一、积分形式的运动方程

1、动量定律与流体系统的动量

对于由确定流体质点组成的流体系统，其总动量的时间变化率等于作用在系统上的体积力与表面力之和。将这一动量定律写成流体运动的数学表达式，即得到运动方程，也称动量方程。

记密度为 $\rho$，速度为 $\boldsymbol{V}=u\boldsymbol{i}+v\boldsymbol{j}+w\boldsymbol{k}$，时间为 $t$。同一流体系统在 $t$ 时刻所占的体积为 $\tau(t)$，微元体积 $\mathrm{d}\tau$ 内的质量及动量分别为

$$ \mathrm{d}m=\rho\,\mathrm{d}\tau,\qquad \mathrm{d}\boldsymbol{k}=\boldsymbol{V}\,\mathrm{d}m=\rho\boldsymbol{V}\,\mathrm{d}\tau $$

因此，系统的总动量为

$$ \boldsymbol{k}(t)=\int_{\tau(t)}\rho\boldsymbol{V}\,\mathrm{d}\tau $$

记 $\boldsymbol{f}$ 为单位质量流体所受的体积力，$\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}$ 为外法向为 $\boldsymbol{n}$ 的面上的应力矢量。若系统与固定控制体 $\tau$ 在所考察时刻重合，控制面的封闭边界为 $A$，则此时的体积力与表面力分别为

$$ \boldsymbol{F}_{\mathrm{vol}}=\int_\tau\rho\boldsymbol{f}\,\mathrm{d}\tau,\qquad \boldsymbol{F}_{\mathrm{surf}}=\oiint_A\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}A $$

由动量定理，得

$$ \frac{\mathrm{D}\boldsymbol{k}}{\mathrm{D}t} =\boldsymbol{F}_{\mathrm{vol}}+\boldsymbol{F}_{\mathrm{surf}} $$

即

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\tau(t)}\rho\boldsymbol{V}\,\mathrm{d}\tau =\int_\tau\rho\boldsymbol{f}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}A $$

对系统动量应用体积分的随体导数公式，由

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\tau(t)}\rho\boldsymbol{V}\,\mathrm{d}\tau =\frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\boldsymbol{V}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\rho\boldsymbol{V}(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A $$

代入动量定律，得到积分形式的运动方程

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\boldsymbol{V}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\rho\boldsymbol{V}(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A =\int_\tau\rho\boldsymbol{f}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}A $$

左端第一项为固定控制体内的动量局部变化率，第二项为单位时间通过控制面的动量净流出量；右端为控制体所受的合外力。

在面积元 $\mathrm{d}A$ 上，$\rho(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\mathrm{d}A$ 是带符号的质量流量，乘以单位质量所具有的动量 $\boldsymbol{V}$，即得到该面元的动量通量。外法向约定使流入部分带负号，流出部分带正号。

该积分形式习惯上称为动量方程或动量定理，可用于分析控制体的总体受力与动量输运，不要求控制体内所有物理量处处连续。

实际应用常用于定常流动中，固定控制体内的动量不随时间变化，故

$$ \frac{\partial}{\partial t}\int_\tau\rho\boldsymbol{V}\,\mathrm{d}\tau=0 $$

运动方程化为

$$ \oiint_A\rho\boldsymbol{V}(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A =\int_\tau\rho\boldsymbol{f}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}A $$

即单位时间内净流出控制体的动量等于作用在控制体上的合外力。

二、微分形式的运动方程

1、微元控制体分析法

在连续可微的流场中，取边长为 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z$ 的直角六面体微元，其体积及质量为

$$ \mathrm{d}\tau=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z,\qquad \mathrm{d}m=\rho\,\mathrm{d}\tau $$

记应力分量为 $p_{ij}$，第一个下标表示受力面的法向，第二个下标表示力的分量方向。例如，$p_{yx}$ 表示法向沿 $y$ 的面上的 $x$ 向应力。相对两面上的应力差，采用一阶泰勒展开计算。

沿 $x$ 方向，法向分别为 $-\boldsymbol{i}$ 与 $\boldsymbol{i}$ 的两个面所受合力的 $x$ 分量为

$$ \begin{aligned} \mathrm{d}F_x^{(x)} &=\left[p_{xx}+\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z -p_{xx}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\ &=\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}\,\mathrm{d}\tau \end{aligned} $$

同理，另外两对面所受合力的 $x$ 分量分别为

$$ \mathrm{d}F_x^{(y)}=\frac{\partial p_{yx}}{\partial y}\,\mathrm{d}\tau,\qquad \mathrm{d}F_x^{(z)}=\frac{\partial p_{zx}}{\partial z}\,\mathrm{d}\tau $$

若 $\boldsymbol{f}=f_x\boldsymbol{i}+f_y\boldsymbol{j}+f_z\boldsymbol{k}$，则体积力的 $x$ 分量为 $\rho f_x\mathrm{d}\tau$。因此，微元所受合力的 $x$ 分量为

$$ \mathrm{d}F_x =\left(\rho f_x+\frac{\partial p_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial p_{yx}}{\partial y} +\frac{\partial p_{zx}}{\partial z}\right)\mathrm{d}\tau $$

流体质点的 $x$ 向加速度为 $\mathrm{D}u/\mathrm{D}t$。由牛顿第二定律，得

$$ \rho\,\mathrm{d}\tau\frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{D}t} =\left(\rho f_x+\frac{\partial p_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial p_{yx}}{\partial y} +\frac{\partial p_{zx}}{\partial z}\right)\mathrm{d}\tau $$

除以微元体积，并令微元尺度趋于零，得到

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{D}t} =\rho f_x+\frac{\partial p_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial p_{yx}}{\partial y} +\frac{\partial p_{zx}}{\partial z} $$

对 $y,z$ 方向作相同分析，得

$$ \begin{aligned} \rho\frac{\mathrm{D}v}{\mathrm{D}t} &=\rho f_y+\frac{\partial p_{xy}}{\partial x} +\frac{\partial p_{yy}}{\partial y} +\frac{\partial p_{zy}}{\partial z}\\ \rho\frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{D}t} &=\rho f_z+\frac{\partial p_{xz}}{\partial x} +\frac{\partial p_{yz}}{\partial y} +\frac{\partial p_{zz}}{\partial z} \end{aligned} $$

记 $(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$、$(u_1,u_2,u_3)=(u,v,w)$，并约定重复指标对 $1,2,3$ 求和，则运动方程的笛卡儿指标形式为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} =\rho f_i+\frac{\partial p_{ji}}{\partial x_j},\qquad i=1,2,3 $$

记应力张量为 $\boldsymbol{P}=(p_{ij})$，三个正坐标面上的应力矢量分别为

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{p}_x&=p_{xx}\boldsymbol{i}+p_{xy}\boldsymbol{j}+p_{xz}\boldsymbol{k}\\ \boldsymbol{p}_y&=p_{yx}\boldsymbol{i}+p_{yy}\boldsymbol{j}+p_{yz}\boldsymbol{k}\\ \boldsymbol{p}_z&=p_{zx}\boldsymbol{i}+p_{zy}\boldsymbol{j}+p_{zz}\boldsymbol{k} \end{aligned} $$

按上述下标约定，应力张量的散度为

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{P} =\frac{\partial\boldsymbol{p}_x}{\partial x} +\frac{\partial\boldsymbol{p}_y}{\partial y} +\frac{\partial\boldsymbol{p}_z}{\partial z} $$

因此，运动方程的矢量形式为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}+\nabla\cdot\boldsymbol{P} $$

各项均为单位体积流体对应的力，分别表示惯性、体积力和表面力的贡献。

2、有限控制体分析法

对系统动量应用雷诺第二输运方程，得

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\tau(t)}\rho\boldsymbol{V}\,\mathrm{d}\tau =\int_\tau\rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t}\,\mathrm{d}\tau $$

应力矢量满足 $(\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}})_i=n_jp_{ji}$。逐分量应用高斯公式，有

$$ \oiint_A n_jp_{ji}\,\mathrm{d}A =\int_\tau\frac{\partial p_{ji}}{\partial x_j}\,\mathrm{d}\tau $$

即

$$ \oiint_A\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}A =\int_\tau\nabla\cdot\boldsymbol{P}\,\mathrm{d}\tau $$

将两式代入系统的动量方程，得到

$$ \int_\tau\left(\rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} -\rho\boldsymbol{f}-\nabla\cdot\boldsymbol{P}\right)\mathrm{d}\tau=0 $$

由于被积函数连续，且控制体 $\tau$ 可任意选取，因此被积函数在各点均为零，得到

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}+\nabla\cdot\boldsymbol{P} $$

3、兰姆－葛罗米柯型运动方程

速度的随体导数为

$$ \frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} +(\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V} $$

记 $V^2=\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{V}$，涡量 $\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\boldsymbol{V}$。对流加速度可写成

$$ (\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V} =\nabla\left(\frac{V^2}{2}\right)+\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V} $$

例如，右端的 $x$ 分量为

$$ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u^2+v^2+w^2}{2}\right) +(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V})_x &=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}+w\frac{\partial w}{\partial x}\\ &\quad+w\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right) -v\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\\ &=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z} \end{aligned} $$

另两个分量同理。将该恒等式代入运动方程，并除以密度，得

$$ \frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} +\nabla\left(\frac{V^2}{2}\right) +\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V} =\boldsymbol{f}+\frac{1}{\rho}\nabla\cdot\boldsymbol{P} $$

这就是兰姆－葛罗米柯型运动方程。它将涡量显式引入方程，便于分析流动的有旋性，以及沿流线的运动关系。

三、黏性流体的本构方程

1、一维平行剪切流动

本构方程描述应力张量 $\boldsymbol{P}$ 与应变率张量 $\boldsymbol{E}$ 之间的关系。记 $\boldsymbol{E}=(\varepsilon_{ij})$，其分量为

$$ \varepsilon_{ij} =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) $$

对于简单的一维平行剪切流动 $u=u(y)$、$v=w=0$，牛顿黏性定律给出

$$ p_{yx}=\mu\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} $$

其中 $\mu$ 为动力黏度。由于

$$ \varepsilon_{yx} =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y}\right) =\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} $$

故切应力与应变率的关系可写为

$$ p_{yx}=2\mu\varepsilon_{yx} $$

课件在牛顿流体的运动场中，一点上的切应力于切应变率成正比，比例系数为 $2\mu$，这在实验上被证实。

2、粘性流体一般流动

对于粘性流体作任意运动的情况，斯托克斯（Stokes）作出了三个假设：应力张量与应变率张量成线性关系，即应力与变形速度之间成线性关系；这种线性关系在流体中是各向同性的；当流体静止时，应变率为零，流体中的应力就是各向等值的静压强。

在上述假设下，可以得到 $\boldsymbol{P,E}$ 的一般关系。记二阶单位张量为 $\boldsymbol{I}$，则线性本构关系可写为

$$ \boldsymbol{P}=a\boldsymbol{E}+b\boldsymbol{I} $$

其中 $a,b$ 为标量。比较非对角分量 $p_{yx}=a\varepsilon_{yx}$ 与牛顿黏性定律，得到

$$ a=2\mu $$

因此

$$ \boldsymbol{P}=2\mu\boldsymbol{E}+b\boldsymbol{I} $$

三个对角分量分别为

$$ \begin{aligned} p_{xx}&=2\mu\frac{\partial u}{\partial x}+b\\ p_{yy}&=2\mu\frac{\partial v}{\partial y}+b\\ p_{zz}&=2\mu\frac{\partial w}{\partial z}+b \end{aligned} $$

将三式相加，得到

$$ p_{xx}+p_{yy}+p_{zz} =2\mu\left(\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}\right)+3b =2\mu\nabla\cdot\boldsymbol{V}+3b $$

采用平均正应力的负值表示压强 $p$，即

$$ p=-\frac{1}{3}(p_{xx}+p_{yy}+p_{zz}) $$

从而

$$ \begin{aligned} 3b&=-3p-2\mu\nabla\cdot\boldsymbol{V}\\ b&=-p-\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\boldsymbol{V} \end{aligned} $$

代回本构关系，得到广义牛顿黏性定律

$$ \boldsymbol{P} =-p\boldsymbol{I}+2\mu\boldsymbol{E} -\frac{2}{3}\mu(\nabla\cdot\boldsymbol{V})\boldsymbol{I} $$

若将 $p$ 同时解释为热力学压强，则这里采用了斯托克斯假设，即体积黏度取零，使平均正应力的负值与热力学压强相等。

在直角坐标系中，本构方程展开为

$$ \begin{aligned} p_{xx}=-p+2\mu\frac{\partial u}{\partial x} -\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\boldsymbol{V}\\ p_{yy}=-p+2\mu\frac{\partial v}{\partial y} -\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\boldsymbol{V}\\ p_{zz}=-p+2\mu\frac{\partial w}{\partial z} -\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\boldsymbol{V}\\ p_{xy}=p_{yx}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)\\ p_{xz}=p_{zx}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\right)\\ p_{yz}=p_{zy}=\mu\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right) \end{aligned} $$

记克罗内克符号为 $\delta_{ij}$，其中 $i=j$ 时取 $1$，$i\ne j$ 时取 $0$。由于

$$ \varepsilon_{kk} =\frac{\partial u_k}{\partial x_k} =\nabla\cdot\boldsymbol{V} $$

本构方程的指标形式为

$$ p_{ij}=-p\delta_{ij} +2\mu\left(\varepsilon_{ij}-\frac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) $$

将应力分解为压强部分与黏性部分，记黏性应力张量为 $\boldsymbol{\tau}$，则

$$ \boldsymbol{P}=-p\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\tau} $$

其中

$$ \boldsymbol{\tau} =2\mu\boldsymbol{E} -\frac{2}{3}\mu(\nabla\cdot\boldsymbol{V})\boldsymbol{I} $$

对三个对角分量求和，有

$$ \tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz} =2\mu\nabla\cdot\boldsymbol{V} -\frac{2}{3}\mu(\nabla\cdot\boldsymbol{V})\times3=0 $$

因此，在上述压强约定下，$\boldsymbol{\tau}$ 为偏应力张量，也称黏性切应力张量。它既可含切向分量，也可含和为零的附加法向分量。

四、黏性流体的运动微分方程

1、一般形式

将牛顿流体的本构关系代入运动方程

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}+\nabla\cdot\boldsymbol{P} $$

得到

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f} -\nabla\cdot(p\boldsymbol{I}) +2\nabla\cdot(\mu\boldsymbol{E}) -\frac{2}{3}\nabla\cdot\left[\mu(\nabla\cdot\boldsymbol{V})\boldsymbol{I}\right] $$

对于任意标量场 $q$，由单位张量的分量为常数，得

$$ \bigl[\nabla\cdot(q\boldsymbol{I})\bigr]_i =\frac{\partial(q\delta_{ji})}{\partial x_j} =\frac{\partial q}{\partial x_i} $$

因此

$$ \nabla\cdot(p\boldsymbol{I})=\nabla p $$

以及

$$ \nabla\cdot\left[\mu(\nabla\cdot\boldsymbol{V})\boldsymbol{I}\right] =\nabla\left(\mu\nabla\cdot\boldsymbol{V}\right) $$

运动方程化为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}-\nabla p +2\nabla\cdot(\mu\boldsymbol{E}) -\frac{2}{3}\nabla\left(\mu\nabla\cdot\boldsymbol{V}\right) $$

这是允许黏度随位置变化的纳维－斯托克斯方程。其指标形式为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} =\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i} +\frac{\partial}{\partial x_j} \left[\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)\right] -\frac{2}{3}\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\mu\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) $$

2、黏度均匀的形式

若 $\mu$ 为常数，或仅随时间变化而在空间中均匀，则空间求导时可将 $\mu$ 提出。对黏性项逐分量展开：

$$ \begin{aligned} \bigl[2\nabla\cdot(\mu\boldsymbol{E})\bigr]_i &=\mu\frac{\partial}{\partial x_j} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)\\ &=\mu\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j} +\mu\frac{\partial^2u_j}{\partial x_j\partial x_i}\\ &=\mu\nabla^2u_i +\mu\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{\partial u_j}{\partial x_j}\right) \end{aligned} $$

其中交换混合偏导数的次序，要求速度分量具有相应的二阶连续偏导数。合并各分量，得到

$$ 2\nabla\cdot(\mu\boldsymbol{E}) =\mu\nabla^2\boldsymbol{V} +\mu\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{V}) $$

同时

$$ \frac{2}{3}\nabla\left(\mu\nabla\cdot\boldsymbol{V}\right) =\frac{2}{3}\mu\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{V}) $$

两项相减后，得到

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}-\nabla p +\mu\nabla^2\boldsymbol{V} +\frac{\mu}{3}\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{V}) $$

这就是黏度在空间中均匀时的可压缩流体纳维－斯托克斯方程。式中 $\nabla^2\boldsymbol{V}$ 表示各直角坐标分量的拉普拉斯算子组成的矢量。

3、不可压缩流体的纳维－斯托克斯方程

对于不可压缩流体，由连续性方程得

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{V}=0 $$

若 $\mu$ 在空间中均匀，则运动方程进一步化为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}-\nabla p+\mu\nabla^2\boldsymbol{V} $$

展开随体导数，得到

$$ \rho\left[\frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} +(\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V}\right] =\rho\boldsymbol{f}-\nabla p+\mu\nabla^2\boldsymbol{V} $$

在直角坐标系中，三个分量分别为

$$ \begin{aligned} \rho\left(\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z}\right) &=\rho f_x-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2} +\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)\\ \rho\left(\frac{\partial v}{\partial t} +u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y} +w\frac{\partial v}{\partial z}\right) &=\rho f_y-\frac{\partial p}{\partial y} +\mu\left(\frac{\partial^2v}{\partial x^2} +\frac{\partial^2v}{\partial y^2} +\frac{\partial^2v}{\partial z^2}\right)\\ \rho\left(\frac{\partial w}{\partial t} +u\frac{\partial w}{\partial x} +v\frac{\partial w}{\partial y} +w\frac{\partial w}{\partial z}\right) &=\rho f_z-\frac{\partial p}{\partial z} +\mu\left(\frac{\partial^2w}{\partial x^2} +\frac{\partial^2w}{\partial y^2} +\frac{\partial^2w}{\partial z^2}\right) \end{aligned} $$

相应的指标形式为

$$ \rho\left(\frac{\partial u_i}{\partial t} +u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) =\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i} +\mu\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j},\qquad i=1,2,3 $$

不可压缩流体的纳维－斯托克斯方程简称 N-S 方程，与连续性方程 $\partial u_i/\partial x_i=0$ 联立使用。

[!NOTE]

2026年9月，OpenAI 宣布其未公开 AI 模型用约 88 小时证明了特定光滑外力下三维纳维-斯托克斯方程存在有限时间奇点（千禧年难题命题 C/D ），并经 Lean 验证。但该证明不涵盖无外力情形，且遭纽约大学教授质疑训练数据来源，引发争议。（截至 2026年10月17日）

五、无黏性流体的运动微分方程

1、欧拉运动方程

当黏性效应可以忽略时，令 $\mu=0$，应力张量退化为

$$ \boldsymbol{P}=-p\boldsymbol{I} $$

因此

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{P}=-\nabla p $$

代入一般运动方程，得到欧拉运动方程

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}-\nabla p $$

在直角坐标系中，写为

$$ \begin{aligned} \rho\frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{D}t}&=\rho f_x-\frac{\partial p}{\partial x}\\ \rho\frac{\mathrm{D}v}{\mathrm{D}t}&=\rho f_y-\frac{\partial p}{\partial y}\\ \rho\frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{D}t}&=\rho f_z-\frac{\partial p}{\partial z} \end{aligned} $$

其指标形式为

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} =\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i},\qquad i=1,2,3 $$

欧拉运动方程对可压缩和不可压缩无黏性流动具有相同形式。

2、静止状态下的平衡方程

当流体处于静止状态时，$\boldsymbol{V}\equiv\boldsymbol{0}$，速度的随体导数与应变率张量均为零。因此，黏性流体和无黏性流体的运动方程均退化为

$$ \boldsymbol{0}=\rho\boldsymbol{f}-\nabla p $$

即欧拉平衡微分方程

$$ \nabla p=\rho\boldsymbol{f} $$

流体静力学由此成为流体动力学在静止条件下的特殊情形。