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1、Sigmoid 函数表达式：$$ \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $$导数：$$ \sigma'(x) = \sigma(x)[1 - \sigma(x)] $$特性：输出区间：$(0, 1)$非线性，可微在$x \to +\infty$时趋近于1，$x \to -\infty$时趋近于0优点：将值压缩到$(0,1)$之间，适合做概率输出缺点：容易出现梯度消失问题，导致深层网络训练困难2、Softmax 函数表达式：对于输入向量$\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$，第…

最小二乘法（Least Squares Method）是一种用于数据拟合的方法，通过最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和，来求得模型参数的最优估计。下面以一元线性回归为例，详细推导最小二乘法的过程。一、问题描述给定 $n$ 组数据点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$，希望用一个线性函数$$ y = a x + b $$来拟合这些数据点。目标是找到参数 $a$ 和 $b$，使得拟合直线与观测数据之间的误差平方和最小。二、残差平方和对于每一个数据点 $i$，其观测值为 $y_i$，拟合值为 $\ha…

一、常见积分表序号积分表达式积分结果1$\int x^n \, \mathrm{d}x$$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$2$\int \mathrm{d}x$$x + C$3$\int a \, \mathrm{d}x$$a x + C$4$\int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x$$\ln\vert x\vert + C$5$\int e^{x} \, \mathrm{d}x$$e^{x} + C$6$\int a^{x} \, \mathrm{d}x$$\dfrac{a^{…

设$n$阶常数矩阵$\mathbf{A}$中的每一元素$a_{ij}\ (i,j=1,\cdots,n)$都是常数，则称$$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} + \mathbf{f}(t) $$为常系数线性微分方程组。我们先介绍常系数齐次方程组$$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} $$的解法，再讨论常系数非齐次方程组的情形。一、常系数齐次线性方程组的解法与解常系数线性方程类似，根据方程组是齐次、线性，…

一、奥托循环（Otto Cycle）1. 循环过程描述奥托循环由四个过程组成（以理想气体为工质）：$1 \rightarrow 2$：绝热压缩$2 \rightarrow 3$：等容加热（燃烧过程，吸热$Q_\mathrm{in}$）$3 \rightarrow 4$：绝热膨胀$4 \rightarrow 1$：等容冷却（排气，放热$Q_\mathrm{out}$）2、过程物理量变化与公式推导（1）绝热过程（$1\rightarrow2$, $3\rightarrow4$）绝热条件下，$$ pV^\gamma = \mathrm{const} $$$$ …

设两列波的表达式均为：$$ f_1(x,t) = A_1 \cos(k_1 x + \omega_1 t + \varphi_1) $$$$ f_2(x,t) = A_2 \cos(k_2 x + \omega_2 t + \varphi_2) $$常见叠加情况如下：一、同频同波数同相位（完全相同的波）$$ f(x,t) = f_1(x,t) + f_2(x,t) = A_1 \cos(kx + \omega t + \varphi) + A_2 \cos(kx + \omega t + \varphi) $$直接合并：$$ f(x,t) = (A_1 …

一、叉积1、定义设$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$是三维空间中的两个向量，则它们的差积（叉积）定义为：$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \left( a_2b_3 - a_3…

一、矩估计（Method of Moments, MM）1、意义矩估计是一种参数估计方法。其基本思想是用样本矩（即样本的若干阶幂平均）去逼近总体矩（即理论矩），从而求出未知参数的估计值。也就是说，通过样本的统计量去“模拟”总体分布的性质。2、计算方法（1）一般步骤设总体分布含有$k$个未知参数$\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k$。写出前$k$阶的理论矩（关于参数的表达式）：$$ \mu_r' = \mathbb{E}(X^r), \quad r=1,2,\ldots,k $$根据样本计算对应的样本矩：$$…

一、原假设与备择假设的定义1、原假设（Null Hypothesis, $H_0$）.原假设是指在进行假设检验时，最初假定被检验的参数或总体特性在某一特定值或范围内。一般认为原假设是“无效”或“无差异”的假设。例如：$$ H_0: \mu = \mu_0 $$意思是总体均值等于$\mu_0$。2、备择假设（Alternative Hypothesis, $H_1$ 或 $H_a$）备择假设则是在原假设不成立时所接受的假设，通常反映研究者所关注的效应或差异。例如：$$ H_1: \mu \neq \mu_0 $$二、单侧检验与双侧检验的分类1、双侧检验（T…

概率论与数理统计中的枢轴量法详解一、基本概念在概率论与数理统计中，枢轴量法（Pivot Quantity Method）是一种常用的构造置信区间的方法。其核心思想是通过构造一个在参数未知时依然服从已知分布的函数（枢轴量），进而推导出参数的置信区间。设有样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，依概率分布 $f(x;\theta)$，其中 $\theta$ 是待估参数。枢轴量是形如 $T(X_1, \ldots, X_n; \theta)$ 的函数，满足：$T$ 的分布与 $\theta$ 无关（或与 $\theta$ 的分布形式已知）；$T$…

一、实验目的本实验旨在通过MNIST手写数字分类任务，深入理解和实践深度学习的基本概念与核心算法，具体目标如下：1、理解深度学习核心概念：（1）掌握神经网络（Neural Networks）的基本结构、前向传播和反向传播机制。（2）理解梯度下降（Gradient Descent）优化算法及其在参数更新中的作用。（3）掌握链式法则（Chain Rule）在计算梯度时的应用。（4）理解图像分类任务的基本流程，包括数据加载、预处理、模型训练、评估和预测。（5）熟悉损失函数（如交叉熵损失）的意义和计算方法。2、掌握NumPy手动实现技能：（1）能够仅使用NumP…

我们约定向量用粗体小写字母表示，如 $\mathbf{x}$，矩阵用大写字母表示，如 $A$。该部分考试不做要求。一、一阶微分方程组的标准形式含有 $n$ 个未知函数 $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$ 的 $n$ 个一阶微分方程构成的一阶微分方程组，如果已经解出了一阶导数 $\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t}, \ldots, \frac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t}$，则其标准形式可以写为：$$ \begin{cases} \frac{\mathrm{d}x_1}…

我们首先介绍矢量微分算子 $\nabla$ (Nabla 或 Del 算子)。在三维笛卡尔坐标系中，它的定义是：$$ \nabla = \mathbf{i} \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j} \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k} \frac{\partial}{\partial z} $$其中 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 分别是 $x, y, z$ 方向的单位矢量。下面我们将分别推导梯度、散度和旋度的计算公式及其物理意…

一、格林公式1、公式内容$$ \oint_{C} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$其中$C$为闭合曲线，$D$为曲线围成的区域。2、证明假设区域$D$是$y$关于$x$的单值区域，形如：$$ D = \{(x, y)\mid a \leq x \leq b, \varphi_1(x) \leq y…