决于对系统采用的力学模型。
二、振动力学问题的分类
1、按自由度分类
这是最根本的分类方式，直接决定了数学描述的性质。
（1）离散系统——有限自由度
将实际结构的质量、刚度、阻尼集中（或离散化）到有限个点上，系统在空间中的位形可由有限个独立坐标完全描述。设独立坐标数为 $n$，则称系统具有 $n$ 个自由度。
典型实例：
- 单摆（单自由度）
- 弹簧-质量串联系统（$n$ 个自由度）
- 多层框架结构的层间剪切模型
离散系统的运动由 常微分方程（ODE） 描述。
（2）连续系统——无限自由度
考虑质量、刚度在空间中的连续分布，系统位形需要无限多个坐标（即位移函数）来描述。每一点的运动都是独立的自由度。
典型实例：
- 弦的横向振动
- 杆的纵向/扭转振动
- 梁、板、壳的弯曲振动
连续系统的运动由偏微分方程（PDE）描述。
2、按激励类型分类
| 类型 | 特征 | 数学形式 |
|---|---|---|
| 自由振动 | $F(t) = 0$，仅由初始条件激发 | 齐次方程 |
| 受迫振动 | 外部激励 $F(t) \neq 0$，持续作用 | 非齐次方程 |
| 自激振动 | 系统从非振荡能源中汲取能量维持振动 | 非线性方程 |
| 参数振动 | 系统参数（如刚度）随时间变化 | 变系数方程 |
3、按系统特性分类
- 线性、非线性：恢复力是否与位移成正比，阻尼力是否与速度成正比
- 定常、非定常：系统参数是否随时间变化
- 确定性、随机性：激励是否可预知
此处重点讨论第一类分类——离散与连续系统，以及对应的 ODE 与 PDE 的建立过程。
三、离散系统与常微分方程
离散系统的核心特征是：系统的位形由有限个广义坐标 $q_1(t), q_2(t), \ldots, q_n(t)$ 确定，每个坐标仅是时间 $t$ 的函数，从而运动方程是常微分方程。
1、单自由度系统的运动方程
（1）物理模型
考虑弹簧-质量-阻尼系统。$m$：质量、$k$：弹簧刚度、$c$：粘性阻尼系数、$x(t)$：质量块偏离平衡位置的位移、$F(t)$：外激励力。
（2）牛顿第二定律推导
取质量块为隔离体，受力分析：
- 恢复力：$F_k = -kx$（与位移方向相反）
- 阻尼力：$F_c = -c\dot{x}$（与速度方向相反）
- 外力：$F(t)$
- 惯性力：按达朗贝尔原理为 $-m\ddot{x}$
由牛顿第二定律，沿 $x$ 方向：
$$ \sum F = m\ddot{x} $$
代入各力：
$$ F(t) - kx - c\dot{x} = m\ddot{x} $$
整理得单自由度系统受迫振动的标准形式：
$$ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) $$
当 $F(t) = 0$ 时，得到自由振动方程：
$$ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0 $$
引入固有参数：
$$ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{（无阻尼固有频率）} $$
$$ \zeta = \frac{c}{2m\omega_n} = \frac{c}{2\sqrt{mk}} \quad \text{（阻尼比）} $$
则运动方程可写为：
$$ \ddot{x} + 2\zeta\omega_n \dot{x} + \omega_n^2 x = \frac{F(t)}{m} $$
（3）力的形式
外力 $F(t)$ 存在多种形式：
- $F(t)=A\sin(\omega t+ \varphi)$，称为单谐和激励。可以使用傅里叶变换转换到频域中求解。
- $F(t)=\sum_{i=1}^{n}A_i\sin(\omega_it+\varphi_i)$，称为多谐和激励。
$F(t+T)=F(t)$，称为周期激励。展开形式为：
$$ F(t)=F_0+\sum_{i=1}^\infty(a_i\sin\frac{2\pi\mathrm{i}}{T}t+b_i\cos\frac{2\pi\mathrm{i}}{T}t)=F_0+\sum_{i=1}^\infty F_i\sin(\frac{2\pi\mathrm{i}}Tt+\varphi_i) $$
$F(t)$，任意激励。对于该激励，如果想要使用傅里叶变换，需要使得该函数绝对可积：
$$ \int^\infty|F(t)|\mathrm{d}t=const. $$
$F(t)$，随机激励。随机激励不可能满足绝对可积的条件，故不可以在频域内解决问题，可以引入相关函数 $R_F(\tau)$：
$$ R_F(\tau)=E[F(t)F(t+\tau)] $$
其中 $E$ 表示集合平均。使得 $R_F(\tau)$ 绝对可积。得到功率谱，在功率谱中解决问题。
恢复力的形式：
- $F(x)=kx$，线性恢复力，看做普通弹簧。
- $F(x)=k_1x+k_2x^3(k_1,k_2>0)$，非线性硬弹簧。若$k_2<0$，则称之为软弹簧。对于这种情况的非线性刚度的振动问题，称之为 Duffing 振子，该问题目前没有解析解。
阻尼力的形式：
- $c\dot x$，线性阻尼力。
- $c(x,\dot x)\dot x$，阻尼系数不再是一个常数，很多情况下满足：$c=c_0+c_1x^2+c_2\dot x^2$，在这种情况下的振动方程被称为 Van der Pol 振子，该问题没有解析解。
(4) 参激
由于参数的变化导致的激励，存在位移参激、速度参激、加速度参激等。
2、多自由度系统的运动方程
（1）二自由度系统——牛顿法
考虑两个质量 $m_1$、$m_2$ 通过弹簧 $k_1$、$k_2$、$k_3$ 连接的系统。
┌───┐ k₁ ┌───┐ k₂ ┌───┐ k₃
│m₁ │─////─│m₂ │─////─│m₃ │─////─ 固定端
└───┘ └───┘ └───┘
x₁(t) x₂(t)分别对 $m_1$ 和 $m_2$ 取隔离体：
对 $m_1$：
$$ m_1\ddot{x}_1 = -k_1 x_1 + k_2(x_2 - x_1) $$
对 $m_2$：
$$ m_2\ddot{x}_2 = -k_2(x_2 - x_1) - k_3 x_2 $$
整理为矩阵形式：
$$ \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \end{Bmatrix} + \begin{bmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2 + k_3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \end{Bmatrix} $$
（2）$n$ 自由度系统的一般形式
推广到 $n$ 个自由度，运动方程的一般矩阵形式为：
$$ \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{x}} + \boldsymbol{K}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}(t) $$
其中：$\boldsymbol{M}$：$n \times n$ 质量矩阵（正定对称）、$\boldsymbol{C}$：$n \times n$ 阻尼矩阵、$\boldsymbol{K}$：$n \times n$ 刚度矩阵（半正定对称）、$\boldsymbol{x}$ ：$n \times 1$ 位移向量、$\boldsymbol{F}(t)$ ：$n \times 1$ 激励力向量
这就是描述离散系统振动的常微分方程组。
四、连续系统与偏微分方程
当结构的质量、刚度在空间中连续分布时，系统位形需要位移函数 $u(x, y, z, t)$ 来描述。位移不仅是时间 $t$ 的函数，也是空间坐标的函数，因此运动方程必然是偏微分方程（PDE）。
1、弦的横向振动——波动方程的建立
（1）基本假设
- 弦是完全柔软的（不抵抗弯曲）
- 弦的振动是微幅的（小变形假设）
- 弦的张力 $T$ 在振动过程中保持恒定
- 弦的线密度 $\rho$（单位长度质量）均匀
（2）微元受力分析
取弦上一段微元 $\mathrm{d}x$，其横向位移为 $y(x, t)$。微元两端的张力大小均为 $T$，方向沿弦的切线方向。设 $\theta$ 为切线与 $x$ 轴的夹角。
小变形假设下：
$$ \theta \approx \tan\theta = \frac{\partial y}{\partial x} \ll 1 $$
$$ \sin\theta \approx \theta, \quad \cos\theta \approx 1 $$
微元在 $y$ 方向的受力为两端张力在 $y$ 方向的分量之差：
$$ F_y = T\sin\theta(x + \mathrm{d}x) - T\sin\theta(x) \approx T\left[\theta(x + \mathrm{d}x) - \theta(x)\right] $$
将 $\theta \approx \partial y / \partial x$ 代入：
$$ \begin{aligned} F_y &= T\left[\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x+\mathrm{d}x} - \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x}\right] \\ &= T \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right) \mathrm{d}x \\ &= T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \mathrm{d}x \end{aligned} $$
（3）建立运动方程
微元的质量为 $\rho \,\mathrm{d}x$，由牛顿第二定律：
$$ \rho \,\mathrm{d}x \cdot \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \mathrm{d}x $$
两边除以 $\rho \,\mathrm{d}x$：
$$ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} $$
令波速 $c = \sqrt{T / \rho}$，得到经典的一维波动方程**：
$$ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} $$
这是一个二阶双曲型偏微分方程。其通解为达朗贝尔解：
$$ y(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct) $$
分别表示向右和向左传播的波。
2、杆的纵向振动
（1）基本假设
- 杆是均匀等截面的，截面积为 $A$
- 材料密度为 $\rho$，弹性模量为 $E$
- 变形满足平截面假设（截面在变形后仍为平面）
- 应力-应变满足胡克定律
（2）微元受力分析
取杆上一段微元 $\mathrm{d}x$，纵向位移记为 $u(x, t)$。
微元左端面受力：$N(x) = \sigma(x)A = EA \varepsilon(x) = EA \dfrac{\partial u}{\partial x}$
微元右端面受力：$N(x + \mathrm{d}x) = EA\left.\dfrac{\partial u}{\partial x}\right|_{x+\mathrm{d}x}$
由牛顿第二定律：
$$ \rho A \,\mathrm{d}x \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = N(x + \mathrm{d}x) - N(x) $$
$$ = EA\left[\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x+\mathrm{d}x} - \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x}\right] $$
$$ = EA \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \mathrm{d}x $$
整理得杆纵向振动的 一维波动方程：
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{E}{\rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$
令 $c = \sqrt{E / \rho}$（杆中纵波波速），方程形式与弦振动完全一致：
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$
尽管方程形式相同，但物理本质不同：弦振动的恢复力来自张力 $T$，杆纵振动的恢复力来自材料的弹性刚度 $E$。
3、欧拉-伯努利梁的横向振动
（1）基本假设
- 梁为等截面细长直梁
- 满足平截面假设（截面变形后仍为平面且垂直于中性轴）
- 忽略剪切变形和转动惯量
- 满足小变形假设
（2）微元受力与弯矩分析
梁的横向位移为 $y(x, t)$，截面积为 $A$，截面惯性矩为 $I$，密度为 $\rho$，弹性模量为 $E$。
由欧拉-伯努利梁理论，弯矩与曲率的关系为：
$$ M(x, t) = EI \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} $$
取微元 $\mathrm{d}x$ 进行受力分析：$M$：弯矩、$Q$：剪力、$q(x,t)$：单位长度上的外载荷
微元在 $y$ 方向的力平衡：
$$ Q - (Q + \mathrm{d}Q) + q\,\mathrm{d}x = \rho A \,\mathrm{d}x \cdot \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} $$
化简：
$$ -\frac{\partial Q}{\partial x} + q = \rho A \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} $$
微元对左端面取矩的力矩平衡（忽略转动惯量）：
$$ M + Q\,\mathrm{d}x - (M + \mathrm{d}M) + q\,\mathrm{d}x \cdot \frac{\mathrm{d}x}{2} = 0 $$
略去高阶小量 $\mathrm{d}x^2$ 项：
$$ Q = \frac{\partial M}{\partial x} $$
代入得：
$$ -\frac{\partial^2 M}{\partial x^2} + q = \rho A \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} $$
代入弯矩-曲率关系 $M = EI \dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}$：
$$ -\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\right) + q = \rho A \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} $$
对于等截面均质梁（$EI$ 为常数），得到欧拉-伯努利梁的自由振动方程（$q = 0$）：
$$ EI \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + \rho A \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0 $$
或写为：
$$ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} + a^2 \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} = 0, \quad a^2 = \frac{EI}{\rho A} $$
梁的振动方程是四阶空间导数，而弦和杆的振动方程是二阶空间导数。这意味着梁的边界条件需要每端两个（共四个），而非每端一个。
4、连续系统偏微分方程的通用形式
归纳以上三种典型连续系统，其运动方程可以统一写为：
$$ \mathcal{L}[u(\boldsymbol{r}, t)] + m(\boldsymbol{r})\frac{\partial^2 u(\boldsymbol{r}, t)}{\partial t^2} = f(\boldsymbol{r}, t) $$
其中 $\mathcal{L}$ 是空间微分算子（线性自伴算子），$u$ 是位移函数，$m$ 是质量分布参数，$f$ 是外激励。
| 系统 | 微分算子 $\mathcal{L}$ | 方程阶数 |
|---|---|---|
| 弦的横向振动 | $-T \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}$ | 二阶（空间） |
| 杆的纵向振动 | $-EA \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}$ | 二阶（空间） |
| 梁的横向振动 | $EI \dfrac{\partial^4}{\partial x^4}$ | 四阶（空间） |
| 薄膜的横向振动 | $-N\nabla^2 = -N\left(\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2}\right)$ | 二阶（空间二维） |
| 板的横向振动 | $D\nabla^4 = D\left(\dfrac{\partial^4}{\partial x^4} + 2\dfrac{\partial^4}{\partial x^2 \partial y^2} + \dfrac{\partial^4}{\partial y^4}\right)$ | 四阶（空间二维） |