一、流体运动的两种描述方法
1、研究对象与符号约定
流场由大量流体质点（fluid particle）组成，每个流体质点都具有质量、动量、内能等物理属性，因此可以为每个流体质点建立数学方程。描述流体运动需要回答两个问题：一是某个确定的流体质点在各时刻位于何处、其物理量如何变化；二是某个确定的空间点，在各时刻由哪个流体质点占据、其物理量如何变化。前者的数学表述称为拉格朗日描述，后者称为欧拉描述。
记 $t$ 为时间，$(a,b,c)$ 为区分不同流体质点的标号参数，$(x,y,z)$ 为空间直角坐标。速度矢量记作 $\boldsymbol{V} = u\boldsymbol{i} + v\boldsymbol{j} + w\boldsymbol{k}$，其中 $\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$ 为三个坐标轴方向的单位矢量，$u,v,w$ 为三个速度分量。
2、拉格朗日描述
上图中：蓝线表示同一质点随时间变化产生的迹线；灰色虚线表示同一时刻不同质点的连线；红色箭头表示质点在该时刻的速度；$(a,b,c)$ 和 $(a',b',c')$ 是质点标号，与时间无关。
拉格朗日描述（Lagrangian description）以流体质点为观察对象，始终跟踪每一个流体质点，考察它运动到何处、物理量如何变化。
在人为选定的空间坐标系中，给每个流体质点指定一组固定不变的标号参数 $(a,b,c)$，最简便的取法是取初始时刻 $t=t_0$ 时质点所在的位置作为标号。于是质点的位置表示为标号参数与时间的函数：
$$ \begin{cases} x = x(a,b,c,t)\\ y = y(a,b,c,t)\\ z = z(a,b,c,t) \end{cases} $$
且当 $t = t_0$ 时 $(x,y,z) = (a,b,c)$。由于一组 $(a,b,c)$ 只对应一个流体质点，故对确定的质点而言，$(a,b,c)$ 在运动过程中保持常数，与时间无关。质点物理量的拉格朗日描述为 $B = B(a,b,c,t)$，其中 $(a,b,c)$ 与 $t$ 作为四个独立自变量出现。
固定 $(a,b,c)$、令 $t$ 变化，式(1)给出该质点的运动轨迹（迹线，pathline）；固定 $t$、令 $(a,b,c)$ 变化，得到该时刻全部流体质点的位置分布。把 $B$ 取为位置坐标，即得质点速度与加速度：
$$ u = \frac{\partial x}{\partial t}, \quad v = \frac{\partial y}{\partial t}, \quad w = \frac{\partial z}{\partial t} $$
$$ a_x = \frac{\partial^2 x}{\partial t^2}, \quad a_y = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}, \quad a_z = \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} $$
拉格朗日描述直接给出每个质点的运动规律，便于对质点应用牛顿第二定律；但当质点数目极大时逐一跟踪并不现实，且物理量的空间分布不直观。
3、欧拉描述
欧拉描述（Eulerian description）以空间点为观察对象：不追问物理量属于哪个质点，而是给出每一时刻、每个空间点上物理量的取值。取定坐标系后，物理量表示为空间坐标与时间的函数：
$$ B = B(\boldsymbol{r},t) = B(x,y,z,t) $$
速度场的欧拉描述为
$$ u = u(x,y,z,t), \quad v = v(x,y,z,t), \quad w = w(x,y,z,t) $$
在欧拉描述中，$(x,y,z,t)$ 是四个相互独立的自变量，$x,y,z$ 之间没有依赖关系。但任一流体质点沿轨迹运动时，其所在位置 $(x,y,z)$ 是 $t$ 的函数，即 $x = x(t)$、$y = y(t)$、$z = z(t)$。这种"自变量之间的隐式依赖"正是欧拉描述中出现随体导数的根源。
固定空间点 $(x,y,z)$、令 $t$ 变化，得到该点物理量随时间的演化；固定 $t$、令 $(x,y,z)$ 变化，得到该时刻物理量的场。若某物理量的场不随时间变化，即 $\frac{\partial B}{\partial t} = 0$，则称其为定常场；若速度场不随时间变化，则称流动为定常流动（steady flow）。
欧拉描述便于实验测量，并可直接使用场的数学工具（梯度、散度、旋度），是流体力学中的主要描述方式。
4、两种描述法的联系
两种描述刻画的是同一物理过程，其间关系是同一个物理量的两种函数表示。若标号为 $(a,b,c)$ 的流体质点在 $t$ 时刻恰好到达空间点 $(x,y,z)$，即 $(x,y,z)$ 满足式(1)，则在这对"（质点，时刻）"处两种描述给出同一数值：
$$ B(a,b,c,t) = B\big(x(a,b,c,t),\, y(a,b,c,t),\, z(a,b,c,t),\, t\big) $$
式(6)表明：两种描述之间是关于自变量的换元（复合函数）关系，左端为拉格朗日描述，右端为欧拉描述在该质点所在位置处的取值。因此已知其中一种描述，通过换元或反解（把 $(a,b,c)$ 与 $(x,y,z)$ 的角色互换）即可得到另一种描述。
式(6)成立要求每个质点在每个时刻只对应一个空间点，且不同质点不占据同一空间点，即式(1)可以反解；其数学条件将在后面内容中给出。
二、质点的随体导数
1、随体导数的含义
随体导数是指跟随同一个流体质点观察，该质点所携带的物理量 $B$ 对时间的变化率，称为 $B$ 的随体导数（material derivative），又称物质导数或质点导数，记作 $\frac{\mathrm{D}B}{\mathrm{D}t}$。
2、拉格朗日描述中的随体导数
在拉格朗日描述中 $B = B(a,b,c,t)$，而"跟随同一质点"就是固定 $(a,b,c)$。由于 $(a,b,c)$ 与时间无关，沿质点求变化率时只需对 $t$ 求偏导数，此时偏导数与沿轨迹的全导数相等：
$$ \frac{\mathrm{D}B}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial B(a,b,c,t)}{\partial t} = \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t} $$
若 $B$ 为矢量，则对其各分量分别求导。可见拉格朗日描述中随体导数就是（固定 $(a,b,c)$ 的）偏导数，不需要链式法则。
3、欧拉描述中的随体导数
在欧拉描述中 $B = B(x,y,z,t)$。对某个固定的流体质点，$(x,y,z)$ 不再是独立的自变量，而是该质点轨迹上的坐标，随 $t$ 变化，即 $x = x(t)$、$y = y(t)$、$z = z(t)$。于是该质点携带的物理量是 $t$ 的复合函数 $B\big(x(t),y(t),z(t),t\big)$。
由多元复合函数求导法则（链式法则）：
$$ \frac{\mathrm{D}B}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial B}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial B}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial B}{\partial z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial B}{\partial t} $$
其中 $\frac{\partial B}{\partial x}$ 等是固定 $t$ 时物理量沿空间坐标的变化率，即场的梯度分量；而沿质点轨迹，$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$、$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$、$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$ 正是该质点的三个速度分量 $u,v,w$，因为 $x(t),y(t),z(t)$ 描述的正是该质点的位置。把 $u,v,w$ 代入式(8)：
$$ \frac{\mathrm{D}B}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial B}{\partial t} + u\frac{\partial B}{\partial x} + v\frac{\partial B}{\partial y} + w\frac{\partial B}{\partial z} $$
注意：沿轨迹求导必须写 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$，不宜写成 $\frac{\partial x}{\partial t}$，因为 $x$ 在欧拉描述中本来只是自变量，只有在指定"跟踪哪个质点"之后才成为 $t$ 的一元函数。引入哈密顿算子（nabla 算子）：
$$ \nabla = \boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z} $$
则式(8)、式(9)可写成紧凑的算子形式：
$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial}{\partial t} + \boldsymbol{V}\cdot\nabla, \qquad \frac{\mathrm{D}B}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial B}{\partial t} + (\boldsymbol{V}\cdot\nabla)B $$
把式(11)用于速度矢量本身，得加速度的欧拉表达式：
$$ \boldsymbol{a} = \frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial t} + (\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V} $$
在直角坐标系中写成分量：
$$ a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} $$
$y$、$z$ 方向的分量形式相同，只需把被求导的分量换成 $v$ 或 $w$，且求导算子作用于该分量。
4、局部导数与迁移导数
（1）随体导数的分解
定义（局部导数与迁移导数）称 $\frac{\partial B}{\partial t}$ 为 $B$ 的局部导数（local derivative），称
$$ (\boldsymbol{V}\cdot\nabla)B = u\frac{\partial B}{\partial x} + v\frac{\partial B}{\partial y} + w\frac{\partial B}{\partial z} $$
为 $B$ 的迁移导数（convective derivative），又称对流导数或位变导数。
局部导数等于固定空间点上物理量随时间的改变率，反映流动的非定常性；迁移导数等于固定时刻质点因从一处运动到另一处而感受到的物理量改变率，反映物理量场的非均匀性与质点运动的共同作用。
设 $s$ 为沿流线方向的弧长，$\boldsymbol{n} = \boldsymbol{V}/|\boldsymbol{V}|$ 为单位切矢量，则
$$ (\boldsymbol{V}\cdot\nabla)B = |\boldsymbol{V}|\frac{\partial B}{\partial s}, \qquad \frac{\partial B}{\partial s} = \boldsymbol{n}\cdot\nabla B $$
即迁移导数等于速率乘以物理量沿流动方向的导数。
（2）局部导数为零的情形
- 若 $\frac{\partial B}{\partial t} = 0$，则 $B$ 的场是定常的，此时随体导数退化为迁移导数 $\frac{\mathrm{D}B}{\mathrm{D}t} = (\boldsymbol{V}\cdot\nabla)B$。
- 若所有物理量的场都不随时间变化（含速度场），则流动为定常流动，此时任何物理量的局部导数都为零。
- 局部导数为零并不意味着随体导数为零。定常流动中质点仍会由物理量较大处流向较小处，其携带的物理量随之改变。例如定常温度场 $T = T(x,y,z)$ 中，沿轨迹有 $\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t} = (\boldsymbol{V}\cdot\nabla)T$，一般不为零。
（3）迁移导数为零的情形
迁移导数刻画 $B$ 沿质点速度方向的变化率，下列情形使其为零。
- 流体静止，$\boldsymbol{V} = \boldsymbol{0}$，此时 $\frac{\mathrm{D}B}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial B}{\partial t}$。
- 物理量的场均匀，$\nabla B = \boldsymbol{0}$，即 $B$ 在空间中处处相等，此时质点携带的 $B$ 只可能因局部导数而改变。
- 物理量沿流线为常数，即 $\boldsymbol{V}\cdot\nabla B = 0$，等价于 $\nabla B \perp \boldsymbol{V}$ 或 $\nabla B = \boldsymbol{0}$。例如平行流动 $\boldsymbol{V} = u(y)\boldsymbol{i}$ 中，凡是与 $x$ 无关的物理量 $B = B(y,z)$ 都满足 $\frac{\partial B}{\partial x} = 0$，从而 $(\boldsymbol{V}\cdot\nabla)B = 0$。
三、两种描述法的互相转换
1、由拉格朗日描述转换为欧拉描述
（1）问题与思路
已知流体质点的运动规律，即式(1)，以及物理量 $B$ 的拉格朗日描述 $B = B(a,b,c,t)$，求物理量 $B$ 的欧拉描述 $B = B(x,y,z,t)$，同时求出速度场、加速度场的欧拉描述。
思路是换元：凡是从拉格朗日描述得到的表达式，其中出现的 $(a,b,c)$ 都必须用 $(x,y,z,t)$ 表示出来，即先由式(1)反解标号，再代入。
（2）反解的条件：雅可比行列式不为零
由式(1)出发，把 $(a,b,c)$ 视为未知量、$(x,y,z,t)$ 视为参数，若能反解出
$$ a = a(x,y,z,t), \quad b = b(x,y,z,t), \quad c = c(x,y,z,t) $$
则把反解结果代入 $B(a,b,c,t)$ 即得欧拉描述 $B\big(a(x,y,z,t),\,b(\cdot),\,c(\cdot),\,t\big)$。
反解可行的条件是变换式(1)的雅可比行列式（Jacobi 行列式）不为零：
$$ J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(a,b,c)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial a} & \frac{\partial x}{\partial b} & \frac{\partial x}{\partial c}\\[2pt] \frac{\partial y}{\partial a} & \frac{\partial y}{\partial b} & \frac{\partial y}{\partial c}\\[2pt] \frac{\partial z}{\partial a} & \frac{\partial z}{\partial b} & \frac{\partial z}{\partial c} \end{vmatrix} \ne 0 $$
其物理意义是在 $t$ 时刻，不同的流体质点不占据同一个空间点，质点与空间点的对应不发生"折叠"。这正是隐函数存在定理（反函数定理）的条件。
2、由欧拉描述转换为拉格朗日描述
（1）问题与思路
已知速度场的欧拉描述 $\boldsymbol{V} = \boldsymbol{V}(x,y,z,t)$，即 $u,v,w$ 为 $(x,y,z,t)$ 的已知函数，求流体质点的运动规律式(1)，以及物理量 $B$ 的拉格朗日描述 $B = B(a,b,c,t)$。
思路是解微分方程：速度既是质点位置的导数，又等于速度场在该质点所在处的取值，两者相等即给出轨迹方程。
（2）质点轨迹的常微分方程组
质点速度等于欧拉速度场在该质点所在处的取值，而质点位置的导数即 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$，故有
$$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = u(x,y,z,t), \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = v(x,y,z,t), \quad \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = w(x,y,z,t) $$
这是关于 $x,y,z$ 的一阶常微分方程组。求解式(18)并代入初始条件，即得运动规律。
