第 10 页

本文系统介绍一般线性微分方程的部分解法，包括：变量变换法（欧拉方程、降阶法、特殊变系数方程）、变动任意常数法、幂级数解法（定理、$\gamma$ 阶贝塞尔方程及其解）。一、变量变换法1、欧拉方程（Cauchy-Euler 方程）典型形式：$$ a_{0}x^{n}\frac{\mathrm{d}^{n}n}{\mathrm{d}x^{n}}+a_{1}x^{n-1}\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_{n}…

一、二重极限的定义设函数$f(x, y)$在区域$D$内，点$(x_0, y_0)$是$D$的聚点。若$$ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A $$则称$A$为$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处的二重极限，记作$$ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A $$二、证明二重极限存在的方法1、直接利用$\varepsilon-\delta$定义法定义： 若对任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$0 <…

一、空间曲线的切线与法平面1、曲线为参数方程表示设空间曲线$C$的参数方程为：$$ \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} $$其中$t$为参数。其切向量为：$$ \vec{r}'(t) = \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \right) $$曲线在点$P(x_0, y_0, z_0)$处…

本文将系统介绍常系数线性微分方程的解法方法，分别包括二阶常系数齐次线性微分方程、$n$ 阶常系数齐次线性微分方程、以及常系数非齐次线性微分方程的解法。详细推导各步骤，便于理解和掌握。一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法考虑如下方程：$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + a_1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_0 y = 0 $$其中 $a_0, a_1$ 为常数。1、特征方程法设 $y = e^{\lambda x}$，代入原方程：$$ \frac{\mathrm{d}^2…

一、经典物理的困境在19世纪末，经典物理（牛顿力学、麦克斯韦电磁学）面临一系列实验事实的挑战。狭义相对论正是在这些困境下应运而生，并彻底改变了我们对时空的看法。1、关键实验现象与问题时间膨胀实验观测：静止$\pi$介子的平均寿命为$26.0$纳秒（$\mathrm{ns}$），而以$0.913$倍光速（$0.913c$）运动的$\pi$介子寿命扩展为$63.7\mathrm{ns}$。意义：表明时间间隔并非绝对；牛顿力学无法解释这一现象，因为其认为“时间是绝对的”。长度收缩实验观测：实验室测得高速$\pi$介子的运动距离为$17.4$米，但与$\pi$介…

曲面积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲面积分（标量场的曲面积分）和第二类曲面积分（向量场的曲面积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法及其变形推导。一、第一类曲面积分（对面积的积分）1、定义设$S$是空间中的一个光滑曲面，$f(x, y, z)$是在$S$上定义的标量函数。第一类曲面积分是指对$f$沿$S$的面积积分，记作：$$ \iint_S f(x, y, z)\, \mathrm{d}S $$其中，$\mathrm{d}S$表示曲面$S$上的面积微元。2、几何意义$\mathrm{d}S$是曲面$S$上一小块的面积，$…

曲线积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲线积分（标量场曲线积分）和第二类曲线积分（向量场曲线积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法和常见性质。一、第一类曲线积分（对弧长的积分）1、定义设$C$是空间中的一条光滑有向曲线，$f(x, y, z)$是定义在$C$上的一个标量函数。第一类曲线积分是指对$f$沿$C$的弧长$s$积分，记作：$$ \int_C f(x, y, z) \, \mathrm{d}s $$其中，$\mathrm{d}s$表示曲线$C$上的弧长微元。2、几何意义$\mathrm{d}s$表示曲线$C$上一小段…

一、抽样分布定义统计量的分布称为抽样分布 (sampling distribution)。在使用统计量进行统计推断时需要知道抽样分布。一般情况下，要给出统计量的精确分布是很困难的，但在某些特殊情形下，如总体服从正态分布的情形下，我们可以给出某些统计量的精确分布，这些精确的抽样分布为正态总体情形下的参数推断提供了理论依据。在数理统计中，最重要的三个抽样分布为 $\chi^{2}$ 分布，$t$ 分布和 $F$ 分布。二、$\chi^2$ 分布1、$\chi^2$ 分布的定义设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 为独立同分布的随机变量，且都服从标准正…

一、统计量的定义设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$g(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 是样本 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 的函数，若$g$不含未知参数，则称 $g(X_1,X_2,\cdots,X_n$)是一统计量。二、常用统计量在统计学中，根据不同的目的可以构造出许多不同的统计量，下面是几个常用的重要统计量：样本均值$$ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i $$样本方差$$ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{…

一、林德伯格-莱维中心极限定理 (Lindeberg-Lévy CLT)1、定理内容设${X_n}$是独立同分布的随机变量序列，且满足：期望存在：$E[X_k] = \mu < \infty$方差存在：$Var(X_k) = \sigma^2 < \infty$ ($\sigma > 0$)则对于部分和$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$，有标准化随机变量：$$ Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{\overline{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt…

一、不定积分（Indefinite Integral）数学定义：$$ \int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C,\quad \text{其中 } F'(x) = f(x) $$通俗解释： 找到一个函数，其导数为已知函数 $f(x)$，即反导数。二、定积分（Definite Integral）数学定义：$$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i $$通俗解释： 表示函数图像与 $x$ 轴之间在…

1、定理内容刚体系统的总动能$K$等于质心平动能$\frac{1}{2}Mv_{cm}^2$与各质点相对质心的动能$K'$之和：$$ K = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + K' $$2、证明过程坐标系设定：实验室系：$\vec{r}_i$质心系：$\vec{r}_i = \vec{r}_{cm} + \vec{r}_i'$速度关系：$$ \vec{v}_i = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_i' $$总动能表达式：$$ \begin{align*} K &= \sum \fr…

一、平行轴定理 (Parallel Axis Theorem)1、定理内容刚体关于任意轴的转动惯量$I$，等于关于通过质心的平行轴的转动惯量$I_{cm}$加上刚体质量$M$与两轴间距离$d$平方的乘积：$$ I = I_{cm} + Md^2 $$2、证明过程坐标系设定：设质心轴为$z'$轴，任意平行轴为$z$轴两轴间距$d$在$x$-$y$平面内，设$d$沿$x$方向转动惯量定义：$$ I_{cm} = \sum m_i (x_i'^2 + y_i'^2) $$$$ I = \sum m_i [(x_i' + …

本篇文章讨论几种特殊形式的二阶微分方程，他们可以经过适当的变量替换降阶为一阶微分方程，称为可降阶的二阶微分方程，这里所用的一些处理方法，对于高阶方程也适用。下面讨论三种情况下的求解方法。一、$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=f(x)$型的微分方程对于标题指出的这类方程，只需积分两次，就能求得解。积分一次得到：$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\int f(x)\mathrm{d}x+c_1 $$再积分一次得到：$$ \begin{aligned}y&=\int\left[…

一、依概率收敛（Convergence in Probability）严谨定义：设 $\{X_n\}$ 是一列随机变量，$X$ 是某个随机变量。如果对任意的 $\varepsilon > 0$，都有$$ \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0, $$则称 $X_n$ 依概率收敛于 $X$，记作 $X_n \xrightarrow{P} X$。通俗解释：依概率收敛意味着：当 $n$ 越来越大时，$X_n$ 跟 $X$ 越来越“接近”的概率越来越大。虽然每个 $X_n$ 本身是随机的，…