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一、林德伯格-莱维中心极限定理 (Lindeberg-Lévy CLT)1、定理内容设${X_n}$是独立同分布的随机变量序列，且满足：期望存在：$E[X_k] = \mu < \infty$方差存在：$Var(X_k) = \sigma^2 < \infty$ ($\sigma > 0$)则对于部分和$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$，有标准化随机变量：$$ Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{\overline{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt…

一、不定积分（Indefinite Integral）数学定义：$$ \int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C,\quad \text{其中 } F'(x) = f(x) $$通俗解释： 找到一个函数，其导数为已知函数 $f(x)$，即反导数。二、定积分（Definite Integral）数学定义：$$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i $$通俗解释： 表示函数图像与 $x$ 轴之间在…

1、定理内容刚体系统的总动能$K$等于质心平动能$\frac{1}{2}Mv_{cm}^2$与各质点相对质心的动能$K'$之和：$$ K = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + K' $$2、证明过程坐标系设定：实验室系：$\vec{r}_i$质心系：$\vec{r}_i = \vec{r}_{cm} + \vec{r}_i'$速度关系：$$ \vec{v}_i = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_i' $$总动能表达式：$$ \begin{align*} K &= \sum \fr…

一、平行轴定理 (Parallel Axis Theorem)1、定理内容刚体关于任意轴的转动惯量$I$，等于关于通过质心的平行轴的转动惯量$I_{cm}$加上刚体质量$M$与两轴间距离$d$平方的乘积：$$ I = I_{cm} + Md^2 $$2、证明过程坐标系设定：设质心轴为$z'$轴，任意平行轴为$z$轴两轴间距$d$在$x$-$y$平面内，设$d$沿$x$方向转动惯量定义：$$ I_{cm} = \sum m_i (x_i'^2 + y_i'^2) $$$$ I = \sum m_i [(x_i' + …

本篇文章讨论几种特殊形式的二阶微分方程，他们可以经过适当的变量替换降阶为一阶微分方程，称为可降阶的二阶微分方程，这里所用的一些处理方法，对于高阶方程也适用。下面讨论三种情况下的求解方法。一、$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=f(x)$型的微分方程对于标题指出的这类方程，只需积分两次，就能求得解。积分一次得到：$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\int f(x)\mathrm{d}x+c_1 $$再积分一次得到：$$ \begin{aligned}y&=\int\left[…

一、依概率收敛（Convergence in Probability）严谨定义：设 $\{X_n\}$ 是一列随机变量，$X$ 是某个随机变量。如果对任意的 $\varepsilon > 0$，都有$$ \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0, $$则称 $X_n$ 依概率收敛于 $X$，记作 $X_n \xrightarrow{P} X$。通俗解释：依概率收敛意味着：当 $n$ 越来越大时，$X_n$ 跟 $X$ 越来越“接近”的概率越来越大。虽然每个 $X_n$ 本身是随机的，…

一、线性微分方程1、方程形式我们将未知函数 $y$ 及其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$ 是一次式的 $n$ 阶微分方程，称为线性微分方程。这是在应用中经常遇到的一类方程，其一般形式是：$$ \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n} + p_1(x) \frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + p_{n-1}(x) \frac{\m…

一、全微分方程定义与性质我们将一阶方程改写为对称的形式：$$ M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y = 0 $$如果上式的左边恰好是某一个二元函数 $u(x, y)$ 的全微分，即：$$ M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y = \mathrm{d}u(x, y) $$则称之为全微分方程，$u(x, y)$ 称为它的一个原函数。设 $y = y(x)$ 是全微分方程的一个解，且 $y(x_0) = y_0$。则：$$ M(x, y(x)) \mathrm{d}x + N(…

一般，在一个（组）方程中，如果未知量是一个（组）函数，而且该方程中含有此未知函数的导数，则称这种方程为微分方程（组），如果在微分方程里，出现的未知函数是单个自变量的函数，我们称这一类微分方程为常微分方程。下面通过几篇文章，推导各种常微分方程的求解方法。一、可分离变量方程我们首先讨论已解出导数的一阶微分方程的一种特殊形式$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(x)\psi(y) $$的方程，其特点是，方程右边是一个$x$的函数与一个$y$的函数的乘积，我们称这类方程为可分离变量的微分方程。设$\varphi(x…

一、协方差1、协方差的定义回想数学期望的性质之一，对于相互独立的随机变量$X$和$Y$，当其数学期望都存在时，有$E(XY)=E(X)E(Y)$，而此式等价于：$$ E[(X-E(X))(Y-E(Y))]= 0\ $$那么当$E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\neq0$时，$X$和$Y$一定不独立，也就是它们之间存在某种相依关系。因此我们认为$E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$可以在一定程度上反映出$X$和$Y$的某种关系，由此给出下面的定义：对于数学期望都存在的随机变量$X$和$Y$，当$(X-E(X))(Y-E(Y))$的数学期望存在时，…

一、方差的定义与性质方差是对随机变量取值离散程度的度量。 离散型随机变量 $X$ 的方差定义为$$ \mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - \mu)^2\bigr] = \sum_k (x_k - \mu)^2 p_k $$连续型随机变量 $X$ 的方差定义为$$ \mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - \mu)^2\bigr] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x)\,\mathrm{d}x $$方差也可表示为$$ \mathrm{Var}(X) = E\bigl[X…

一、数学期望的定义与计算方法1、离散型随机变量设离散随机变量 $X$ 有可取值 $\{x_i\}$，对应概率 $P(X=x_i)=p_i$。则$$ E[X] = \sum_i x_i\,p_i. $$2、连续型随机变量设连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$，则$$ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,\mathrm{d}x. $$二、离散型随机变量的期望推导1、0–1 分布（Bernoulli 分布）定义：$X\sim\mathrm{B}(p)$，即$$ P(X=1)=p,\quad P(X=0…

极坐标变换的雅可比行列式推导过程是理解多变量积分中变量替换的核心。以下是详细推导，结合几何直观与代数计算，验证其正确性。一、极坐标变换的定义将笛卡尔坐标 $(x, y)$ 转换为极坐标 $(r, \theta)$：$$ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $$其中：$ r \geq 0 $ 是到原点的距离，$ \theta \in [0, 2\pi) $ 是与 $x$-轴的夹角。二、雅可比矩阵的构造雅可比矩阵由 $x$ 和 $y$ 对 $r$ 和 $\theta$ 的一阶偏导数构成：$$ J = \beg…

一、雅可比矩阵的定义与推导雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述向量值函数一阶偏导数的矩阵。对于一个函数 $ \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $，其雅可比矩阵 $ J_{\mathbf{F}} $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，元素为各输出分量对输入变量的偏导数：$$ J_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\…

流体运动的描述主要有两种基本方法：拉格朗日方法（Lagrangian Description）：跟踪流体中各个微小粒子的运动，描述粒子在随时间演化过程中的位置、速度和加速度。欧拉方法（Eulerian Description）：在固定的空间控制体上描述流体的各种物理量（如速度、密度、压强等）随时间的变化。下面分别对这两种方法进行详细推导介绍。一、拉格朗日方法拉格朗日方法关注流体中每个微元粒子，标记每个粒子在初始时的参照位置 $\mathbf{X}$，其随时间的运动由映射函数描述。设$$ \mathbf{x} = \boldsymbol{\chi}(\ma…