应力应变状态与强度理论

[!NOTE]

约定主应力按代数值排序 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$；拉应力为正，压应力为负。

一、应力状态

1、应力是位置的函数

材料中不同点处的应力一般不同：

$$ \sigma=\sigma(x) $$

更一般地，三维连续体中某点的应力状态可由应力张量表示：

$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} $$

由力矩平衡可得剪应力互等：

$$ \tau_{xy}=\tau_{yx},\qquad \tau_{yz}=\tau_{zy},\qquad \tau_{zx}=\tau_{xz} $$

因此应力张量为对称张量。

2、点的应力状态唯一

虽然过同一点可以取无穷多个不同方向的截面，每个截面上的正应力和切应力不同，但它们都由该点唯一的内禀应力状态决定。

3、主平面、主应力与应力状态分类

主平面为切应力为零的平面。主应力为作用在主平面上的正应力。

主应力记为：

$$ \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 $$

并约定：

$$ \sigma_1\ge \sigma_2\ge \sigma_3 $$

应力状态分类：

1. 单向应状态：三个主应力中只有一个非零。
2. 二向应力状态：三个主应力中有两个非零。
3. 三向应力状态：三个主应力均非零。

二、二向与三向应力状态

1、薄壁圆筒压力容器

设圆筒内压为 $p$，直径为 $D$，壁厚为 $t$，且满足薄壁条件：

$$ \frac{D}{t}>20 $$

通常认为壁厚方向应力远小于环向与轴向应力：

$$ p\ll \sigma_1,\sigma_2 $$

取圆筒横截面，内压对端盖的合力为：

$$ F_p=p\cdot \frac{\pi D^2}{4} $$

筒壁横截面积近似为：

$$ A=\pi D t $$

由轴向平衡：

$$ \sum X=0 $$

$$ \pi D t\,\sigma' - \frac{\pi D^2}{4}p=0 $$

解得轴向应力：

$$ \sigma'=\frac{pD}{4t} $$

沿圆筒轴线剖开半个圆筒，设长度为 $l$。内压在直径投影面上的合力为：

$$ F_p=pDl $$

两侧筒壁承受拉力：

$$ F_\sigma=2tl\,\sigma'' $$

由横向平衡：

$$ \sum Y=0 $$

$$ 2tl\,\sigma''-pDl=0 $$

解得环向应力：

$$ \sigma''=\frac{pD}{2t} $$

因此薄壁圆筒压力容器的主应力为：

$$ \sigma_1=\sigma''=\frac{pD}{2t} $$

$$ \sigma_2=\sigma'=\frac{pD}{4t} $$

$$ \sigma_3\approx 0 $$

并且：

$$ \sigma_1=2\sigma_2 $$

2、三向应力状态

三向应力状态是最一般的应力状态，包括：

• 三向拉伸；
• 三向压缩；
• 一般空间复杂应力状态。

三、平面应力状态解析法

平面应力状态中：

$$ \sigma_z=0,\qquad \tau_{xz}=0,\qquad \tau_{yz}=0 $$

应力张量可写为：

$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy}\\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{bmatrix} $$

且：

$$ \tau_{xy}=\tau_{yx} $$

1、斜截面上的应力

设斜截面外法线 $n$ 与 $x$ 轴夹角为 $\alpha$。斜截面面积为 $\mathrm{d}A$，则其在 $x$、$y$ 坐标面上的投影面积分别为：

$$ \mathrm{d}A_x=\mathrm{d}A\cos\alpha $$

$$ \mathrm{d}A_y=\mathrm{d}A\sin\alpha $$

斜截面上的正应力为 $\sigma_\alpha$，切应力为 $\tau_\alpha$。对微元列平衡方程。沿 $x$ 方向平衡：

$$ \sum X=0 $$

$$ \sigma_\alpha \mathrm{d}A\cos\alpha + \tau_\alpha \mathrm{d}A\sin\alpha - \sigma_x \mathrm{d}A\cos\alpha + \tau_{yx}\mathrm{d}A\sin\alpha =0 $$

约去 $\mathrm{d}A$：

$$ \sigma_\alpha \cos\alpha+\tau_\alpha\sin\alpha = \sigma_x\cos\alpha-\tau_{yx}\sin\alpha $$

沿 $y$ 方向平衡：

$$ \sum Y=0 $$

$$ \sigma_\alpha \mathrm{d}A\sin\alpha - \tau_\alpha \mathrm{d}A\cos\alpha - \sigma_y \mathrm{d}A\sin\alpha + \tau_{xy}\mathrm{d}A\cos\alpha =0 $$

约去 $\mathrm{d}A$：

$$ \sigma_\alpha\sin\alpha-\tau_\alpha\cos\alpha = \sigma_y\sin\alpha-\tau_{xy}\cos\alpha $$

由于 $\tau_{xy}=\tau_{yx}$，记为 $\tau_{xy}$。

2、平面应力转换公式推导

由平衡方程：

$$ \sigma_\alpha \cos\alpha+\tau_\alpha\sin\alpha = \sigma_x\cos\alpha-\tau_{xy}\sin\alpha $$

$$ \sigma_\alpha\sin\alpha-\tau_\alpha\cos\alpha = \sigma_y\sin\alpha-\tau_{xy}\cos\alpha $$

将第一式乘 $\cos\alpha$，第二式乘 $\sin\alpha$，相加得：

$$ \sigma_\alpha(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha) + \tau_\alpha\sin\alpha\cos\alpha - \tau_\alpha\sin\alpha\cos\alpha = \sigma_x\cos^2\alpha+\sigma_y\sin^2\alpha - 2\tau_{xy}\sin\alpha\cos\alpha $$

所以：

$$ \sigma_\alpha = \sigma_x\cos^2\alpha+\sigma_y\sin^2\alpha - 2\tau_{xy}\sin\alpha\cos\alpha $$

利用恒等式：

$$ \cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2} $$

$$ \sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2} $$

$$ 2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha $$

得到：

$$ \sigma_\alpha = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha - \tau_{xy}\sin2\alpha $$

再将第一式乘 $\sin\alpha$，第二式乘 $-\cos\alpha$，相加得：

$$ \tau_\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) = (\sigma_x-\sigma_y)\sin\alpha\cos\alpha + \tau_{xy}(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha) $$

因此：

$$ \tau_\alpha = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha + \tau_{xy}\cos2\alpha $$

最终平面应力转换公式为：

$$ \sigma_\alpha = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha - \tau_{xy}\sin2\alpha $$

$$ \tau_\alpha = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha + \tau_{xy}\cos2\alpha $$

3、主应力与主平面

主平面上切应力为零，也可由正应力取极值得到。

对 $\sigma_\alpha$ 求导：

$$ \frac{\mathrm{d}\sigma_\alpha}{\mathrm{d}\alpha} = -(\sigma_x-\sigma_y)\sin2\alpha - 2\tau_{xy}\cos2\alpha $$

令其为零：

$$ -(\sigma_x-\sigma_y)\sin2\alpha_0 - 2\tau_{xy}\cos2\alpha_0=0 $$

整理得：

$$ (\sigma_x-\sigma_y)\sin2\alpha_0 + 2\tau_{xy}\cos2\alpha_0=0 $$

若 $\cos2\alpha_0\ne 0$，则：

$$ \tan2\alpha_0 = -\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} $$

即主平面方向满足：

$$ \tan2\alpha_0 = -\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} $$

两个主平面互相垂直：

$$ \alpha_0,\qquad \alpha_0+90^\circ $$

4、主应力公式推导

令：

$$ A=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} $$

$$ B=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} $$

则：

$$ \sigma_\alpha=A+B\cos2\alpha-\tau_{xy}\sin2\alpha $$

该表达式中后两项的最大幅值为：

$$ R=\sqrt{B^2+\tau_{xy}^2} $$

因此：

$$ \sigma_{\max}=A+R $$

$$ \sigma_{\min}=A-R $$

即：

$$ \sigma_{\max,\min} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 } $$

平面应力中第三主应力为零，因此主应力排序需结合 $\sigma_{\max}$、$\sigma_{\min}$ 与 $0$：

1. 若 $\sigma_{\max}>0,\ \sigma_{\min}>0$：

$$ \sigma_1=\sigma_{\max},\qquad \sigma_2=\sigma_{\min},\qquad \sigma_3=0 $$

2. 若 $\sigma_{\max}>0,\ \sigma_{\min}<0$：

$$ \sigma_1=\sigma_{\max},\qquad \sigma_2=0,\qquad \sigma_3=\sigma_{\min} $$

3. 若 $\sigma_{\max}<0,\ \sigma_{\min}<0$：

$$ \sigma_1=0,\qquad \sigma_2=\sigma_{\max},\qquad \sigma_3=\sigma_{\min} $$

主应力之和不变：

$$ \sigma_{\max}+\sigma_{\min}=\sigma_x+\sigma_y $$

5、最大切应力

对 $\tau_\alpha$ 求导：

$$ \frac{\mathrm{d}\tau_\alpha}{\mathrm{d}\alpha} = (\sigma_x-\sigma_y)\cos2\alpha - 2\tau_{xy}\sin2\alpha $$

令：

$$ \frac{\mathrm{d}\tau_\alpha}{\mathrm{d}\alpha}=0 $$

得到：

$$ (\sigma_x-\sigma_y)\cos2\alpha_1 - 2\tau_{xy}\sin2\alpha_1=0 $$

所以：

$$ \tan2\alpha_1 = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2\tau_{xy}} $$

即：

$$ \tan2\alpha_1 = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2\tau_{xy}} $$

比较主平面方向：

$$ \tan2\alpha_0=-\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} $$

可知：

$$ 2\alpha_1=2\alpha_0+90^\circ $$

因此：

$$ \alpha_1=\alpha_0+45^\circ $$

平面内最大切应力为：

$$ \tau'_{\max} = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 } $$

由于：

$$ \sigma_{\max}-\sigma_{\min}=2R $$

所以：

$$ \tau'_{\max} = \frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2} $$

在最大切应力平面上，正应力为：

$$ \sigma_{\alpha_1} = \frac{\sigma_{\max}+\sigma_{\min}}{2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} $$

6、空间最大切应力

若三个主应力为：

$$ \sigma_1\ge \sigma_2\ge \sigma_3 $$

则三个主应力平面对应的最大切应力为：

$$ \tau'_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2} $$

$$ \tau''_{\max}=\frac{\sigma_2-\sigma_3}{2} $$

$$ \tau'''_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} $$

空间最大切应力为：

$$ \tau_{\max} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} $$

7、典型应力状态

对于纯剪切状态：

$$ \sigma_x=0,\qquad \sigma_y=0,\qquad \tau_{xy}=\tau $$

主应力：

$$ \sigma_{\max,\min} = 0\pm \sqrt{\tau^2} = \pm \tau $$

所以：

$$ \sigma_1=\tau,\qquad \sigma_2=0,\qquad \sigma_3=-\tau $$

最大切应力：

$$ \tau_{\max} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} = \frac{\tau-(-\tau)}{2} = \tau $$

对于单向拉伸：

$$ \sigma_1=\sigma,\qquad \sigma_2=0,\qquad \sigma_3=0 $$

最大切应力：

$$ \tau_{\max} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} = \frac{\sigma}{2} $$

四、莫尔圆

1、莫尔圆方程

平面应力转换公式：

$$ \sigma_\alpha = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha - \tau_{xy}\sin2\alpha $$

$$ \tau_\alpha = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha + \tau_{xy}\cos2\alpha $$

令：

$$ C=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} $$

则：

$$ \sigma_\alpha-C = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha - \tau_{xy}\sin2\alpha $$

$$ \tau_\alpha = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha + \tau_{xy}\cos2\alpha $$

平方相加：

$$ (\sigma_\alpha-C)^2+\tau_\alpha^2 = \left[ \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha - \tau_{xy}\sin2\alpha \right]^2 + \left[ \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha + \tau_{xy}\cos2\alpha \right]^2 $$

展开后交叉项抵消：

$$ (\sigma_\alpha-C)^2+\tau_\alpha^2 = \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 (\cos^2 2\alpha+\sin^2 2\alpha) + \tau_{xy}^2(\sin^2 2\alpha+\cos^2 2\alpha) $$

所以：

$$ \left( \sigma_\alpha-\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_\alpha^2 = \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 $$

这是一圆方程。

圆心：

$$ C\left(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},0\right) $$

半径：

$$ R= \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 } $$

2、莫尔圆构造

在 $\sigma-\tau$ 平面上取两点：

$$ D(\sigma_x,\tau_{xy}) $$

$$ D'(\sigma_y,\tau_{yx}) $$

由符号规定，有：

$$ \tau_{yx}=-\tau_{xy} $$

则 $DD'$ 为圆的一条直径，圆心为：

$$ C= \left( \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},0 \right) $$

半径：

$$ CD= \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 } $$

3、莫尔圆中的几何意义

1. 圆上任意点 $E(\sigma_\alpha,\tau_\alpha)$ 表示某一斜截面上的应力。
2. 物理平面转角为 $\alpha$，莫尔圆上半径转角为 $2\alpha$。
3. 主应力对应莫尔圆与 $\sigma$ 轴的交点：

$$ \sigma_1=C+R $$

$$ \sigma_2=C-R $$

4. 平面内最大切应力对应圆的最高点与最低点：

$$ \tau'_{\max}=R $$

5. 最大切应力平面与主平面夹角为：

$$ 45^\circ $$

五、三向应力状态

1、任意斜截面上的应力

设斜截面单位法向量为：

$$ \boldsymbol{n} = (l,m,n) $$

其中：

$$ l=\cos\alpha,\qquad m=\cos\beta,\qquad n=\cos\gamma $$

并满足：

$$ l^2+m^2+n^2=1 $$

应力张量：

$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} $$

斜截面上的应力矢量为：

$$ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} $$

即分量形式：

$$ S_x=\sigma_x l+\tau_{yx}m+\tau_{zx}n $$

$$ S_y=\tau_{xy}l+\sigma_y m+\tau_{zy}n $$

$$ S_z=\tau_{xz}l+\tau_{yz}m+\sigma_z n $$

斜截面法向正应力为应力矢量在法向上的投影：

$$ \sigma_n=\boldsymbol{S}\cdot \boldsymbol{n} $$

因此：

$$ \sigma_n=S_xl+S_ym+S_zn $$

代入：

$$ \sigma_n = \sigma_x l^2+\sigma_y m^2+\sigma_z n^2 + 2\tau_{xy}lm+2\tau_{yz}mn+2\tau_{zx}nl $$

应力矢量大小：

$$ S^2=S_x^2+S_y^2+S_z^2 $$

切应力大小满足：

$$ S^2=\sigma_n^2+\tau_n^2 $$

所以：

$$ \tau_n= \sqrt{S_x^2+S_y^2+S_z^2-\sigma_n^2} $$

2、主应力与主平面

主平面上切应力为零，因此应力矢量与法向量平行：

$$ \boldsymbol{S}=\sigma_p\boldsymbol{n} $$

即：

$$ S_x=\sigma_p l,\qquad S_y=\sigma_p m,\qquad S_z=\sigma_p n $$

代入应力矢量分量：

$$ \sigma_x l+\tau_{yx}m+\tau_{zx}n=\sigma_p l $$

$$ \tau_{xy}l+\sigma_y m+\tau_{zy}n=\sigma_p m $$

$$ \tau_{xz}l+\tau_{yz}m+\sigma_z n=\sigma_p n $$

整理：

$$ (\sigma_x-\sigma_p)l+\tau_{yx}m+\tau_{zx}n=0 $$

$$ \tau_{xy}l+(\sigma_y-\sigma_p)m+\tau_{zy}n=0 $$

$$ \tau_{xz}l+\tau_{yz}m+(\sigma_z-\sigma_p)n=0 $$

要有非零解 $(l,m,n)$，系数行列式必须为零：

$$ \begin{vmatrix} \sigma_x-\sigma_p & \tau_{yx} & \tau_{zx}\\ \tau_{xy} & \sigma_y-\sigma_p & \tau_{zy}\\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z-\sigma_p \end{vmatrix} =0 $$

解得三个根，即三个主应力：

$$ \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 $$

对应的方向余弦分别为：

$$ (l_1,m_1,n_1),\qquad (l_2,m_2,n_2),\qquad (l_3,m_3,n_3) $$

3、主应力坐标系中的斜截面应力

在主轴坐标系中，应力张量为对角矩阵：

$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & 0\\ 0 & \sigma_2 & 0\\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{bmatrix} $$

任意斜截面法向量：

$$ \boldsymbol{n}=(l,m,n) $$

则：

$$ S_1=\sigma_1 l,\qquad S_2=\sigma_2 m,\qquad S_3=\sigma_3 n $$

正应力：

$$ \sigma_n=\sigma_1l^2+\sigma_2m^2+\sigma_3n^2 $$

应力矢量平方：

$$ S^2=\sigma_1^2l^2+\sigma_2^2m^2+\sigma_3^2n^2 $$

切应力：

$$ \tau_n^2 = \sigma_1^2l^2+\sigma_2^2m^2+\sigma_3^2n^2-\sigma_n^2 $$

约束：

$$ l^2+m^2+n^2=1 $$

4、三向应力莫尔圆

三向应力状态可用三个莫尔圆表示：

1. $\sigma_1$ 与 $\sigma_2$ 圆；
2. $\sigma_2$ 与 $\sigma_3$ 圆；
3. $\sigma_1$ 与 $\sigma_3$ 圆。

三个圆的半径分别为：

$$ R_{12}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2} $$

$$ R_{23}=\frac{\sigma_2-\sigma_3}{2} $$

$$ R_{13}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} $$

空间最大切应力为最大圆半径：

$$ \tau_{\max}=R_{13}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} $$

六、位移与应变

平面问题中，位移场为：

$$ \boldsymbol{u}=u(x,y)\boldsymbol{i}+v(x,y)\boldsymbol{j} $$

小变形条件下，正应变为：

$$ \varepsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x} $$

$$ \varepsilon_y=\frac{\partial v}{\partial y} $$

工程剪应变为：

$$ \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} $$

七、平面应变状态分析

1.、平面应变转换公式

类比平面应力转换公式，有：

$$ \varepsilon_\alpha = \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} + \frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\cos2\alpha - \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\alpha $$

$$ \frac{\gamma_\alpha}{2} = \frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\sin2\alpha + \frac{\gamma_{xy}}{2}\cos2\alpha $$

2、主应变

主应变方向满足剪应变为零：

$$ \gamma_\alpha=0 $$

即：

$$ \frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\sin2\alpha_0 + \frac{\gamma_{xy}}{2}\cos2\alpha_0=0 $$

因此：

$$ \tan2\alpha_0 = -\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y} $$

主应变为：

$$ \varepsilon_{\max,\min} = \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{ (\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2 } $$

3、应变圆

应变圆坐标采用：

$$ \varepsilon_\alpha \quad \text{与}\quad \frac{\gamma_\alpha}{2} $$

圆心：

$$ C\left( \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2},0 \right) $$

半径：

$$ R_\varepsilon = \frac{1}{2} \sqrt{ (\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2 } $$

应变圆方程：

$$ \left( \varepsilon_\alpha-\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\gamma_\alpha}{2} \right)^2 = \left( \frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\gamma_{xy}}{2} \right)^2 $$

4、应变片测量

若在同一点沿三个方向 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 测得应变：

$$ \varepsilon_{\alpha_1},\qquad \varepsilon_{\alpha_2},\qquad \varepsilon_{\alpha_3} $$

则每个方向满足：

$$ \varepsilon_{\alpha_i} = \varepsilon_x\cos^2\alpha_i + \varepsilon_y\sin^2\alpha_i - \gamma_{xy}\sin\alpha_i\cos\alpha_i $$

由三式可解出：

$$ \varepsilon_x,\qquad \varepsilon_y,\qquad \gamma_{xy} $$

进而求主应变。

八、广义胡克定律

1单轴拉压与纯剪切

单轴拉压：

$$ \sigma=E\varepsilon $$

$$ \varepsilon=\frac{\sigma}{E} $$

横向应变：

$$ \varepsilon'=-\mu\varepsilon=-\mu\frac{\sigma}{E} $$

纯剪切：

$$ \tau=G\gamma $$

$$ \gamma=\frac{\tau}{G} $$

2、三向应力状态下的广义胡克定律

对各正应力的变形贡献叠加。

$x$ 方向应变：

• $\sigma_x$ 引起：

$$ \frac{\sigma_x}{E} $$

• $\sigma_y$ 引起泊松收缩：

$$ -\mu\frac{\sigma_y}{E} $$

• $\sigma_z$ 引起泊松收缩：

$$ -\mu\frac{\sigma_z}{E} $$

所以：

$$ \varepsilon_x= \frac{\sigma_x}{E} - \mu\frac{\sigma_y}{E} - \mu\frac{\sigma_z}{E} $$

即：

$$ \varepsilon_x= \frac{1}{E} \left[ \sigma_x-\mu(\sigma_y+\sigma_z) \right] $$

同理：

$$ \varepsilon_y= \frac{1}{E} \left[ \sigma_y-\mu(\sigma_x+\sigma_z) \right] $$

$$ \varepsilon_z= \frac{1}{E} \left[ \sigma_z-\mu(\sigma_x+\sigma_y) \right] $$

剪应变：

$$ \gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G} $$

$$ \gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G} $$

$$ \gamma_{zx}=\frac{\tau_{zx}}{G} $$

3、主应力形式

若采用主应力坐标，则：

$$ \varepsilon_1= \frac{1}{E} \left[ \sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3) \right] $$

$$ \varepsilon_2= \frac{1}{E} \left[ \sigma_2-\mu(\sigma_1+\sigma_3) \right] $$

$$ \varepsilon_3= \frac{1}{E} \left[ \sigma_3-\mu(\sigma_1+\sigma_2) \right] $$

4、体积应变

变形前微元体体积：

$$ V_0=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z $$

变形后边长：

$$ \mathrm{d}x(1+\varepsilon_1),\qquad \mathrm{d}y(1+\varepsilon_2),\qquad \mathrm{d}z(1+\varepsilon_3) $$

变形后体积：

$$ V= (1+\varepsilon_1)(1+\varepsilon_2)(1+\varepsilon_3) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z $$

忽略二阶小量：

$$ V\approx (1+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3) V_0 $$

体积应变：

$$ \theta = \frac{V-V_0}{V_0} $$

所以：

$$ \theta=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3 $$

代入广义胡克定律：

$$ \theta = \frac{1}{E} [ \sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3) + \sigma_2-\mu(\sigma_1+\sigma_3) + \sigma_3-\mu(\sigma_1+\sigma_2) ] $$

整理：

$$ \theta = \frac{1-2\mu}{E} (\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3) $$

定义平均应力：

$$ \sigma_m= \frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3} $$

平均应变：

$$ \varepsilon_m= \frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3}{3} $$

则：

$$ \theta=3\varepsilon_m $$

又：

$$ \theta= \frac{3(1-2\mu)}{E}\sigma_m $$

定义体积模量 $K$：

$$ \theta=\frac{\sigma_m}{K} $$

因此：

$$ K=\frac{E}{3(1-2\mu)} $$

若材料不可压缩，则：

$$ \theta=0 $$

因此：

$$ 1-2\mu=0 $$

即：

$$ \mu=0.5 $$

九、复杂应力状态下的应变能

1、总应变能密度

单轴拉压单位体积应变能：

$$ u=\frac{1}{2}\sigma\varepsilon $$

三向主应力状态中：

$$ u= \frac{1}{2} (\sigma_1\varepsilon_1+\sigma_2\varepsilon_2+\sigma_3\varepsilon_3) $$

代入广义胡克定律：

$$ \varepsilon_1= \frac{1}{E} [ \sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3) ] $$

$$ \varepsilon_2= \frac{1}{E} [ \sigma_2-\mu(\sigma_1+\sigma_3) ] $$

$$ \varepsilon_3= \frac{1}{E} [ \sigma_3-\mu(\sigma_1+\sigma_2) ] $$

于是：

$$ u= \frac{1}{2E} \{ \sigma_1[ \sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3) ] + \sigma_2[ \sigma_2-\mu(\sigma_1+\sigma_3) ] + \sigma_3[ \sigma_3-\mu(\sigma_1+\sigma_2) ] \} $$

展开：

$$ u= \frac{1}{2E} [ \sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2 - \mu(\sigma_1\sigma_2+\sigma_1\sigma_3+\sigma_2\sigma_1+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1+\sigma_3\sigma_2) ] $$

合并：

$$ u= \frac{1}{2E} [ \sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2 - 2\mu(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1) ] $$

2、体积改变能密度

将一般应力状态分解为：

1. 静水应力状态；
2. 偏应力状态。

平均应力：

$$ \sigma_m= \frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3} $$

静水应力：

$$ \sigma_1'=\sigma_2'=\sigma_3'=\sigma_m $$

静水状态的总应变能即体积改变能：

$$ u_V= \frac{1}{2E} [ 3\sigma_m^2 - 2\mu(3\sigma_m^2) ] $$

所以：

$$ u_V= \frac{3(1-2\mu)}{2E}\sigma_m^2 $$

代入 $\sigma_m$：

$$ u_V= \frac{3(1-2\mu)}{2E} \left( \frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3} \right)^2 $$

整理：

$$ u_V= \frac{1-2\mu}{6E} (\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)^2 $$

3、畸变能密度

畸变能密度定义为：

$$ u_d=u-u_V $$

即：

$$ u_d= \frac{1}{2E} [ \sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2 - 2\mu(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1) ] - \frac{1-2\mu}{6E} (\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)^2 $$

展开第二项：

$$ (\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)^2 = \sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2 + 2(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1) $$

记：

$$ A=\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2 $$

$$ B=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1 $$

则：

$$ u_d= \frac{1}{2E}(A-2\mu B) - \frac{1-2\mu}{6E}(A+2B) $$

通分：

$$ u_d= \frac{1}{6E} [ 3A-6\mu B-(1-2\mu)A-2(1-2\mu)B ] $$

整理：

$$ u_d= \frac{1}{6E} [ (2+2\mu)A+(-6\mu-2+4\mu)B ] $$

$$ u_d= \frac{1}{6E} [ 2(1+\mu)A-2(1+\mu)B ] $$

$$ u_d= \frac{1+\mu}{3E}(A-B) $$

又有恒等式：

$$ (\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2 = 2(A-B) $$

因此：

$$ A-B= \frac{1}{2} [ (\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2 ] $$

所以畸变能密度为：

$$ u_d= \frac{1+\mu}{6E} [ (\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2 ] $$

四、证明 $G=\dfrac{E}{2(1+\mu)}$

纯剪切状态：

$$ \sigma_1=\tau,\qquad \sigma_2=0,\qquad \sigma_3=-\tau $$

由纯剪切直接计算单位体积应变能：

$$ u=\frac{1}{2}\tau\gamma $$

且：

$$ \gamma=\frac{\tau}{G} $$

所以：

$$ u=\frac{\tau^2}{2G} $$

另一方面，由三向应力总应变能公式：

$$ u= \frac{1}{2E} [ \sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2 - 2\mu(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1) ] $$

代入：

$$ \sigma_1=\tau,\qquad \sigma_2=0,\qquad \sigma_3=-\tau $$

有：

$$ \sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2 = \tau^2+0+\tau^2 = 2\tau^2 $$

$$ \sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1 = 0+0-\tau^2 = -\tau^2 $$

因此：

$$ u= \frac{1}{2E} [ 2\tau^2-2\mu(-\tau^2) ] $$

$$ u= \frac{1}{2E} [ 2(1+\mu)\tau^2 ] $$

$$ u= \frac{1+\mu}{E}\tau^2 $$

令两种表达相等：

$$ \frac{\tau^2}{2G} = \frac{1+\mu}{E}\tau^2 $$

约去 $\tau^2$：

$$ \frac{1}{2G}=\frac{1+\mu}{E} $$

得到：

$$ G=\frac{E}{2(1+\mu)} $$

十、强度理论引论

1、两种典型失效形式

1. 塑性屈服常见于延性材料，如低碳钢、合金钢、铜等。主要与剪切变形有关。
2. 脆性断裂常见于脆性材料，如铸铁、石材、玻璃、混凝土等。失效前几乎没有明显塑性变形，主要与拉断有关。

2、强度理论的基本思想

复杂应力状态下，直接实验确定失效条件困难，因此假设材料失效由某一主要因素控制，例如：

1. 最大拉应力；
2. 最大拉应变；
3. 最大切应力；
4. 畸变能密度。

强度理论必须由实验验证后才能用于工程设计。

十一、四个常用强度理论

设材料在单向拉伸下屈服应力为 $\sigma_s$，抗拉强度为 $\sigma_b$，安全系数为 $n$，许用应力为：

$$ [\sigma]=\frac{\sigma_s}{n} $$

或对脆性断裂：

$$ [\sigma]=\frac{\sigma_b}{n} $$

复杂应力状态强度条件通常写为：

$$ \sigma_r\le [\sigma] $$

其中 $\sigma_r$ 为等效应力。

1、第一强度理论：最大拉应力理论

适用于部分脆性材料的拉断问题。

假设：材料破坏取决于最大拉应力。

破坏条件：

$$ \sigma_1=\sigma_b $$

强度条件：

$$ \sigma_1\le [\sigma] $$

等效应力：

$$ \sigma_{r1}=\sigma_1 $$

2、第二强度理论：最大拉应变理论

假设：材料破坏取决于最大拉应变。

最大主应变：

$$ \varepsilon_1= \frac{1}{E} [ \sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3) ] $$

单向拉伸破坏时：

$$ \varepsilon_b=\frac{\sigma_b}{E} $$

破坏条件：

$$ \frac{1}{E} [ \sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3) ] = \frac{\sigma_b}{E} $$

因此：

$$ \sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3)=\sigma_b $$

强度条件：

$$ \sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3)\le [\sigma] $$

等效应力：

$$ \sigma_{r2}= \sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3) $$

3、第三强度理论：最大切应力理论

适用于延性材料屈服。

假设：材料屈服取决于最大切应力。

复杂应力状态中：

$$ \tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} $$

单向拉伸屈服时：

$$ \sigma_1=\sigma_s,\qquad \sigma_2=0,\qquad \sigma_3=0 $$

其最大切应力为：

$$ \tau_s=\frac{\sigma_s}{2} $$

破坏条件：

$$ \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=\frac{\sigma_s}{2} $$

因此：

$$ \sigma_1-\sigma_3=\sigma_s $$

强度条件：

$$ \sigma_1-\sigma_3\le [\sigma] $$

等效应力：

$$ \sigma_{r3}=\sigma_1-\sigma_3 $$

4、第四强度理论：畸变能理论

适用于延性材料屈服，且考虑三个主应力影响。

假设：材料屈服取决于畸变能密度。

复杂应力状态畸变能密度：

$$ u_d= \frac{1+\mu}{6E} [ (\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2 ] $$

单向拉伸屈服时：

$$ \sigma_1=\sigma_s,\qquad \sigma_2=0,\qquad \sigma_3=0 $$

则：

$$ u_d^\circ= \frac{1+\mu}{6E} [ (\sigma_s-0)^2+(0-0)^2+(0-\sigma_s)^2 ] $$

$$ u_d^\circ= \frac{1+\mu}{6E} [ 2\sigma_s^2 ] $$

$$ u_d^\circ= \frac{1+\mu}{3E}\sigma_s^2 $$

由屈服条件：

$$ u_d=u_d^\circ $$

即：

$$ \frac{1+\mu}{6E} [ (\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2 ] = \frac{1+\mu}{3E}\sigma_s^2 $$

约去公共因子：

$$ [ (\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2 ] = 2\sigma_s^2 $$

因此：

$$ \sqrt{ \frac{1}{2} [ (\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2 ] } = \sigma_s $$

强度条件：

$$ \sqrt{ \frac{1}{2} [ (\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2 ] } \le [\sigma] $$

等效应力：

$$ \sigma_{r4} = \sqrt{ \frac{1}{2} [ (\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2 ] } $$

5、四个强度理论汇总

6、纯剪切下由 $[\sigma]$ 求 $[\tau]$

纯剪切主应力：

$$ \sigma_1=\tau,\qquad \sigma_2=0,\qquad \sigma_3=-\tau $$

对于第一强度理论：

$$ \sigma_1=\tau\le[\sigma] $$

所以：

$$ [\tau]_1=[\sigma] $$

对于第二强度理论：

$$ \sigma_{r2}= \sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3) $$

代入：

$$ \sigma_{r2} = \tau-\mu(0-\tau) = (1+\mu)\tau $$

强度条件：

$$ (1+\mu)\tau\le[\sigma] $$

所以：

$$ [\tau]_2=\frac{[\sigma]}{1+\mu} $$

对金属材料 $\mu\approx0.23\sim0.42$，有：

$$ [\tau]_2\approx(0.7\sim0.8)[\sigma] $$

对于第三强度理论：

$$ \sigma_{r3}=\sigma_1-\sigma_3 $$

代入：

$$ \sigma_{r3}=\tau-(-\tau)=2\tau $$

强度条件：

$$ 2\tau\le[\sigma] $$

所以：

$$ [\tau]_3=\frac{1}{2}[\sigma] $$

对于第四强度理论：

$$ \sigma_{r4} = \sqrt{ \frac{1}{2} [ (\tau-0)^2+(0+\tau)^2+(-\tau-\tau)^2 ] } $$

$$ \sigma_{r4} = \sqrt{ \frac{1}{2} [ \tau^2+\tau^2+4\tau^2 ] } $$

$$ \sigma_{r4} = \sqrt{3\tau^2} = \sqrt{3}\tau $$

强度条件：

$$ \sqrt{3}\tau\le[\sigma] $$

所以：

$$ [\tau]_4=\frac{[\sigma]}{\sqrt{3}}\approx0.577[\sigma] $$

工程上常取：

• 延性材料：

$$ [\tau]\approx(0.5\sim0.6)[\sigma] $$

• 脆性材料：

$$ [\tau]\approx(0.8\sim1.0)[\sigma] $$

公式表

平面应力转换

$$ \sigma_\alpha = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha - \tau_{xy}\sin2\alpha $$

$$ \tau_\alpha = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha + \tau_{xy}\cos2\alpha $$

主应力

$$ \sigma_{\max,\min} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 } $$

主平面方向

$$ \tan2\alpha_0 = -\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} $$

平面内最大切应力

$$ \tau'_{\max} = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 } = \frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2} $$

空间最大切应力

$$ \tau_{\max} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} $$

广义胡克定律

$$ \varepsilon_x= \frac{1}{E} [ \sigma_x-\mu(\sigma_y+\sigma_z) ] $$

$$ \varepsilon_y= \frac{1}{E} [ \sigma_y-\mu(\sigma_x+\sigma_z) ] $$

$$ \varepsilon_z= \frac{1}{E} [ \sigma_z-\mu(\sigma_x+\sigma_y) ] $$

$$ \gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G} $$

弹性常数关系

$$ G=\frac{E}{2(1+\mu)} $$

$$ K=\frac{E}{3(1-2\mu)} $$

总应变能密度

$$ u= \frac{1}{2E} [ \sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2 - 2\mu(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1) ] $$

畸变能密度

$$ u_d= \frac{1+\mu}{6E} [ (\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2 ] $$

四个等效应

$$ \sigma_{r1}=\sigma_1 $$

$$ \sigma_{r2}= \sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3) $$

$$ \sigma_{r3}= \sigma_1-\sigma_3 $$

$$ \sigma_{r4} = \sqrt{ \frac{1}{2} [ (\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2 ] } $$