一、流体的热动平衡假设

1、热力学系统与状态参数

热力学系统是作为研究对象的物质集合。在连续介质模型中，可将流体质点看作局部的热力学系统，每个流体质点内包含足够多的分子，使其热力学性质可以用宏观参数描述。

记密度为 $\rho$，压强为 $p$，热力学温度为 $T$。单位质量流体所占的体积称为比体积，记为 $\upsilon$，满足

$$ \upsilon=\frac{1}{\rho} $$

描述流体热力学状态的参数还包括单位质量内能 $e$、焓 $h$、熵 $s$ 等。对于成分固定、处于单一相的简单可压缩流体，平衡态中只有两个独立的热力学状态参数；选择两个适当的独立参数后，其余状态参数由相应关系确定。

2、局部热力学平衡

运动流体的温度、压强和密度一般随空间位置与时间变化，因此整个流场通常不处于热力学平衡态。但若流体质点内部的分子弛豫足够快，相对于宏观流动的变化可认为其内部随时接近平衡，则可对各质点采用平衡态的热力学关系。

这一假设称为局部热力学平衡，也称流体的热动平衡假设。在该假设下，任一时刻、任一位置的流体质点具有确定的热力学状态参数，并可用两个独立状态参数确定其局部状态。

局部热力学平衡不要求整个流场的温度和压强均匀，也不要求流动过程可逆。流体仍可存在黏性耗散与热传导。

二、流体的状态方程

1、一般形式

状态方程表示热力学状态参数之间的内在关系。选取两个适当的热力学参数作为独立变量，其余参数可表示为这两个变量的函数。

例如，选取压强 $p$ 与温度 $T$，可写为

$$ \rho=\rho(p,T),\qquad e=e(p,T) $$

也可选取密度与温度，写为

$$ p=p(\rho,T),\qquad e=e(\rho,T) $$

连续性方程、运动方程与能量方程描述质量、动量和能量的变化，状态方程则提供密度、压强、温度及内能之间的关系。

2、液体的状态方程

在密度随压强和温度的变化可以忽略的范围内，液体常采用常密度近似

$$ \rho=\rho_0 $$

其中 $\rho_0$ 为常数。若比热容也近似不变，单位质量内能可写为

$$ e-e_0=c_v(T-T_0) $$

其中 $(T_0,e_0)$ 为选定的参考状态，$c_v$ 为比定容热容。适当选择内能零点，可简写为

$$ e=c_vT $$

液体的比定压热容 $c_p$ 与比定容热容通常较接近，在相应温度范围内可取

$$ c_v\approx c_p\approx\text{常数} $$

3、气体的状态方程

满足克拉珀龙状态方程且比热容为常数的气体，称为常比热容完全气体，其状态方程为

$$ p=\rho RT $$

其中 $R$ 为气体常数，由气体的摩尔质量 $M$ 决定：

$$ R=\frac{R_0}{M} $$

$R_0$ 为普适气体常数，取

$$ R_0\approx8.31\times10^3\ \mathrm{J}\,\mathrm{kmol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1} $$

当 $M$ 以 $\mathrm{kg}\,\mathrm{kmol}^{-1}$ 为单位时，$R$ 的单位为 $\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$。例如，空气与水蒸气的近似取值为

状态方程中的 $p$ 为绝对压强，$T$ 为以 $\mathrm{K}$ 为单位的热力学温度。

完全气体模型描述气体的热力学性质，与忽略黏性的理想流体模型属于不同的假设，完全气体仍可具有黏性。高压、低温或接近相变的条件下，需采用适合该状态范围的气体状态方程。

三、常比热容完全气体的热力学关系

1、内能、焓与比热容

对于完全气体，内能只依赖温度。记比定容热容为

$$ c_v=\left(\frac{\partial e}{\partial T}\right)_{\upsilon} $$

当 $c_v$ 为常数时，积分得到

$$ e-e_0=c_v(T-T_0) $$

选定内能零点后，写为

$$ e=c_vT $$

单位质量焓定义为

$$ h=e+p\upsilon=e+\frac{p}{\rho} $$

由 $p/\rho=RT$，得

$$ h=c_vT+RT=(c_v+R)T $$

记比定压热容为

$$ c_p=\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p $$

由于完全气体的焓只依赖温度，故

$$ c_p=c_v+R $$

即迈耶关系

$$ c_p-c_v=R $$

记比热比为 $\gamma$，即

$$ \gamma=\frac{c_p}{c_v} $$

将 $c_p=\gamma c_v$ 代入迈耶关系，有

$$ (\gamma-1)c_v=R $$

因此

$$ c_v=\frac{R}{\gamma-1},\qquad c_p=\frac{\gamma R}{\gamma-1} $$

相应的内能与焓可写为

$$ e=c_vT=\frac{RT}{\gamma-1} =\frac{1}{\gamma-1}\frac{p}{\rho} $$

$$ h=c_pT=\frac{\gamma RT}{\gamma-1} =\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{\rho} $$

$\gamma$ 也称绝热指数。

2、热力学基本关系及其随体形式

对成分固定的简单可压缩流体，单位质量的热力学基本关系为

$$ T\,\mathrm{d}s=\mathrm{d}e+p\,\mathrm{d}\upsilon $$

其中 $s$ 为单位质量熵，$\upsilon=1/\rho$。由焓的定义

$$ h=e+p\upsilon $$

取全微分，得到

$$ \mathrm{d}h=\mathrm{d}e+p\,\mathrm{d}\upsilon+\upsilon\,\mathrm{d}p $$

将前两项用 $T\,\mathrm{d}s$ 代替，得

$$ \mathrm{d}h=T\,\mathrm{d}s+\upsilon\,\mathrm{d}p $$

因此

$$ T\,\mathrm{d}s =\mathrm{d}e+p\,\mathrm{d}\left(\frac{1}{\rho}\right) =\mathrm{d}h-\frac{1}{\rho}\,\mathrm{d}p $$

沿同一流体质点取随体导数，得到

$$ T\frac{\mathrm{D}s}{\mathrm{D}t} =\frac{\mathrm{D}e}{\mathrm{D}t} +p\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\left(\frac{1}{\rho}\right) =\frac{\mathrm{D}h}{\mathrm{D}t} -\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{D}p}{\mathrm{D}t} $$

该关系可用于将内能形式的能量方程改写为焓或熵的形式。

3、熵的表达式

对于常比热容完全气体，将 $\mathrm{d}e=c_v\,\mathrm{d}T$ 及 $p=\rho RT$ 代入热力学基本关系，得

$$ T\,\mathrm{d}s =c_v\,\mathrm{d}T+p\,\mathrm{d}\left(\frac{1}{\rho}\right) $$

由于

$$ \mathrm{d}\left(\frac{1}{\rho}\right) =-\frac{1}{\rho^2}\,\mathrm{d}\rho $$

所以

$$ \begin{aligned} T\,\mathrm{d}s &=c_v\,\mathrm{d}T-\frac{p}{\rho^2}\,\mathrm{d}\rho\\ &=c_v\,\mathrm{d}T-\frac{RT}{\rho}\,\mathrm{d}\rho \end{aligned} $$

两端除以温度，得到

$$ \mathrm{d}s=c_v\frac{\mathrm{d}T}{T}-R\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} $$

从参考状态 $(T_0,\rho_0,s_0)$ 积分到当前状态，得

$$ s-s_0=c_v\ln\frac{T}{T_0}-R\ln\frac{\rho}{\rho_0} $$

由状态方程 $T=p/(\rho R)$，有

$$ \frac{\mathrm{d}T}{T} =\frac{\mathrm{d}p}{p}-\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} $$

代入熵的微分表达式，并利用 $c_v+R=c_p=\gamma c_v$，得

$$ \begin{aligned} \mathrm{d}s &=c_v\frac{\mathrm{d}p}{p}-(c_v+R)\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}\\ &=c_v\left(\frac{\mathrm{d}p}{p}-\gamma\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}\right) \end{aligned} $$

积分后得到

$$ s-s_0=c_v\ln\frac{p}{p_0}-c_p\ln\frac{\rho}{\rho_0} $$

亦即

$$ s-s_0=c_v\ln\left[\frac{p}{p_0}\left(\frac{\rho_0}{\rho}\right)^\gamma\right] $$

若选用温度与压强作为独立变量，由 $\rho=p/(RT)$，同样可得

$$ s-s_0=c_p\ln\frac{T}{T_0}-R\ln\frac{p}{p_0} $$

4、等熵关系

对于熵保持不变的过程，$\mathrm{d}s=0$，因此

$$ \frac{\mathrm{d}p}{p}-\gamma\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}=0 $$

积分得到

$$ \ln\frac{p}{p_0}=\gamma\ln\frac{\rho}{\rho_0} $$

从而

$$ \frac{p}{p_0}=\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^\gamma $$

即

$$ \frac{p}{\rho^\gamma}=C $$

其中 $C$ 为该等熵过程的常数。再由 $T=p/(\rho R)$，得到

$$ \frac{T}{T_0} =\frac{p/p_0}{\rho/\rho_0} =\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^{\gamma-1} $$

结合密度与压强的关系，也可写为

$$ \frac{T}{T_0} =\left(\frac{p}{p_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} $$

因此，常比热容完全气体的等熵关系可表示为

$$ \frac{p}{\rho^\gamma}=C,\qquad \frac{T}{\rho^{\gamma-1}}=\text{常数},\qquad \frac{T^\gamma}{p^{\gamma-1}}=\text{常数} $$

光滑的无黏绝热流动中，若无热源，则每个流体质点的熵沿运动保持不变，故各质点分别满足上述关系。若不同质点的熵不同，相应的 $C$ 也可不同。

四、正压流体与斜压流体

1、状态关系的分类

一般情况下，流体密度依赖压强与温度，即

$$ \rho=\rho(p,T) $$

当密度不能简化为仅由压强确定时，称为斜压流体。若状态关系可简化为

$$ \rho=\rho(p) $$

则称为正压流体。对密度与压强之间可逆的关系，也可写成

$$ p=p(\rho) $$

正压条件将密度与压强直接联系起来。若黏度等物性参数也不依赖待求温度，则可用连续性方程、运动方程和正压关系确定机械流场，无须借助能量方程求出温度后再确定密度。

2、常见正压关系

（1）常密度流动

对采用常密度近似的流体，取

$$ \rho=\rho_0 $$

密度不再随温度或压强变化，可作为正压关系的特殊情形。此时压强由流动的约束与运动方程确定。

（2）完全气体的等温流动

若温度在所考察区域内保持同一常数 $T_0$，则由克拉珀龙状态方程

$$ p=\rho RT_0 $$

令 $C=RT_0$，得到

$$ p=C\rho $$

因此，等温完全气体的密度仅由压强决定，构成正压关系。

（3）完全气体的均匀熵流动

对于常比热容完全气体，若整个所考察区域的熵具有同一数值，由熵的表达式可知

$$ p=C\rho^\gamma $$

其中 $C$ 在该区域内为同一常数，因此也是正压关系。