流体运动通常采用欧拉描述，即研究物理量在空间和时间中的分布；质量守恒、牛顿运动定律和能量守恒等基本物理定律，则通常直接针对一个确定的物质系统建立。因而，建立流体运动基本方程时，需要把针对流体系统的物理规律转换为针对控制体的数学表达式。

这一转换的关键是体积分的随体导数：既要计入物理量在空间中的局部变化，也要计入流体穿越控制面所产生的输运。

一、流体的系统

1、系统、外界与边界

定义在连续介质假设下，由一组确定的、连续分布的流体质点组成的流体团，称为流体的系统，简称系统。系统可以是微元体积内的流体微团，也可以是有限体积内的流体团。系统的大小不影响其本质：在不同时刻，系统始终由同一组流体质点组成。系统以外的环境称为外界，分隔系统与外界的界面称为系统的边界。外界可以是其他流体，也可以是固体；系统的边界通常是由流体质点组成的物质面。

2、系统的主要特点

（1）系统随流体运动

系统内的流体质点不断运动，系统所占据的空间位置、体积大小和边界形状均可能随时间变化。然而，不论边界怎样运动和变形，系统内的流体质点始终属于该系统。因此，系统边界的运动与边界上流体质点的运动相适应，流体不会穿越系统的物质边界。

（2）系统与外界没有质量交换

由于系统由确定的流体质点组成，系统与外界之间没有流体质量交换，但可以存在力的相互作用，也可以通过热和功等方式交换能量。“没有质量交换”并不意味着系统不受外界影响，也不意味着系统的动量和能量保持不变。

二、流场中的控制体

1、控制体、控制面与外界

在流场中选取一个相对于某参考坐标系固定不动的空间体积，称为控制体。控制体的封闭表面称为控制面，控制面以外的空间称为外界。控制体可以具有规则形状，也可以具有任意形状；体积可以是微元体积，也可以是有限体积。

控制面既可以与实际界面重合，也可以是人为选取的几何面。实际界面包括流体与固体的接触面、自由液面，以及不同流体之间的接触界面等。选取实际界面作为控制面的一部分时，仍须满足所采用控制体的固定条件。

控制体所确定的是一块空间区域。在不同时刻，占据该区域的流体质点可以不同，因此控制体内不必始终包含同一组流体质点。

2、控制体的主要特点

（1）控制体相对于所选坐标系固定

控制体一经选定，其位置、体积和形状相对于所选参考坐标系保持不变，不随其中流体质点的运动而改变。这里的“固定”是相对于参考坐标系而言的。若参考坐标系本身运动，则控制体在其他坐标系中未必固定。

（2）流体可以穿越控制面

流体能够从控制面的一部分流入，并从另一部分流出。因此，控制体与外界之间可以发生质量交换，也可以存在力的相互作用和能量交换。某一控制面局部是否存在流体穿越，要由流体速度与控制面法线方向之间的关系决定；允许流体穿越控制面，并不表示控制面的每一部分都有流体穿越。

3、以控制体为研究对象的特点

控制体方法与欧拉描述相联系。由于研究区域固定，能够直接讨论物理量在该区域及其边界上的分布，适合多数工程问题，也便于应用场论和数学分析的方法。但是，控制体内的流体质点可以不断更换，不能把针对同一组流体质点建立的物理定律，直接解释为控制体内物理量的变化规律。必须同时考虑控制体内部的变化和流体穿越控制面的输运。将系统的运动规律转换为欧拉形式时，需要计入流体运动与物理量空间分布之间的联系。由此产生的对流项，是流体运动方程通常具有非线性的重要原因。

三、流体运动应遵循的基本定律

流体力学研究流体的宏观机械运动和热运动。建立基本方程时，既需要适用于一般物质运动的普适定律，也需要反映流体自身物质特性的关系。

1、反映物质运动普适特性的基本定律

1. 质量守恒定律
2. 牛顿运动定律
3. 能量守恒定律

2、反映流体自身物质特性的基本定律

（1）流体的本构方程

本构方程用于描述流体在运动过程中，应力张量与应变率张量之间的关系，从而反映流体的力学性质。对于牛顿流体，采用牛顿流体的本构关系。普适的运动定律与具体的本构关系相结合，才能描述具有相应物质性质的流体运动。

（2）流体的状态方程

状态方程用于描述流体固有的热力学性质，建立有关热力学状态量之间的关系。本构方程与状态方程的作用不同：前者反映流体的力学响应，后者反映流体的热力学状态关系。

四、体积分的随体导数

1、随体导数过程推导

在时刻 $t$ 的流场中，选取一个确定的流体系统，记其占据的体积区域为 $\tau(t)$，封闭边界为 $A(t)$。记空间位置矢量为 $\boldsymbol{r}$，单位体积流体所具有的某一物理量为 $\phi$。采用欧拉变量表示时，$\phi$ 是空间位置和时间的函数，即

$$ \phi=\phi(\boldsymbol{r},t) $$

系统内该物理量的总量记为 $I(t)$，则

$$ I(t)=\int_{\tau(t)}\phi(\boldsymbol{r},t)\,\mathrm{d}\tau $$

这里的 $\phi$ 是单位体积所含的物理量，而不是单位质量所含的物理量。记密度为 $\rho$，流体速度矢量为 $\boldsymbol{V}$，则密度与总量的对应关系为：

以下先对标量场 $\phi$ 推导。若物理量为矢量，则对各分量分别进行同样的运算，最后可合成为矢量形式。

系统内物理量总量的随时间变化率，称为该体积分的随体导数，记为

$$ \frac{\mathrm{D}I}{\mathrm{D}t} =\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} \int_{\tau(t)}\phi\,\mathrm{d}\tau $$

根据导数的定义：

$$ \frac{\mathrm{D}I}{\mathrm{D}t} =\lim_{\Delta t\to0} \frac{I(t+\Delta t)-I(t)}{\Delta t} $$

在时刻 $t+\Delta t$，同一系统占据的区域已经变为 $\tau(t+\Delta t)$，因此

$$ I(t+\Delta t) =\int_{\tau(t+\Delta t)} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau $$

这一表达式中，被积函数和积分区域都可能随时间变化。因而，不能只对 $\phi$ 求时间偏导数，还必须考虑系统边界运动所产生的贡献。将时刻 $t$ 的系统所占据的区域固定下来。对于足够小的正时间间隔 $\Delta t$，将两个时刻的区域分成三部分：

1. $\tau_2$：$\tau(t)$ 与 $\tau(t+\Delta t)$ 的公共部分。
2. $\tau_1$：属于 $\tau(t+\Delta t)$ 而不属于 $\tau(t)$ 的部分，即同一系统在随后时刻伸出原区域的部分。
3. $\tau_3$：属于 $\tau(t)$ 而不属于 $\tau(t+\Delta t)$ 的部分，即同一系统在随后时刻不再占据的原区域部分。

于是，忽略不影响体积分的公共边界，区域可写为

$$ \tau(t)=\tau_2\cup\tau_3 $$

$$ \tau(t+\Delta t)=\tau_2\cup\tau_1 $$

各式右侧区域的内部互不重叠。由积分的可加性，

$$ \int_{\tau(t)} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau =\int_{\tau_2} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau +\int_{\tau_3} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau $$

将公共区域上的积分移项，得

$$ \int_{\tau_2} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau =\int_{\tau(t)} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau -\int_{\tau_3} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau $$

因此：

$$ \begin{aligned} I(t+\Delta t) &=\int_{\tau_2} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau +\int_{\tau_1} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau\\ &=\int_{\tau(t)} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau +\int_{\tau_1} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau -\int_{\tau_3} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau \end{aligned} $$

其中，三个积分中的物理量均在时刻 $t+\Delta t$ 取值；区域的加减与被积函数的取值时刻是两个不同的问题。将上式减去 $I(t)=\int_{\tau(t)}\phi(\boldsymbol{r},t)\,\mathrm{d}\tau$ 得到：

$$ \begin{aligned} I(t+\Delta t)-I(t) ={}&\int_{\tau(t)} \left[\phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t) -\phi(\boldsymbol{r},t)\right]\mathrm{d}\tau\\ &+\int_{\tau_1} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau -\int_{\tau_3} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau \end{aligned} $$

两边除以 $\Delta t$ 并取极限，得

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{D}I}{\mathrm{D}t} ={}&\lim_{\Delta t\to0}\frac{1}{\Delta t} \int_{\tau(t)} \left[\phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t) -\phi(\boldsymbol{r},t)\right]\mathrm{d}\tau\\ &+\lim_{\Delta t\to0}\frac{1}{\Delta t} \int_{\tau_1} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau\\ &-\lim_{\Delta t\to0}\frac{1}{\Delta t} \int_{\tau_3} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau \end{aligned} $$

第一项表示在原有空间区域内，物理量分布随时间变化的贡献；第二项表示系统伸出原区域所增加的贡献；第三项表示系统离开原区域的一部分空间所扣除的贡献。以下假定有关场量及边界足够光滑，使所需极限存在，并允许相应的极限与积分运算交换。在第一项中，两个时刻的物理量都在同一空间区域 $\tau(t)$ 内积分。计算这一极限时，应把当前时刻的区域固定下来，只改变被积函数中的时间。因此：

$$ \begin{aligned} &\lim_{\Delta t\to0}\frac{1}{\Delta t} \int_{\tau(t)} \left[\phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t) -\phi(\boldsymbol{r},t)\right]\mathrm{d}\tau\\ &\qquad=\int_{\tau(t)} \lim_{\Delta t\to0} \frac{\phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t) -\phi(\boldsymbol{r},t)}{\Delta t}\,\mathrm{d}\tau\\ &\qquad=\int_{\tau(t)} \frac{\partial\phi}{\partial t}\,\mathrm{d}\tau \end{aligned} $$

为明确积分区域保持固定的含义，可取当前时刻为 $t_0$，记该固定区域为 $\tau_0=\tau(t_0)$，另用 $s$ 表示被积函数中的时间。则第一项在 $t_0$ 时刻等于

$$ \left. \frac{\partial}{\partial s} \int_{\tau_0}\phi(\boldsymbol{r},s)\,\mathrm{d}\tau \right|_{s=t_0} =\int_{\tau_0} \frac{\partial\phi}{\partial t}(\boldsymbol{r},t_0)\,\mathrm{d}\tau $$

第二项表示流出部分的输运，在时刻 $t$ 的系统边界 $A(t)$ 上，记 $\boldsymbol{n}$ 为外法线单位矢量，$\mathrm{d}A$ 为面积微元，$\boldsymbol{V}$ 为该处的流体速度矢量。法向速度分量为

$$ \boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n} $$

将边界中法向速度为正的部分记为 $A_1$，法向速度为负的部分记为 $A_2$。当 $\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}=0$ 时，该处没有法向穿越，对瞬时通量不产生贡献。在 $A_1$ 上，

$$ \boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}>0 $$

流体朝原区域外运动。在短时间 $\Delta t$ 内，其法向位移的一阶近似为

$$ \Delta l_n \approx(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\Delta t $$

面积微元扫出的体积属于 $\tau_1$，其一阶近似为

$$ \mathrm{d}\tau_1 \approx\Delta l_n\,\mathrm{d}A =(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\Delta t\,\mathrm{d}A $$

因此，该体积中所含物理量的一阶近似为

$$ \phi\,\mathrm{d}\tau_1 \approx\phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}) \Delta t\,\mathrm{d}A $$

除以 $\Delta t$ 后取极限，$\phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)$ 趋于边界上时刻 $t$ 的值，高于一阶的扫掠体积修正不再贡献于极限，故

$$ \lim_{\Delta t\to0}\frac{1}{\Delta t} \int_{\tau_1} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau =\int_{A_1} \phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A $$

其中，$\phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})$ 表示单位时间通过单位面积向外输运的物理量。

第三项表示流入部分的输运，在 $A_2$ 上，流体速度与外法线方向成钝角，因而

$$ \boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}<0 $$

此处同一系统的边界向原区域内部移动，形成不再由该系统占据的区域 $\tau_3$。从固定原区域的角度看，其他流体会由这一侧流入。由于体积微元 $\mathrm{d}\tau_3$ 本身应取正值，故

$$ \mathrm{d}\tau_3 \approx-(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}) \Delta t\,\mathrm{d}A $$

三项分解中的第三项前面已有一个负号，因此

$$ \begin{aligned} &-\lim_{\Delta t\to0}\frac{1}{\Delta t} \int_{\tau_3} \phi(\boldsymbol{r},t+\Delta t)\,\mathrm{d}\tau\\ &\qquad=-\int_{A_2} \left[-\phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\right] \mathrm{d}A\\ &\qquad=\int_{A_2} \phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A \end{aligned} $$

流入与流出的贡献最终都可写成相同的积分形式，方向由 $\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}$ 的正负统一体现。将三项结果相加，得到

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} \int_{\tau(t)}\phi\,\mathrm{d}\tau ={}&\int_{\tau(t)} \frac{\partial\phi}{\partial t}\,\mathrm{d}\tau\\ &+\int_{A_1} \phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A +\int_{A_2} \phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A \end{aligned} $$

把流出部分和流入部分合并，并计入法向速度为零的边界部分，得封闭曲面积分

$$ \int_{A_1} \phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A +\int_{A_2} \phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A =\oiint_{A(t)} \phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A $$

所以：

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} \int_{\tau(t)}\phi\,\mathrm{d}\tau =\int_{\tau(t)} \frac{\partial\phi}{\partial t}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_{A(t)} \phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A $$

右侧各积分都在当前时刻的区域及其边界上计算；右侧第一项只计算场量的局部时间变化，第二项则计算边界运动所对应的输运贡献。

2、第一雷诺输运方程

在所考察的时刻，取与系统恰好重合的固定控制体，记其体积区域为 $\tau$，控制面为 $A$。在这一时刻：

$$ \tau=\tau(t),\qquad A=A(t) $$

由于右侧第一项此时是在固定控制体内积分，可以交换时间微分与体积分的次序：

$$ \int_{\tau}\frac{\partial\phi}{\partial t}\,\mathrm{d}\tau =\frac{\partial}{\partial t} \int_{\tau}\phi\,\mathrm{d}\tau $$

因此，体积分的随体导数公式为：

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} \int_{\tau(t)}\phi\,\mathrm{d}\tau =\frac{\partial}{\partial t} \int_{\tau}\phi\,\mathrm{d}\tau +\oiint_{A} \phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A $$

上式称为（第一）雷诺输运方程（Reynolds transport theorem）。它把系统内物理量总量的随体变化率，转换为固定控制体内该物理量的局部变化率与通过控制面的净向外通量之和。

公式左侧的 $\tau(t)$ 表示由同一组流体质点组成的系统所占据的区域；右侧的 $\tau$ 和 $A$ 表示固定控制体及其控制面。两者要求在计算导数的当前时刻重合。若所研究的是单位体积矢量物理量 $\boldsymbol{\phi}$，记总量为 $\boldsymbol{I}$，则逐分量推导后有

$$ \frac{\mathrm{D}\boldsymbol{I}}{\mathrm{D}t} =\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} \int_{\tau(t)}\boldsymbol{\phi}\,\mathrm{d}\tau =\frac{\partial}{\partial t} \int_{\tau}\boldsymbol{\phi}\,\mathrm{d}\tau +\oiint_A \boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A $$

其中，$\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}$ 是标量，与 $\boldsymbol{\phi}$ 相乘后仍为矢量。

左侧

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} \int_{\tau(t)}\phi\,\mathrm{d}\tau $$

表示跟随同一组流体质点观察时，该系统所含物理量总量的变化率。它是基本物理定律直接作用的对象。

右侧第一项

$$ \frac{\partial}{\partial t} \int_{\tau}\phi\,\mathrm{d}\tau =\int_{\tau}\frac{\partial\phi}{\partial t}\,\mathrm{d}\tau $$

表示在固定空间区域内，物理量因场量的局部时间变化而产生的总变化率。这一项反映有关物理量分布的非定常性。

右侧第二项

$$ \oiint_A \phi(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})\,\mathrm{d}A $$

表示单位时间内通过整个控制面向外输运的物理量的代数和，即净向外通量。