一、基本方程组的封闭性

1、封闭性的含义

对于选定的流动模型，若独立未知标量场的数目与独立标量方程的数目相同，且有关本构关系和物性关系已经给定，则称该方程组在形式上封闭。

矢量方程应按分量计数。在三维空间中，一个矢量未知量相当于三个标量未知量，一个矢量方程相当于三个标量方程。

封闭性表示描述未知量所需的方程已经配齐；解是否存在、是否唯一以及是否稳定，还取决于方程性质、数据与定解条件。

2、黏性可压缩完全气体的基本方程组

记密度为 $\rho$，速度为 $\boldsymbol{V}=(u,v,w)$，压强为 $p$，温度为 $T$。随体导数为

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol{V}\cdot\nabla =\frac{\partial}{\partial t} +u\frac{\partial}{\partial x} +v\frac{\partial}{\partial y} +w\frac{\partial}{\partial z} $$

对惯性系中的牛顿流体，采用常比热容完全气体模型，基本方程组为

$$ \begin{aligned} \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})&=0\\ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} &=\rho\boldsymbol{f}+\nabla\cdot\boldsymbol{P}\\ \rho c_v\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t} &=\rho q+\nabla\cdot(k\nabla T)-p\nabla\cdot\boldsymbol{V}+\Phi\\ p&=\rho RT \end{aligned} $$

其中 $\boldsymbol{f}$ 为单位质量体积力，$q$ 为单位时间传给单位质量流体的热量，$c_v$ 为比定容热容，$k$ 为导热系数，$R$ 为气体常数。

记动力黏度为 $\mu$，应变率张量为 $\boldsymbol{E}=(\varepsilon_{ij})$，单位张量为 $\boldsymbol{I}$。采用斯托克斯假设时，应力张量与黏性耗散函数为

$$ \boldsymbol{P} =-p\boldsymbol{I}+2\mu\left[\boldsymbol{E} -\frac{1}{3}(\nabla\cdot\boldsymbol{V})\boldsymbol{I}\right] $$

$$ \Phi=2\mu\left[\boldsymbol{E}:\boldsymbol{E} -\frac{1}{3}(\nabla\cdot\boldsymbol{V})^2\right] $$

应变率分量为

$$ \varepsilon_{ij} =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) $$

其中 $(u_1,u_2,u_3)=(u,v,w)$、$(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$，重复指标对 $1,2,3$ 求和。应力分量 $p_{ij}$ 的第一个下标表示受力面的法向，第二个下标表示力的分量方向，故

$$ (\nabla\cdot\boldsymbol{P})_i=\frac{\partial p_{ji}}{\partial x_j} $$

在直角坐标系中，方程组可写为

$$ \begin{aligned} \frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial(\rho u_i)}{\partial x_i}&=0\\ \rho\left(\frac{\partial u_i}{\partial t} +u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) &=\rho f_i+\frac{\partial p_{ji}}{\partial x_j},\qquad i=1,2,3\\ \rho c_v\left(\frac{\partial T}{\partial t} +u_i\frac{\partial T}{\partial x_i}\right) &=\rho q+\frac{\partial}{\partial x_i} \left(k\frac{\partial T}{\partial x_i}\right) -p\frac{\partial u_i}{\partial x_i}+\Phi\\ p&=\rho RT \end{aligned} $$

其中

$$ p_{ij}=-p\delta_{ij} +\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) -\frac{2}{3}\mu\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\delta_{ij} $$

$\delta_{ij}$ 为克罗内克符号。应力与耗散函数均由速度导数、压强和已知物性关系确定，不作为额外的独立未知量。

设 $\boldsymbol{f}$、$q$ 已给定，$\mu,k,c_v$ 为已知常数或已知物性函数，$R$ 已知，则独立未知标量为

$$ \rho,\quad p,\quad T,\quad u,\quad v,\quad w $$

共六个。对应的标量方程数为

因此，方程组形式上封闭。若黏度、导热系数或热源还依赖其他未知物理过程，则需同时给出相应关系，才能维持封闭性。

二、常用模型的封闭方程组

1、黏性正压流体运动的基本方程组

设流体为牛顿流体，已知正压关系 $\rho=\rho(p)$，动力黏度 $\mu$ 为常数。在惯性系中，连续性方程与运动方程为

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})=0,\qquad \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}+\nabla\cdot\boldsymbol{P} $$

将应力本构关系

$$ \boldsymbol{P}=-p\boldsymbol{I}+2\mu\boldsymbol{E} -\frac{2}{3}\mu(\nabla\cdot\boldsymbol{V})\boldsymbol{I} $$

代入运动方程。由于 $\mu$ 为常数，且 $\nabla\cdot(p\boldsymbol{I})=\nabla p$，应力散度为

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{P} =-\nabla p+2\mu\nabla\cdot\boldsymbol{E} -\frac{2}{3}\mu\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{V}) $$

由应变率分量的定义，逐分量计算得

$$ \begin{aligned} (2\nabla\cdot\boldsymbol{E})_i &=2\frac{\partial\varepsilon_{ji}}{\partial x_j}\\ &=\frac{\partial}{\partial x_j} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)\\ &=\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j} +\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{\partial u_j}{\partial x_j}\right) \end{aligned} $$

因此

$$ 2\nabla\cdot\boldsymbol{E} =\nabla^2\boldsymbol{V}+\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{V}) $$

合并两项与速度散度梯度有关的贡献，得到

$$ \begin{aligned} \nabla\cdot\boldsymbol{P} &=-\nabla p+\mu\nabla^2\boldsymbol{V} +\left(1-\frac{2}{3}\right)\mu\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{V})\\ &=-\nabla p+\mu\nabla^2\boldsymbol{V} +\frac{\mu}{3}\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{V}) \end{aligned} $$

（1）矢量形式

$$ \begin{aligned} &\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})=0\\ &\rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}-\nabla p +\mu\nabla^2\boldsymbol{V} +\frac{\mu}{3}\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{V})\\ &\rho=\rho(p) \end{aligned} $$

（2）直角坐标系中的标量形式

将连续性方程展开，并分别取运动方程的 $x,y,z$ 分量，得到

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} +\frac{\partial(\rho v)}{\partial y} +\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}=0 $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{D}t} =\rho f_x-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2} +\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right) +\frac{\mu}{3}\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}\right) $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}v}{\mathrm{D}t} =\rho f_y-\frac{\partial p}{\partial y} +\mu\left(\frac{\partial^2v}{\partial x^2} +\frac{\partial^2v}{\partial y^2} +\frac{\partial^2v}{\partial z^2}\right) +\frac{\mu}{3}\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}\right) $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{D}t} =\rho f_z-\frac{\partial p}{\partial z} +\mu\left(\frac{\partial^2w}{\partial x^2} +\frac{\partial^2w}{\partial y^2} +\frac{\partial^2w}{\partial z^2}\right) +\frac{\mu}{3}\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}\right) $$

$$ \rho=\rho(p) $$

其中

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial}{\partial t} +u\frac{\partial}{\partial x} +v\frac{\partial}{\partial y} +w\frac{\partial}{\partial z} $$

（3）笛卡儿指标形式

采用 $(u_1,u_2,u_3)=(u,v,w)$、$(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$，并对重复指标求和，得到

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial(\rho u_i)}{\partial x_i}=0 $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} =\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i} +\mu\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j} +\frac{\mu}{3}\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{\partial u_j}{\partial x_j}\right) $$

$$ \rho=\rho(p) $$

其中

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial}{\partial t}+u_j\frac{\partial}{\partial x_j} $$

独立未知量为 $\rho,p,u,v,w$，共五个；一个连续性方程、三个运动方程和一个正压关系也共五个，因此方程组封闭。在给定正压关系及常黏度近似下，求机械流场不必再求解能量方程。

正压关系可由等温或适当的等熵近似给出。黏性耗散可能改变热力学状态，因此采用这一模型时，给定的 $\rho=\rho(p)$ 应与实际热过程相适应。

2、黏性不可压缩流体运动的封闭方程组

取密度与动力黏度为常数：

$$ \rho=\text{常数},\qquad\mu=\text{常数} $$

将常密度条件代入连续性方程，得到

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V}) =\rho\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0 $$

故

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{V}=0,\qquad \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{V})=\boldsymbol{0} $$

运动方程中的速度散度梯度项消失，得到不可压缩流体的纳维－斯托克斯方程。

（1）矢量形式

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{V}=0 $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}-\nabla p+\mu\nabla^2\boldsymbol{V} $$

（2）直角坐标系中的标量形式

$$ \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}=0 $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{D}t} =\rho f_x-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2} +\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right) $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}v}{\mathrm{D}t} =\rho f_y-\frac{\partial p}{\partial y} +\mu\left(\frac{\partial^2v}{\partial x^2} +\frac{\partial^2v}{\partial y^2} +\frac{\partial^2v}{\partial z^2}\right) $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{D}t} =\rho f_z-\frac{\partial p}{\partial z} +\mu\left(\frac{\partial^2w}{\partial x^2} +\frac{\partial^2w}{\partial y^2} +\frac{\partial^2w}{\partial z^2}\right) $$

（3）笛卡儿指标形式

$$ \frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0 $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} =\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i} +\mu\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j} $$

独立未知量为 $p,u,v,w$，共四个；连续性方程与三个运动方程也共四个，因此机械方程组封闭。该模型适用于可忽略密度变化而须保留黏性作用的液体及低速气体流动，可描述速度分布、壁面切应力和管道压力损失。

（4）求解温度分布的能量方程

当物性及体积力不随待求温度变化时，温度不反馈影响上述机械方程组。若仍需计算温度分布，可先求出速度场，再代入能量方程。

采用 $\mathrm{d}e=c_v\,\mathrm{d}T$，且 $c_v,k$ 为常数时，温度方程为

$$ \rho c_v\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t} =\rho q+k\nabla^2T+\Phi $$

由于 $\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0$，压强的体积变形功为零，耗散函数化为

$$ \Phi=2\mu\boldsymbol{E}:\boldsymbol{E} =2\mu\varepsilon_{ij}\varepsilon_{ij} $$

应变率张量对称，所以其双点积为

$$ \boldsymbol{E}:\boldsymbol{E} =\varepsilon_{xx}^2+\varepsilon_{yy}^2+\varepsilon_{zz}^2 +2\varepsilon_{xy}^2+2\varepsilon_{yz}^2+2\varepsilon_{zx}^2 $$

代入应变率各分量，得到

$$ \begin{aligned} \Phi=\mu\Bigg[&2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 +2\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 +2\left(\frac{\partial w}{\partial z}\right)^2\\ &+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 +\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2 +\left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2\Bigg] \end{aligned} $$

因此，完整展开后的温度方程为

$$ \begin{aligned} &\rho c_v\left(\frac{\partial T}{\partial t} +u\frac{\partial T}{\partial x} +v\frac{\partial T}{\partial y} +w\frac{\partial T}{\partial z}\right)\\ &\qquad=\rho q+k\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2} +\frac{\partial^2T}{\partial y^2} +\frac{\partial^2T}{\partial z^2}\right)\\ &\qquad\quad+\mu\Bigg[2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 +2\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 +2\left(\frac{\partial w}{\partial z}\right)^2 +\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2\\ &\hspace{6em}+\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2 +\left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2\Bigg] \end{aligned} $$

其中温度的局部变化与对流输运由左端给出，热源、导热及黏性耗散分别由右端各项给出。

3、无黏性不可压缩流体运动的封闭方程组

取

$$ \rho=\text{常数},\qquad\mu=0,\qquad k=0 $$

连续性方程仍给出 $\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0$；令黏性应力为零后，应力张量为

$$ \boldsymbol{P}=-p\boldsymbol{I},\qquad \nabla\cdot\boldsymbol{P}=-\nabla p $$

因此，运动方程退化为欧拉运动方程。

（1）矢量形式

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{V}=0 $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\rho\boldsymbol{f}-\nabla p $$

（2）直角坐标系中的标量形式

$$ \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}=0 $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{D}t} =\rho f_x-\frac{\partial p}{\partial x} $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}v}{\mathrm{D}t} =\rho f_y-\frac{\partial p}{\partial y} $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{D}t} =\rho f_z-\frac{\partial p}{\partial z} $$

（3）笛卡儿指标形式

$$ \frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0 $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} =\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i} $$

独立未知量为 $p,u,v,w$，共四个；一个连续性方程与三个运动方程也共四个，因此方程组封闭。

这一模型同时忽略可压缩性与黏性，可用于自由液面波动，以及黏性影响主要局限于薄边界层时的外部绕流。若还取 $q=0$，并采用 $\mathrm{d}e=c_v\,\mathrm{d}T$，则温度方程给出

$$ \frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t}=0 $$

即每个质点沿运动保持各自的温度；初始温度均匀时，流场保持同一温度。

4、经典的气体动力学基本方程组

设流体为常比热容完全气体，忽略黏性、热传导、体积力和热源，即

$$ \mu=0,\qquad k=0,\qquad \boldsymbol{f}=\boldsymbol{0},\qquad q=0 $$

连续性方程与运动方程为

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})=0,\qquad \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t}=-\nabla p $$

由连续性方程的乘积展开，得到随体形式

$$ \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} +\rho\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0 $$

故

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{V} =-\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} $$

此时内能方程化为

$$ \rho c_v\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t} =-p\nabla\cdot\boldsymbol{V} $$

代入 $p=\rho RT$ 和上述速度散度表达式，并利用 $R/c_v=\gamma-1$，得

$$ \begin{aligned} \rho c_v\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t} &=p\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} =RT\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}\\ \frac{1}{T}\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t} &=(\gamma-1)\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} \end{aligned} $$

对状态方程 $p=\rho RT$ 沿质点求导，由 $R$ 为常数，得到

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{D}p}{\mathrm{D}t} &=RT\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} +\rho R\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t}\\ \frac{1}{p}\frac{\mathrm{D}p}{\mathrm{D}t} &=\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} +\frac{1}{T}\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t}\\ &=\gamma\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} \end{aligned} $$

于是

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right) &=\rho^{-\gamma}\frac{\mathrm{D}p}{\mathrm{D}t} -\gamma p\rho^{-\gamma-1}\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}\\ &=\frac{p}{\rho^\gamma} \left(\frac{1}{p}\frac{\mathrm{D}p}{\mathrm{D}t} -\frac{\gamma}{\rho}\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}\right)\\ &=0 \end{aligned} $$

因此，可用等熵方程代替能量方程，并通过状态方程消去温度。

（1）矢量形式

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{V})=0 $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t}=-\nabla p $$

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right)=0 $$

（2）直角坐标系中的标量形式

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} +\frac{\partial(\rho v)}{\partial y} +\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}=0 $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{D}t}=-\frac{\partial p}{\partial x} $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}v}{\mathrm{D}t}=-\frac{\partial p}{\partial y} $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{D}t}=-\frac{\partial p}{\partial z} $$

$$ \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right) +u\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right) +v\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right) +w\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right)=0 $$

（3）笛卡儿指标形式

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial(\rho u_i)}{\partial x_i}=0 $$

$$ \rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} =-\frac{\partial p}{\partial x_i} $$

$$ \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right) +u_i\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right)=0 $$

独立未知量为 $\rho,p,u,v,w$，共五个；一个连续性方程、三个运动方程和一个等熵方程也共五个，因此方程组封闭。温度由 $T=p/(\rho R)$ 确定。

等熵方程要求每个质点沿运动保持自身的熵，不要求不同质点的熵相同。因此，沿不同质点轨迹，$p/\rho^\gamma$ 可取不同常数；只有熵在全流场均匀时，才可统一写为 $p=C\rho^\gamma$，其中 $C$ 为同一常数。

该模型突出可压缩性影响，常用于速度接近或超过声速的气流。上述等熵微分关系适用于光滑区域；存在激波时，间断面上须采用质量、动量和总能量守恒条件。

三、初始条件与边界条件

封闭的基本方程组描述一类流动共同遵守的规律。确定其中某一个具体流动，还需给出流动区域、初始状态及边界上的条件。

初始条件规定某一时刻流场的空间分布，边界条件规定流动区域边界上所满足的约束。它们应与物理模型和方程的数学性质相适应，并在初始时刻与边界相交处相容。

定常流动不含时间演化，通常不需给出初始条件，但仍须给出相应边界条件。

1、初始条件

设初始时刻为 $t_0$，空间位置为 $\boldsymbol{x}=(x,y,z)$。对于可压缩完全气体，可给定独立初始场

$$ \boldsymbol{V}(\boldsymbol{x},t_0)=\boldsymbol{V}_0(\boldsymbol{x}),\qquad \rho(\boldsymbol{x},t_0)=\rho_0(\boldsymbol{x}),\qquad T(\boldsymbol{x},t_0)=T_0(\boldsymbol{x}) $$

初始压强随之由状态方程确定：

$$ p(\boldsymbol{x},t_0)=\rho_0(\boldsymbol{x})RT_0(\boldsymbol{x}) $$

也可选择其他适当的独立状态参数，但给定数据须满足同一状态方程。

对于常密度不可压缩流动，初始速度须满足

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{V}_0=0 $$

并与初始壁面速度及其他边界条件相容。压强由不可压缩约束、运动方程及压力边界或基准条件共同确定，不能任意另给一个独立初始压强场。

基本方程对时间通常只含一阶导数，因此给定独立演化量的初始分布即可，不再另给其初始时间导数。

2、流固界面上的速度条件

（1）无穿透条件与无滑移条件

设固壁速度为 $\boldsymbol{V}_b$，壁面法向单位矢量为 $\boldsymbol{n}$。不可穿透壁面的条件为

$$ (\boldsymbol{V}-\boldsymbol{V}_b)\cdot\boldsymbol{n}=0 $$

即流体与壁面的法向速度相同。

对采用无滑移模型的黏性流体，流体在壁面上的切向速度也等于壁面速度，因此

$$ \boldsymbol{V}=\boldsymbol{V}_b $$

无滑移条件包含法向无穿透与切向无相对滑动两个方面。对于无黏性流体，一般只施加法向无穿透条件，允许流体与壁面之间存在切向相对速度。

若固壁静止，则分别化为

$$ \boldsymbol{V}=\boldsymbol{0} \qquad\text{（黏性流体无滑移）} $$

$$ \boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}=0 \qquad\text{（无黏性流体无穿透）} $$

（2）移动壁面的隐式表达

设壁面由方程

$$ F(x,y,z,t)=0 $$

表示，且壁面处 $\nabla F\ne\boldsymbol{0}$。壁面上的同一点随壁面运动后，仍满足该方程。沿壁面质点的运动轨迹对时间求导，得到

$$ \frac{\partial F}{\partial t} +\boldsymbol{V}_b\cdot\nabla F=0 $$

取 $\boldsymbol{n}=\nabla F/|\nabla F|$，则

$$ \boldsymbol{V}_b\cdot\boldsymbol{n} =-\frac{\partial F/\partial t}{|\nabla F|} $$

利用流体与壁面的法向速度相同，得

$$ \boldsymbol{V}\cdot\nabla F =\boldsymbol{V}_b\cdot\nabla F =-\frac{\partial F}{\partial t} $$

因此，无穿透条件等价于在壁面上满足

$$ \frac{\partial F}{\partial t} +u\frac{\partial F}{\partial x} +v\frac{\partial F}{\partial y} +w\frac{\partial F}{\partial z}=0 $$

即

$$ \frac{\mathrm{D}F}{\mathrm{D}t}=0 $$

若壁面固定，$F$ 与时间无关，便得到

$$ \boldsymbol{V}\cdot\nabla F=0 $$

由于 $\nabla F$ 与法向平行，这与 $\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}=0$ 等价。上述隐式条件只约束法向速度；黏性流体还须满足切向无滑移条件。

3、固壁上的热边界条件

求解温度场时，还须给出热边界条件。若壁面温度 $T_b$ 已知，且忽略接触热阻，则采用温度连续条件

$$ T=T_b $$

若给定壁面热流，记 $\boldsymbol{n}$ 为流体区域的外法向，$q_w$ 为经壁面传入流体的热流密度，则由傅里叶定律

$$ q_w=k\frac{\partial T}{\partial n},\qquad \frac{\partial T}{\partial n}=\nabla T\cdot\boldsymbol{n} $$

绝热壁面满足

$$ q_w=k\frac{\partial T}{\partial n}=0 $$

已知温度与已知热流是不同类型的边界条件，应依据实际传热过程选用。

4、两种互不相混液体的界面条件

设两种液体分别记为 $1,2$，界面无相变、无质量穿越，且不考虑界面自身的质量与热量储存。两侧速度的法向分量等于界面的法向速度；对界面速度连续的黏性流体模型，写为

$$ \boldsymbol{V}_1=\boldsymbol{V}_2 $$

取同一法向 $\boldsymbol{n}$ 比较两侧应力。忽略表面张力时，界面上的总应力平衡为

$$ \boldsymbol{P}_1\cdot\boldsymbol{n} =\boldsymbol{P}_2\cdot\boldsymbol{n} $$

其中采用通常流体的对称应力张量。这一条件同时包含法向应力与切向应力连续。若法向黏性应力可以忽略，则法向条件简化为

$$ p_1=p_2 $$

在无接触热阻、无界面热源的模型中，温度与法向导热通量满足

$$ T_1=T_2 $$

$$ \boldsymbol{q}_{h1}\cdot\boldsymbol{n} =\boldsymbol{q}_{h2}\cdot\boldsymbol{n} $$

其中 $\boldsymbol{q}_{h\alpha}=-k_\alpha\nabla T_\alpha$，$\alpha=1,2$。两种液体的密度可以不同，故一般有 $\rho_1\ne\rho_2$。

5、自由液面的边界条件

自由液面是液体与气体之间的界面。其形状通常为待求量，因此需要同时满足运动学条件与动力学条件。

（1）动力学条件

设气体压强为 $p_0$，忽略表面张力及气体的黏性应力，取 $\boldsymbol{n}$ 为由液体指向气体的法向，则液侧总应力满足

$$ \boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{n}=-p_0\boldsymbol{n} $$

由 $\boldsymbol{P}=-p\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\tau}$，法向应力条件为

$$ p-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\tau}\cdot\boldsymbol{n}=p_0 $$

对于界面上的任意切向单位矢量 $\boldsymbol{t}$，切向应力条件为

$$ \boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{\tau}\cdot\boldsymbol{n}=0 $$

若液体也按无黏性模型处理，或法向黏性应力可以忽略，则法向条件化为

$$ p=p_0 $$

当气体压强为均匀大气压时，$p_0$ 为给定常数。

（2）运动学条件

在无蒸发、无凝结的情况下，自由液面由同一批流体质点组成。若其方程为

$$ F(x,y,z,t)=0 $$

则界面上的流体质点运动后仍位于界面上。因此，与移动固壁的无穿透条件相同，有

$$ \frac{\mathrm{D}F}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial F}{\partial t}+\boldsymbol{V}\cdot\nabla F=0 $$

若自由液面可写为 $z=\zeta(x,y,t)$，取

$$ F=z-\zeta(x,y,t) $$

代入后，得到

$$ -\frac{\partial\zeta}{\partial t} -u\frac{\partial\zeta}{\partial x} -v\frac{\partial\zeta}{\partial y}+w=0 $$

即

$$ \frac{\partial\zeta}{\partial t} +u\frac{\partial\zeta}{\partial x} +v\frac{\partial\zeta}{\partial y}=w $$

各速度分量均在实际自由液面 $z=\zeta(x,y,t)$ 上取值。该条件将液面的升降与液体速度联系起来，用于确定液面形状的演化。

6、无穷远处的边界条件

对于物体在广阔流体中的运动，或均匀来流绕物体的流动，物体引起的扰动在足够远处可以忽略。若远场速度与压强分别为给定的 $\boldsymbol{V}_\infty$、$p_\infty$，则采用

$$ \boldsymbol{V}\to\boldsymbol{V}_\infty,\qquad p\to p_\infty,\qquad |\boldsymbol{x}|\to\infty $$

对于可压缩或传热问题，还可由给定远场状态确定 $\rho_\infty$、$T_\infty$ 等参数，并使它们满足同一状态方程。具体施加的独立边界数据须与所用方程及流动方向相适应。