一、质量守恒与连续性方程

1、物理基础与表达形式

对于由确定流体质点组成的流体系统，其总质量在运动过程中保持不变。质量守恒定律的数学表达式称为连续性方程。

连续性方程只涉及密度、速度及其时空变化，不涉及作用力，也不依赖流体的黏性性质，因此适用于黏性流体与理想流体，也适用于可压缩流体与不可压缩流体。

按研究对象的尺度，可采用两种表达形式：

积分形式与微分形式描述同一个质量守恒规律；在满足光滑性条件时，可通过高斯公式相互联系。下文采用欧拉变量，即物理量均表示为空间位置与时间的函数；随体导数用于描述同一流体质点或同一流体系统的变化。

2、流体系统与固定控制体

记时间为 $t$，密度为 $\rho(\boldsymbol{r},t)$，速度为 $\boldsymbol{V}(\boldsymbol{r},t)$。在直角坐标系中，写成

$$ \boldsymbol{V}=u\boldsymbol{i}+v\boldsymbol{j}+w\boldsymbol{k} $$

其中 $\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$ 为坐标轴方向的单位矢量，$u,v,w$ 为速度分量。

记 $\tau(t)$ 为同一流体系统在 $t$ 时刻占据的体积，其边界随流体运动。微元体积 $\mathrm{d}\tau$ 内的质量为

$$ \mathrm{d}m=\rho\,\mathrm{d}\tau $$

因此，系统总质量及其守恒关系为

$$ m(t)=\int_{\tau(t)}\rho\,\mathrm{d}\tau $$

$$ \frac{\mathrm{D}m}{\mathrm{D}t} =\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\tau(t)}\rho\,\mathrm{d}\tau =0 $$

二、积分形式的连续性方程

1、一般表达式

对单位体积所含物理量 $\phi(\boldsymbol{r},t)$，体积分的随体导数公式为：

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\tau(t)}\phi\,\mathrm{d}\tau =\frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\phi\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A $$

右端的 $\tau$ 是在所考察时刻与系统重合的固定控制体。第一项表示控制体内物理量的局部积累率，第二项表示通过控制面的净流出率。

令 $\phi=\rho$，并利用系统质量守恒，得到

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\tau(t)}\rho\,\mathrm{d}\tau =\frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\rho(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A=0 $$

因此，固定控制体的积分形式连续性方程为

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\rho(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A=0 $$

也可写为

$$ \oiint_A\rho(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A =-\frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\,\mathrm{d}\tau $$

由于 $\boldsymbol{n}$ 统一取外法向，控制面上的质量通量密度为 $\rho\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}$，当 $\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}>0$ 时，流体流出控制体；当 $\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}<0$ 时，流体流入控制体；当 $\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}=0$ 时，流体不穿过该处控制面。因此，积分方程表示：控制体内的质量积累率与通过控制面的质量净流出率之和为零。

2、常见简化形式

（1）定常流动

定常流动中，各固定空间点的物理量均不随时间变化，因此

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t}=0 $$

对固定控制体，其总质量的局部变化率也为零，连续性方程化为

$$ \oiint_A\rho(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A=0 $$

即通过封闭控制面的总流入质量流量等于总流出质量流量。

（2）一个入口、一个出口的管内流动

设控制体只有入口截面 $A_1$ 与出口截面 $A_2$ 允许流体穿过，管壁不可穿透。

若保持外法向约定，入口处 $\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}<0$，出口处 $\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}>0$。为将进、出口质量流量均记为正值，令 $\boldsymbol{n}_1$ 指向入口流入方向，$\boldsymbol{n}_2$ 指向出口流出方向，并定义

$$ Q_{m1}=\int_{A_1}\rho(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}_1)\,\mathrm{d}A $$

$$ Q_{m2}=\int_{A_2}\rho(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}_2)\,\mathrm{d}A $$

其中入口处的 $\boldsymbol{n}_1$ 与控制面的外法向相反，出口处的 $\boldsymbol{n}_2$ 与外法向相同。故

$$ \oiint_A\rho(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A =-Q_{m1}+Q_{m2} $$

代入积分形式，得到

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\,\mathrm{d}\tau=Q_{m1}-Q_{m2} $$

即质量积累率等于入口质量流量减去出口质量流量。

（3）定常流动且进出口截面物理量均匀

进一步设各截面上的密度与法向速度均匀，则

$$ \rho_1(\boldsymbol{V}_1\cdot \boldsymbol{n}_1)A_1=\rho_2(\boldsymbol{V}_2\cdot \boldsymbol{n}_2)A_2 $$

即：

$$ Qm_1=Qm_2 $$

分别记为 $\rho_1,\rho_2$ 与 $V_{n1},V_{n2}$，则

$$ \rho_1V_{n1}A_1=\rho_2V_{n2}A_2 $$

若速度垂直于截面，$V_{n1},V_{n2}$ 即相应截面上的速率。若密度还满足 $\rho_1=\rho_2$，则可进一步约去密度，得到

$$ V_{n1}A_1=V_{n2}A_2 $$

三、微分形式的连续性方程

1、微元控制体分析法

在流场连续可微的区域内，取固定的直角六面体微元，其一角位于 $(x,y,z)$，三条边长为 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z$，体积为

$$ \mathrm{d}\tau=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z $$

由于三条变长都很小，所以任务以 $A$ 为交点的三个面各面上的速度和密度都是均匀相等的，通过相对两面的通量之差，由质量通量密度的一阶泰勒展开计算。

沿 $x$ 方向，左面沿 $x$ 正方向输运的质量流量为

$$ (\rho u)(x,y,z,t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z $$

在右面，质量通量密度作一阶展开为

$$ (\rho u)(x+\mathrm{d}x,y,z,t) \approx\rho u+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\,\mathrm{d}x $$

右面通量减去左面通量，得到 $x$ 方向的质量净流出率

$$ \left[\rho u+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z -\rho u\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\,\mathrm{d}\tau $$

同理，$y,z$ 两方向的质量净流出率分别为

$$ \frac{\partial(\rho v)}{\partial y}\,\mathrm{d}\tau, \qquad \frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\,\mathrm{d}\tau $$

因而，微元通过六个面的总质量净流出率为

$$ \left[\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} +\frac{\partial(\rho v)}{\partial y} +\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\right]\mathrm{d}\tau $$

因为控制体的体积不变，所以固定微元内的质量积累率为

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t}\,\mathrm{d}\tau $$

根据“质量积累率 $+$ 质量净流出率 $=0$”，有

$$ \left[\frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} +\frac{\partial(\rho v)}{\partial y} +\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\right]\mathrm{d}\tau=0 $$

除以微元体积，并令微元尺度趋于零，得到

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} +\frac{\partial(\rho v)}{\partial y} +\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}=0 $$

这一方程适用于一般三维非定常可压缩流动；进一步施加定常或不可压缩条件，可得到相应简化式。

散度的直角坐标表达式为

$$ \nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V}) =\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} +\frac{\partial(\rho v)}{\partial y} +\frac{\partial(\rho w)}{\partial z} $$

因此，连续性方程的矢量形式为

$$ \boxed{\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})=0} $$

矢量形式不依赖具体坐标系；在不同坐标系中，散度具有不同的分量表达式。

若记 $(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$、$(u_1,u_2,u_3)=(u,v,w)$，并约定重复指标 $i$ 对 $1,2,3$ 求和，则笛卡儿指标形式为

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u_i)}{\partial x_i}=0 $$

利用乘积求导公式，逐项展开空间导数，得

$$ \begin{aligned} \nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V}) &=u\frac{\partial\rho}{\partial x} +v\frac{\partial\rho}{\partial y} +w\frac{\partial\rho}{\partial z} +\rho\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right)\\ &=\boldsymbol{V}\cdot\nabla\rho+\rho\nabla\cdot\boldsymbol{V} \end{aligned} $$

又因为密度沿同一流体质点的随体导数为

$$ \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol{V}\cdot\nabla\rho $$

代入连续性方程，即得到随体形式

$$ \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}+\rho\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0 $$

2、有限控制体分析法

另一种推导方法是从积分形式出发，使用高斯公式将面积分转化为体积分。在任意固定控制体 $\tau$ 内，设有关物理量满足积分求导交换及高斯公式所需的光滑性条件。由于积分区域固定，有

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\,\mathrm{d}\tau =\int_\tau\frac{\partial\rho}{\partial t}\,\mathrm{d}\tau $$

由高斯公式，得

$$ \oiint_A\rho\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A =\int_\tau\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})\,\mathrm{d}\tau $$

将两式代入积分形式连续性方程，得到

$$ \int_\tau\left[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})\right]\mathrm{d}\tau=0 $$

记括号内的连续函数为 $f$。假设结论不成立，即某点有 $f\ne0$。若该点 $f>0$，由连续性，可在其附近取一个充分小的控制体，使 $f$ 在其中始终为正，故该控制体上的积分为正，与上式矛盾；$f<0$ 的情形同理。在物理上，可以由控制点任意选取的性质，直接确定其被积函数恒为零。因此：

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})=0 $$

微元控制体分析法直接呈现各方向的质量收支；有限控制体分析法则通过高斯公式建立积分形式与微分形式的联系。

3、常见简化形式

(1) 可压缩流体的定常运动

定常条件为 $\partial\rho/\partial t=0$，故

$$ \nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})=0 $$

其展开式为

$$ \boldsymbol{V}\cdot\nabla\rho+\rho\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0 $$

即使流动定常，流体质点沿运动经过不同位置时仍可能经历密度变化，因此一般不能将其进一步简化为 $\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0$。

(2) 不可压缩流体的运动

不可压缩条件表示同一流体质点在运动过程中密度不变，即

$$ \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}=0 $$

将其代入随体形式连续性方程，得到

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{V}=\mathrm{div} \boldsymbol{V}=0 $$

在直角坐标系中，写为

$$ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 $$

该式对定常与非定常不可压缩运动均成立。不可压缩条件是随体密度不变。

例1
证明速度场

$$ u_i=\frac{Ax_i}{R^3},\qquad i=1,2,3 $$

满足不可压缩流体运动的连续性方程。其中 $A$ 为常数，$R^2=x^2+y^2+z^2$。本题中的 $A$ 为速度场参数，与前文控制面的符号按语境区分。

解
给定速度场在 $R=0$ 处无定义，因此验证范围为 $R>0$。将其写为直角坐标分量：

$$ u=\frac{Ax}{R^3},\qquad v=\frac{Ay}{R^3},\qquad w=\frac{Az}{R^3} $$

由 $R=(x^2+y^2+z^2)^{1/2}$，得

$$ \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{x}{R},\qquad \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{y}{R},\qquad \frac{\partial R}{\partial z}=\frac{z}{R} $$

利用乘积法则和链式法则，有

$$ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &=A\frac{\partial}{\partial x}(xR^{-3})\\ &=A\left[R^{-3}+x(-3R^{-4})\frac{x}{R}\right]\\ &=\frac{A}{R^3}-\frac{3Ax^2}{R^5} \end{aligned} $$

同理，

$$ \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{A}{R^3}-\frac{3Ay^2}{R^5},\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=\frac{A}{R^3}-\frac{3Az^2}{R^5} $$

将三个偏导数相加，得

$$ \begin{aligned} \nabla\cdot\boldsymbol{V} &=\frac{3A}{R^3}-\frac{3A(x^2+y^2+z^2)}{R^5}\\ &=\frac{3A}{R^3}-\frac{3AR^2}{R^5}\\ &=0 \end{aligned} $$

因此，该速度场在 $R>0$ 的区域内满足不可压缩流体运动的连续性方程。

例2
设可压缩流体在同心球面上运动，试写出流体运动的连续性方程。

解
采用球坐标 $(r,\theta,\varphi)$，其中 $r$ 为到球心的距离，$\theta$ 为极角，$\varphi$ 为方位角。沿各坐标方向的速度分量分别为 $v_r,v_\theta,v_\varphi$。

球坐标系中的一般连续性方程为

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\rho v_r) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\rho v_\theta\sin\theta) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\rho v_\varphi)}{\partial\varphi}=0 $$

流体沿同心球面运动，表示整个所考察流动中没有径向速度，即

$$ v_r\equiv0 $$

因而径向质量通量项为零：

$$ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\rho v_r)=0 $$

代入一般方程，得到

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\rho v_\theta\sin\theta) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\rho v_\varphi)}{\partial\varphi}=0 $$

四、体积分随体导数的另一种表达式

设 $\phi(\boldsymbol{r},t)$ 为单位质量所具有的某个标量物理量，则 $\rho\phi$ 为单位体积所具有的相应物理量，系统中该物理量的总量为

$$ I(t)=\int_{\tau(t)}\rho\phi\,\mathrm{d}\tau $$

注意，此处 $\phi$ 表示单位质量物理量；第二部分一般输运公式中的 $\phi$ 表示单位体积物理量。此处应将一般公式的被积函数替换为 $\rho\phi$。

由体积分的随体导数公式，得

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\tau(t)}\rho\phi\,\mathrm{d}\tau =\frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\phi\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\rho\phi\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A $$

在相应光滑性条件下，对固定控制体交换时间求导与积分，并对面积分应用高斯公式，得到

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\tau(t)}\rho\phi\,\mathrm{d}\tau =\int_\tau\left[\frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\phi\boldsymbol{V})\right]\mathrm{d}\tau $$

由散度的乘积法则，得

$$ \nabla\cdot(\rho\phi\boldsymbol{V}) =\boldsymbol{V}\cdot\nabla(\rho\phi)+\rho\phi\nabla\cdot\boldsymbol{V} $$

再利用随体导数定义，有

$$ \frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t} +\boldsymbol{V}\cdot\nabla(\rho\phi) =\frac{\mathrm{D}(\rho\phi)}{\mathrm{D}t} $$

因此，原式变为

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\tau(t)}\rho\phi\,\mathrm{d}\tau =\int_\tau\left[\frac{\mathrm{D}(\rho\phi)}{\mathrm{D}t} +\rho\phi\nabla\cdot\boldsymbol{V}\right]\mathrm{d}\tau $$

随体导数同样满足乘积法则，故

$$ \frac{\mathrm{D}(\rho\phi)}{\mathrm{D}t} =\rho\frac{\mathrm{D}\phi}{\mathrm{D}t} +\phi\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} $$

将被积函数整理为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\phi}{\mathrm{D}t} +\phi\left(\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} +\rho\nabla\cdot\boldsymbol{V}\right) $$

根据连续性方程，括号内为零，因而

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\tau(t)}\rho\phi\,\mathrm{d}\tau =\int_{\tau(t)}\rho\frac{\mathrm{D}\phi}{\mathrm{D}t}\,\mathrm{d}\tau $$

右端积分区域写成 $\tau(t)$，表示在所考察时刻与固定控制体重合的系统体积。

这一表达式即为雷诺第二输运方程。它说明在质量守恒条件下，系统内某物理量总量的变化率，等于各流体质点单位质量物理量的随体变化率按质量积分所得的结果。