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一、抛体运动1. 运动分解与受力分析假设条件：忽略空气阻力，仅受重力 $\vec{F} = -mg\hat{j}$，初速度 $\vec{v}_0 = v_0 \cos\theta_0 \hat{i} + v_0 \sin\theta_0 \hat{j}$。牛顿第二定律$$ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = -g\hat{j} $$2. 速度与位移公式推导水平方向（$x$ 轴）：匀速运动速度：$v_x = v_0 \cos\theta_0$位移：$$ x(t) = v_0 \cos\theta_0 \cdot t $$竖直方向（$…

在平面极坐标系中，质点的位置由径向坐标 $r$ 和角坐标 $θ$ 描述。一、位置矢量位置矢量 $\mathbf{r}$ 在极坐标系中表示为：$$ \mathbf{r} = r \hat{r} $$其中，$\hat{r}$ 是径向单位矢量。二、速度矢量速度 $\mathbf{v}$ 是位置矢量的时间导数：$$ \mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r \hat{r}) = \frac{\mathrm{d}r}{\mathr…

一、级数定义与其收敛发散性1、定义：级数、部分数列和给定数列 $\{a_n\}$，将其每一项依次用“+”号连接起来的表达式：$$a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots $$称为无穷级数。由于其通项 $a_n$ 都是常数，也称之为常数项级数，记作 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$。在级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ 中，前 $n$ 项的和：$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，称为该级数的部分和。所得的数列 $\{S_n\}$ 称为部分和数列。级数 $\s…

一、离散型随机变量分布列离散型随机变量的分布列是指随机变量取各个可能值的概率列表。设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，则其分布列为：$$ P(X = x_i) = p_i, \quad i = 1, 2, \ldots, n $$其中 $p_i \geq 0$ 且 $\sum_{i=1}^n p_i = 1$。1. 0-1 分布（伯努利分布）0-1 分布是描述只有两种可能结果的单次试验的分布。设随机变量 $X$ 表示试验结果，$X = 1$ 表示“成功”，$X = 0$ 表示“失败”，则其分布列为：$$…

一、线性空间1、定义：线性空间设$V$ 是一个非空集合，$\mathbf{F}$ 是一个数域，我们定义两种运算，其中第一个运算是我们， 熟知的加法$+$。在线性空间的定义中，我们要求$\langle V:+\rangle$构成 Abel 群，即其中元素满足如下运算律：（加法结合律）$\alpha + ( \beta + \gamma ) = ( \alpha + \beta ) + \gamma$, $\forall \alpha , \beta , \gamma \in V$（加法单位元）$\exists0\in V$使得$\forall\alpha\…

一、不定积分的基本性质$$\int kf(x)dx = k \int f(x)dx$$$$\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$$二、基本积分公式1) 常数类$$\int 1dx = x + C \quad (\text{或} \quad \int dx = x + C)$$$$\int kdx = kx + C$$2) 幂函数类$$\int x^{\mu}dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C \quad (\mu \neq -1)$$$$\int \frac…

一、基本等价无穷小$\sin x \sim x$$\tan x \sim x$$\arcsin x \sim x$$\arctan x \sim x$$e^x - 1 \sim x$$\ln(1 + x) \sim x$$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$$(1 + x)^a - 1 \sim a x$ （$a$ 为常数）$a^x - 1 \sim x \ln a$ （$a > 0$ 且 $a \neq 1$）二、高阶等价无穷小$\sin x - x \sim -\frac{1}{6}x^3$$\tan x - x \s…

指数函数 $$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$正弦函数 $$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $$余弦函数 $$ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2…

一、第一类反常积分定义设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，于是对于任意$t>a$，积分$\int_a^tf(x)\mathrm{d}x$存在，它是$t$的函数，称记号$$ \int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\xlongequal{\text{def}}\lim_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\mathrm{d}x $$为函数$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty)$上的反常积分（或第一类反常积分）同样地，设函数$f(x)$在区间$(-\infty,b]$上连续，于是对于任意…

一、求平面图形的面积求曲线$y=f_1(x),y=f_2(x)$（均连续），$x=a,x=b,(a<b)$围成的平面图形面积，为：$$ S=\int_a^b|f_2(x)-f_1(x)|\mathrm{d}x $$二、求夹在两平面间的立体的体积设$\Omega$为一空间立体，它夹在垂直于$Ox$轴的两平面$x=a,x=b$之间$(a<b)$，我们称$\Omega$为位于$[a,b]$上的空间立体。在区间$[a,b]$上任取一点$x$处，做垂直于$Ox$轴的平面，它截得立体$\Omega$的截面面积显然是$x$的函数，设$x$为连续函数，记为$…

注：本文中的计算方法，不包括牛顿莱布尼茨公式和求不定积分的四种方法。一、利用被积函数的奇偶性设$f(x)$在$[-a,a]$上连续，则：若$f(x)$为偶函数：$$\int^a_{-a}f(x)\mathrm{d}x=2\int^a_0f(x)\mathrm{d}x$$若$f(x)$为奇函数：$$\int^a_{-a}f(x)\mathrm{d}x=0$$可使用换元（令$t=-x$）证明上面结论。方法一的推论：若$f(x)$在$[-a,a]$上连续，则：$$\int_{-a}^af(x)\mathrm{d}x=\int^a_0[f(x)+f(-x)]\m…

以正弦函数的沃利斯公式为例：记$I_n=\int_0^{\frac \pi 2}\sin^nx\mathrm{d}x$，当$n\geq2$时，应用凑微分和分部积分得：$$ \begin{aligned} I_n=&\int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{d}x\\ =&-\Big[\sin^{n-1}x \cos x \big|^{\frac \pi 2}_0-\int_0^{\frac\pi 2}\cos x \mathrm{d}(\sin^{n-2}x)\Big]\\ =&-\Big[0-0-(n-1…

一、Cicso IOS简介每台计算机需要有操作系统才能工作，包括基于计算机的交换机、路由器、接入点和防火墙等网络设备。这些网络设备使用的操作系统称为网络操作系统。网络操作系统软件使设备硬件能工作并为用户提供交互界面。学习在思科路由器和交换机上配置 Cisco Internetwork Operating System (IOS) 操作系统是思科CCNA课程学习很大一部分Cisco IOS 是思科的交换机和路由器等设备使用的网络操作系统的通用术语。大多数思科网络设备，无论其大小和种类如何，都离不开 Cisco IOS。二、IOS训练营1、Cisco IOS…

优先级运算符名称或含义使用形式结合方向1[]数组下标数组名\[常量表达式]左到右 ()圆括号(表达式)/函数名(形参表) .成员选择（对象）对象.成员名 ->成员选择（指针）对象指针->成员名 2-负号运算符-表达式右到左 ~按位取反运算符~表达式 ++自增运算符++变量名/变量名++ --自减运算符--变量名/变量名-- *取值运算符*指针变量 &取地址运算符&变量名 !逻辑非运算符!表达式 (类型)强制类型转换(数据类型)表达式 sizeof长度运算符sizeof(表达式) 3/除表达式/表达式左到右 *乘表达式*表达式 …

一、IP地址和子网掩码1、IP地址的用途IP地址是用于标识特定主机的逻辑地址。为了与Internet上其它设备通信，它必须唯一、不能冲突。通过Internet发送的每个数据包都有源IP地址和目的IP地址。网络设备必须了解这些地址，才能确保信息到达目的设备、所有应答都能返回源设备。IP地址将分配给主机上的网络接口卡（即网卡NIC），包括具有网络接口的最终用户设备：工作站、服务器、网络打印机、IP电话及智能手机、平板等。某些主机有多块网卡（每块都有各自的IP地址）但是有时一块网卡也可以有不止一个IP地址。2、IPv4地址的结构IP地址是32个二进制位的数字串…