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一、线性微分方程1、方程形式我们将未知函数 $y$ 及其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$ 是一次式的 $n$ 阶微分方程，称为线性微分方程。这是在应用中经常遇到的一类方程，其一般形式是：$$ \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n} + p_1(x) \frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + p_{n-1}(x) \frac{\m…

一、全微分方程定义与性质我们将一阶方程改写为对称的形式：$$ M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y = 0 $$如果上式的左边恰好是某一个二元函数 $u(x, y)$ 的全微分，即：$$ M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y = \mathrm{d}u(x, y) $$则称之为全微分方程，$u(x, y)$ 称为它的一个原函数。设 $y = y(x)$ 是全微分方程的一个解，且 $y(x_0) = y_0$。则：$$ M(x, y(x)) \mathrm{d}x + N(…

一般，在一个（组）方程中，如果未知量是一个（组）函数，而且该方程中含有此未知函数的导数，则称这种方程为微分方程（组），如果在微分方程里，出现的未知函数是单个自变量的函数，我们称这一类微分方程为常微分方程。下面通过几篇文章，推导各种常微分方程的求解方法。一、可分离变量方程我们首先讨论已解出导数的一阶微分方程的一种特殊形式$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(x)\psi(y) $$的方程，其特点是，方程右边是一个$x$的函数与一个$y$的函数的乘积，我们称这类方程为可分离变量的微分方程。设$\varphi(x…

一、协方差1、协方差的定义回想数学期望的性质之一，对于相互独立的随机变量$X$和$Y$，当其数学期望都存在时，有$E(XY)=E(X)E(Y)$，而此式等价于：$$ E[(X-E(X))(Y-E(Y))]= 0\ $$那么当$E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\neq0$时，$X$和$Y$一定不独立，也就是它们之间存在某种相依关系。因此我们认为$E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$可以在一定程度上反映出$X$和$Y$的某种关系，由此给出下面的定义：对于数学期望都存在的随机变量$X$和$Y$，当$(X-E(X))(Y-E(Y))$的数学期望存在时，…

一、方差的定义与性质方差是对随机变量取值离散程度的度量。 离散型随机变量 $X$ 的方差定义为$$ \mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - \mu)^2\bigr] = \sum_k (x_k - \mu)^2 p_k $$连续型随机变量 $X$ 的方差定义为$$ \mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - \mu)^2\bigr] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x)\,\mathrm{d}x $$方差也可表示为$$ \mathrm{Var}(X) = E\bigl[X…

一、数学期望的定义与计算方法1、离散型随机变量设离散随机变量 $X$ 有可取值 $\{x_i\}$，对应概率 $P(X=x_i)=p_i$。则$$ E[X] = \sum_i x_i\,p_i. $$2、连续型随机变量设连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$，则$$ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,\mathrm{d}x. $$二、离散型随机变量的期望推导1、0–1 分布（Bernoulli 分布）定义：$X\sim\mathrm{B}(p)$，即$$ P(X=1)=p,\quad P(X=0…

极坐标变换的雅可比行列式推导过程是理解多变量积分中变量替换的核心。以下是详细推导，结合几何直观与代数计算，验证其正确性。一、极坐标变换的定义将笛卡尔坐标 $(x, y)$ 转换为极坐标 $(r, \theta)$：$$ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $$其中：$ r \geq 0 $ 是到原点的距离，$ \theta \in [0, 2\pi) $ 是与 $x$-轴的夹角。二、雅可比矩阵的构造雅可比矩阵由 $x$ 和 $y$ 对 $r$ 和 $\theta$ 的一阶偏导数构成：$$ J = \beg…

一、雅可比矩阵的定义与推导雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述向量值函数一阶偏导数的矩阵。对于一个函数 $ \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $，其雅可比矩阵 $ J_{\mathbf{F}} $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，元素为各输出分量对输入变量的偏导数：$$ J_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\…

流体运动的描述主要有两种基本方法：拉格朗日方法（Lagrangian Description）：跟踪流体中各个微小粒子的运动，描述粒子在随时间演化过程中的位置、速度和加速度。欧拉方法（Eulerian Description）：在固定的空间控制体上描述流体的各种物理量（如速度、密度、压强等）随时间的变化。下面分别对这两种方法进行详细推导介绍。一、拉格朗日方法拉格朗日方法关注流体中每个微元粒子，标记每个粒子在初始时的参照位置 $\mathbf{X}$，其随时间的运动由映射函数描述。设$$ \mathbf{x} = \boldsymbol{\chi}(\ma…

伯努利方程描述了理想流体在稳态、不可压、无粘等条件下沿流线的能量守恒关系，其数学形式为$$ \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gz = \text{常数}, $$其中$p$ 为流体压强$\rho$ 为流体密度$v$ 为流体速度$z$ 为高度（或任意参考坐标系中的位移）$g$ 为重力加速度下面给出两种推导方法。方法一：基于欧拉方程的推导对于无粘、不可压的理想流体，欧拉方程写为$$ \rho\frac{\mathrm{D}\mathbf{v}}{\mathrm{D}t} = -\nabla p + \rho \mathbf{g…

设 $(X,Y)$ 为二元随机变量，其联合密度函数为 $f_{X,Y}(x,y)$（对于离散变量则讨论概率函数），下列公式给出不同变换函数 $Z=g(X,Y)$ 的分布推导方法。下面推导过程都假设 $X,Y$ 不是相互独立的，如果独立的话，可以进行下述化简：$$ F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)+F_Y(y) $$一、线性变换：$Z=aX+bY$方法1：变量替换（雅可比变换法）选择变换$$ \begin{cases} z = a x + b y,\\[1mm] w = x \quad (\text{或其它与 }z \text{无关的函数}) \en…

一、极限存在证明 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 处的极限存在，需要证明存在常数 $L$，满足$$ \lim_{(x,y)\to (a,b)} f(x,y) = L, $$即利用 $\epsilon$-$\delta$ 定义证明$$ \forall \epsilon > 0,\, \exists \delta > 0,\quad \text{使得当 } \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \text{ 时，有 } |f(x,y)-L|<\epsilon. $$常用方法包括夹逼定理、改用极坐标或沿各方向…

在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。一、连续型随机变量的卷积设 $X$ 和 $Y$ 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。那么随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 为：$$ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx. $$该公式称为卷积公式。其中对 $x$ 的积分表示所有可能的 $X…

在讨论二维函数极限问题时，“重极限”和“累次极限”是两个常见的概念。一、重极限（双变量极限）设 $f(x,y)$ 是定义在某区域内的函数，我们说$$ \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = L $$的含义是：对于任意给定的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得当$$ 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta $$时，有$$ \bigl|f(x,y)-L\bigr|<\varepsilon. $$这种定义要求无论 $(x,y)$ 如何趋近…

在二维欧几里得空间中，我们常常用邻域来描述一个点周围的“微小区域”。对于一个点 $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$，两种常见的邻域是圆邻域和方邻域。下面我们详细讨论它们的定义、公式推导及两者之间的关系。一、定义与基本公式1、圆邻域（开圆盘）圆邻域使用欧几里得距离，也称为 $L^2$ 范数。对于给定半径 $r>0$，点 $(x_0, y_0)$ 的开圆邻域定义为$$ B\big((x_0, y_0), r\big)=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} &l…