一、库仑定律
真空中两静止点电荷 $q_1,q_2$ 之间的的库仑力 $F$ 大小为：
$$ F=k\frac{q_1q_2}{r^2} $$
其中 $k$ 为库仑常数，大小为 $9.0\times 10^9\mathrm{Nm^2/C^2}$ 。常常进入真空中的介电常数 $\varepsilon_0=\frac{1}{4\pi k}$ ，将库仑定律写为以下形式：
$$ F=\frac{1}{4\pi k}\cdot\frac{q_1q_2}{r^2} $$
观察库仑定律的形式，可以发现库仑定律形式与万有引力公式形式十分相似。然而在万有引力公式中，是首先根据 $F=ma$ 得到力的大小后，测算出 $G$ 的值，而在库仑定律中，是首先确定 $k$ 的值，根据量纲，从而确定 $1\mathrm{C}=6\times 10^{18} \mathrm{e}$。
二、电荷
1、电荷密度
- 线电荷密度：$\lambda = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}x}$
- 面电荷密度：$\sigma = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}A}$
- 体电荷密度：$\rho = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}v}$
2、计算
例1：均匀带电环对点电荷$q_0$作用的库仑力是什么？
解：计算线密度：
$$ \lambda=\frac{q}{2\pi R} $$
然后得出库仑力$F$的微分方程：
$$ \mathrm{d}F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0\mathrm{d}q}{r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0\lambda R\mathrm{d}\phi}{(z^2+R^2)} $$
两边积分：（根据对称性，$x,y$方向的力相互抵消）
$$ \begin{aligned}F_z&=\int \mathrm{d}F_z\\&=\int \mathrm{d}F\cos\theta\\&=\int\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0\lambda R\mathrm{d}\phi}{(z^2+R^2)}\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\\&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0\lambda Rz}{\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\\&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0qz}{\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\end{aligned} $$
特别地，当$z\to \infty$时：
$$ F_z\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0q}{z^2} $$
当$z=0$时：
$$ F_z=0 $$
例2：均匀带电圆盘对点电荷$q_0$作用的库仑力是什么？
可以将均匀带电圆盘看成是无数个均匀带电的同心圆环叠加，使用微积分求解。面电荷密度为：
$$ \sigma = \frac{q}{\pi R^2} $$
每一段圆环的带电量：
$$ \mathrm{d}q=\sigma \mathrm{d}A=\sigma(2\pi\omega \mathrm{d}\omega)=2\pi\sigma\omega \mathrm{d}\omega $$
得到库仑力的微分方程：（$x,y$方向的库仑力相互抵消）
$$ \mathrm{d}F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0(2\pi\sigma\omega \mathrm{d}\omega)z}{\left(z^2+\omega^2\right)^{3/2}} $$
两边积分：
$$ \begin{aligned}F_z&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}q_02\pi\sigma z\int_0^R\frac{\omega \mathrm{d}\omega}{\left(z^2+\omega^2\right)^{3/2}}\\&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q_0q}{R^2}(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}})\end{aligned} $$
3、电荷守恒
(1)正负电荷湮灭现象
$$ e^++e^-=2\gamma $$
即一个正电子和负电子结合，会变成两个光子。
(2)中子的$\beta$衰变
$$ n \rightarrow p + e^- + \tilde{\nu}_e $$
即一个中子衰变成一个质子，产生一个电子和一个反电子中微子。
(3)中性$\pi$介子的衰变
$$ \pi^0 \rightarrow 2\gamma $$
中性$\pi$介子是由夸克-反夸克组成的不稳定粒子，它主要通过电磁相互作用衰变为两个光子。