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一、光速在真空中：$$ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} $$在介质中：$$ v=\frac{1}{\sqrt{\kappa_m\kappa_m\mu_0\varepsilon_0}}=\frac{e}{\sqrt{\kappa_m\kappa_e}} $$即：$$ v=\frac{c}n $$其中$n=\sqrt{\kappa_m\kappa_e}$二、光的多普勒效应当光速远大于源与观察者之间的相对速度$v$时，可以采用经典多普勒公式进行近似：设光源发出频率为$f_0$，观察者接收到的频率为$f$。光在真空中的…

一、电磁波的产生1、静止电荷当一个电荷静止时，它只在空间周围产生静电场 $\vec{E}$。在这个情况下，电场的能量密度为：$$ u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 $$其中，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数，$E$ 是电场强度。此时，空间中没有变化的磁场，也没有能量或动量的传播，因此不会产生电磁波。2、匀速运动的电荷当一个电荷以恒定速度运动时，它会产生恒定的磁场 $\vec{B}$。磁场的能量密度为：$$ u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0} $$其中，$\mu_0$ 是真空磁导率，$B$…

一、位移电流在原始的安培环路定理中，只考虑了电流产生磁场：$$ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 i $$但在电容充放电等情况下，电流的连续性会断开（比如电容板之间没有实际电流通过），这导致了矛盾。例如，如果我们取一个环路穿过电容板之间的空间，按安培定律，环路上应有磁场，但空间中没有实际电流。或者说选取下图中圈1作为安培环路，利用斯托克斯公式，将积分写为面积分形式，发现如果取得曲面是2或者4，则不存在问题，但是若是取曲面3，曲面3并不包括任何电流，导致这一细节问题产生。麦克斯韦为了解决这个矛盾，引…

一、法拉第电磁感应引入当一块磁铁穿过闭合线圈时，电路中会产生电流。定义磁通量，描述穿过某个表面的磁场流量的物理量，表达式为：$$ \varPhi=\iint \vec{B}\cdot \mathrm{d} \vec{A} $$法拉第电磁感应定律是电磁学中的一条基本定律，主要用于描述磁场与电路之间的相互作用。该定律指出，当通过导体回路的磁通量发生变化时，会在回路中产生电动势。其数学表达式为：$$ E=-\frac{\mathrm{d}\varPhi}{\mathrm{d}t} $$二、楞次定律在法拉第电磁感应定律中，电动势的方向遵循右手定则：伸平右手使姆指…

一、安培力1、安培力推导安培力是通电导线在磁场中受到的作用力。根据上一篇文章磁学的基本现象和规律，可知安培定律的表达式为：$$ \mathrm{d}\vec{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i_2\mathrm{d}\vec{s}_2\times(i_1\mathrm{d}\vec{s}_1\times\hat{r}_{12})}{r_{12}^2} $$以及毕奥-萨法尔定律：$$ \mathrm{d}\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i\,\mathrm{d}\vec{s} \time…

一、安培定律安培定律的核心在于描述电流之间的磁场与力的关系。具体来说，先是电流产生磁场，第一段导线上的电流$i_{1}$会在其周围空间产生磁场$\vec{B}$（见下面的毕奥-萨伐尔定律），磁场方向由右手定则确定。然后磁场对第二段导线产生作用，第二段导线上的电流$i_{2}$受到第一段导线产生的磁场$\vec{B}$的作用力。此力遵循洛伦兹力公式：$$ \mathrm{d}\vec{F}_{12}=i_2\mathrm{d}\vec{s}_2\times\vec{B} $$结合第一段导线产生的磁场表达式，可以推导出安培定律的形式。力的方向通过矢量叉乘确定…

一、电容1、电容的定义电容器由两个空间上分离的导体组成，分别可以带电为$+q$和$−q$。电容定义为电容器一个导体上所带电荷与两个导体之间电势差的比值：$$ C=\frac{q}{\Delta V} $$电容只与电容器本身有关，与电荷和电压无关，它取决于极板的形状、相对位置以及填充在极板之间的材料。2、不同类型电容器电容的计算(1) 平行板电容器上面平行板电容器的上下表面分别带电$+q,-q$，电势差为$\Delta V$，两板之间的距离为$d$。首先写出电容的计算式：$$ C=\frac{q}{\Delta V} $$设电荷面密度：$$ q=\sigm…

一、静电场的环路定律我们根据图示逐步推导静电场的环路定理（即闭合路径上的电场沿路径积分为零）。静电场是由静止电荷分布产生的。对于静电场来说，其电场 $\vec{E}$ 与电势（$V$）满足关系：$$ \vec{E} = -\nabla V $$电势$V$是标量场，描述了静电场各点的能量。设路径沿 $C$（如图中的闭合回路），则电场的环路积分可以表示为：$$ \oint_C \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} $$其中$\mathrm{d}\vec{l}$是路径上的微小位移向量。如图所示，我们考虑沿环路$C$的积分路径，有两个部…

一、通量通量的计算公式：$$ \Phi = \vec{v}\cdot\vec{A} $$其中$\vec{v}$为速度，$\vec{A}$为面积矢量，方向为其任意法向。二、高斯定理1、闭合曲面的通量任意形状的闭合曲面，规定面积的法向指向外，流入该曲面的通量与流出该曲面的通量相等，也就是说，闭合曲面的流量代数和为$0$。$$ \begin{aligned} \Phi &= {\int\kern{-8pt}\int \kern{-23mu} \bigcirc} \vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{A}\\ \mathrm{d} \Ph…

一、电偶极子考虑两个等量异号的点电荷 $+Q$ 和 $-Q$，分别位于 $(0,-a)$ 和 $(0,a)$，即沿 $y$ 轴对称分布。定义电偶极矩为$$ \vec{p} = 2Qa $$方向为负电荷指向正电荷，大小为电荷与距离的乘积1、电偶极子在$(x,0)$上产生的电场由对称性，$E_x=0$，只需要计算$E_y$：$$ E_{y}=-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_{_0}}\frac{Q}{r^2}\sin\theta $$其中：$$ \sin\theta=\frac{a}{r},\quad r^2=x^2+a^2 $$所以：…

一、库仑定律真空中两静止点电荷 $q_1,q_2$ 之间的的库仑力 $F$ 大小为：$$ F=k\frac{q_1q_2}{r^2} $$其中 $k$ 为库仑常数，大小为 $9.0\times 10^9\mathrm{Nm^2/C^2}$ 。常常进入真空中的介电常数 $\varepsilon_0=\frac{1}{4\pi k}$ ，将库仑定律写为以下形式：$$ F=\frac{1}{4\pi k}\cdot\frac{q_1q_2}{r^2} $$观察库仑定律的形式，可以发现库仑定律形式与万有引力公式形式十分相似。然而在万有引力公式中，是首先根据 $F…

一、奥托循环（Otto Cycle）1. 循环过程描述奥托循环由四个过程组成（以理想气体为工质）：$1 \rightarrow 2$：绝热压缩$2 \rightarrow 3$：等容加热（燃烧过程，吸热$Q_\mathrm{in}$）$3 \rightarrow 4$：绝热膨胀$4 \rightarrow 1$：等容冷却（排气，放热$Q_\mathrm{out}$）2、过程物理量变化与公式推导（1）绝热过程（$1\rightarrow2$, $3\rightarrow4$）绝热条件下，$$ pV^\gamma = \mathrm{const} $$$$ …

设两列波的表达式均为：$$ f_1(x,t) = A_1 \cos(k_1 x + \omega_1 t + \varphi_1) $$$$ f_2(x,t) = A_2 \cos(k_2 x + \omega_2 t + \varphi_2) $$常见叠加情况如下：一、同频同波数同相位（完全相同的波）$$ f(x,t) = f_1(x,t) + f_2(x,t) = A_1 \cos(kx + \omega t + \varphi) + A_2 \cos(kx + \omega t + \varphi) $$直接合并：$$ f(x,t) = (A_1 …

一、经典物理的困境在19世纪末，经典物理（牛顿力学、麦克斯韦电磁学）面临一系列实验事实的挑战。狭义相对论正是在这些困境下应运而生，并彻底改变了我们对时空的看法。1、关键实验现象与问题时间膨胀实验观测：静止$\pi$介子的平均寿命为$26.0$纳秒（$\mathrm{ns}$），而以$0.913$倍光速（$0.913c$）运动的$\pi$介子寿命扩展为$63.7\mathrm{ns}$。意义：表明时间间隔并非绝对；牛顿力学无法解释这一现象，因为其认为“时间是绝对的”。长度收缩实验观测：实验室测得高速$\pi$介子的运动距离为$17.4$米，但与$\pi$介…

1、定理内容刚体系统的总动能$K$等于质心平动能$\frac{1}{2}Mv_{cm}^2$与各质点相对质心的动能$K'$之和：$$ K = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + K' $$2、证明过程坐标系设定：实验室系：$\vec{r}_i$质心系：$\vec{r}_i = \vec{r}_{cm} + \vec{r}_i'$速度关系：$$ \vec{v}_i = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_i' $$总动能表达式：$$ \begin{align*} K &= \sum \fr…