流体静力学

一、流体静压强及其特性

1、静压力与静压强

静止流体中只有沿作用面法线方向的表面力，这种力称为静压力。单位面积上所受的静压力称为静压强，记为 $p$。

若微小面积 $\mathrm{d}A$ 上的静压力大小为 $\mathrm{d}P$，则

$$ p=\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}A} $$

静压力是力，单位为 $\mathrm{N}$；静压强是标量，单位为 $\mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^2}$。工程上常把静压强简称为压力，但计算总作用力时应区分二者。

静止流体作用于所取流体分离体表面的静压力，必沿该表面的内法线方向。假设该结论不成立，即作用力具有切向分量或向外的拉力分量。切向分量将引起流体连续剪切变形；向外的拉力分量也不能由通常静止流体维持。这均与静止平衡的前提矛盾。因此，静压力只能垂直于作用面并指向流体分离体内部。

静止流体内任意一点处，各方向的静压强相等。

证明1

在点 $O$ 附近取微小四面体，三个互相垂直的棱长分别为 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$、$\mathrm{d}z$。记三个坐标面上的压强为 $p_x,p_y,p_z$，斜面上的压强为 $p_n$，斜面面积为 $\mathrm{d}A_n$。流体密度为 $\rho$，单位质量力的分量为 $f_x,f_y,f_z$。

四面体体积与质量分别为

$$ \mathrm{d}\tau=\frac16\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, \qquad \mathrm{d}m=\rho\,\mathrm{d}\tau $$

设斜面外法线与 $x$ 轴的夹角为 $\alpha_x$，由 $x$ 方向的力平衡得

$$ \frac12p_x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z -p_n\,\mathrm{d}A_n\cos\alpha_x +\frac16\rho f_x\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=0 $$

斜面在垂直于 $x$ 轴的坐标面上的投影面积为

$$ \mathrm{d}A_n\cos\alpha_x=\frac12\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z $$

代入并除以 $\frac12\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$，得

$$ p_x-p_n+\frac13\rho f_x\,\mathrm{d}x=0 $$

当四面体各棱长趋于零时，质量力相对于表面力为高阶小量，故 $p_x=p_n$。同理由 $y,z$ 方向的力平衡可得 $p_y=p_n$、$p_z=p_n$，于是

$$ p_x=p_y=p_z=p_n $$

由于斜面的方位任意，同一点的静压强与作用面的方位无关。

因此，静压强只取决于空间位置，可写为：

$$ p=p(x,y,z) $$

其全微分为：

$$ \mathrm{d}p =\frac{\partial p}{\partial x}\mathrm{d}x +\frac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}y +\frac{\partial p}{\partial z}\mathrm{d}z $$

二、静止流体的平衡微分方程

1、单位流体质量的平衡方程

取中心为 $A(x,y,z)$、棱边平行于坐标轴的微小六面体，其体积为 $\mathrm{d}\tau=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$。记中心点压强为 $p=p(x,y,z)$，密度为 $\rho$，单位质量力为 $\boldsymbol{f}=(f_x,f_y,f_z)$。

在 $y$ 方向相对的两个面中心处，压强分别为 $p(x,y-\frac12\mathrm{d}y,z)$ 和 $p(x,y+\frac12\mathrm{d}y,z)$。对 $y$ 作泰勒展开，得：

$$ p\left(x,y\pm\frac12\mathrm{d}y,z\right) =p(x,y,z) \pm\frac12\frac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}y +\frac18\frac{\partial^2p}{\partial y^2}(\mathrm{d}y)^2 \pm\frac1{48}\frac{\partial^3p}{\partial y^3}(\mathrm{d}y)^3 +\cdots $$

忽略二阶及以上小量，记这两个面的压强为 $p_B,p_C$，则

$$ p_B\approx p-\frac12\frac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}y, \qquad p_C\approx p+\frac12\frac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}y $$

两个面的面积均为 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z$。由于压力指向微团内部，$B$ 面上的压力沿 $+y$ 方向，$C$ 面上的压力沿 $-y$ 方向；质量力的 $y$ 分量为 $\rho f_y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$。

由 $y$ 方向的力平衡得

$$ \left(p-\frac12\frac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z -\left(p+\frac12\frac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z +\rho f_y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=0 $$

合并压力项，得

$$ -\frac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z +\rho f_y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=0 $$

除以微团质量 $\rho\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$，得

$$ f_y-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial y}=0 $$

同理由 $x,z$ 方向的力平衡，得到欧拉平衡微分方程：

$$ \begin{cases} f_x-\dfrac1\rho\dfrac{\partial p}{\partial x}=0\\[4pt] f_y-\dfrac1\rho\dfrac{\partial p}{\partial y}=0\\[4pt] f_z-\dfrac1\rho\dfrac{\partial p}{\partial z}=0 \end{cases} $$

其向量形式为：

$$ \nabla p=\rho\boldsymbol{f} $$

该方程适用于平衡流体，不要求流体不可压缩，也不要求流体无黏性。它表明：某方向上有质量力分量时，压强沿该方向发生变化；若质量力在某方向的分量为零，则压强在该方向的偏导数为零。

2、全微分形式与力势函数

将三个平衡方程分别乘以 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z$ 后相加，利用压强的全微分，得：

$$ f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y+f_z\mathrm{d}z =\frac1\rho\left( \frac{\partial p}{\partial x}\mathrm{d}x +\frac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}y +\frac{\partial p}{\partial z}\mathrm{d}z \right) =\frac1\rho\mathrm{d}p $$

若单位质量力可由标量函数 $U(x,y,z)$ 表示为：

$$ f_x=-\frac{\partial U}{\partial x}, \qquad f_y=-\frac{\partial U}{\partial y}, \qquad f_z=-\frac{\partial U}{\partial z} $$

则 $U$ 称为力势函数，$\boldsymbol{f}=-\nabla U$ 称为有势质量力。此时：

$$ f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y+f_z\mathrm{d}z =-\left( \frac{\partial U}{\partial x}\mathrm{d}x +\frac{\partial U}{\partial y}\mathrm{d}y +\frac{\partial U}{\partial z}\mathrm{d}z \right) =-\mathrm{d}U $$

因此，平衡微分方程可写为

$$ \mathrm{d}p+\rho\,\mathrm{d}U=0 $$

对于均质不可压缩流体，$\rho$ 为常数，积分得

$$ p+\rho U=C $$

反过来，若常密度流体能够静止平衡，则 $\boldsymbol{f}=\nabla(p/\rho)$，可取 $U=-p/\rho$ 加任意常数。因此，常密度不可压缩流体保持静止平衡所受的质量力必须为有势力。密度变化时，不能未经处理就把 $\mathrm{d}p/\rho$ 写成 $\mathrm{d}(p/\rho)$。

3、等压面的性质

等压面是由压强相等的各点组成的平面或曲面。沿等压面移动时 $\mathrm{d}p=0$，故其微分方程为

$$ f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y+f_z\mathrm{d}z=0 $$

（1）等压面也是等势面

在有势质量力场中，由 $\mathrm{d}p+\rho\,\mathrm{d}U=0$，沿等压面有 $\mathrm{d}p=0$。由于 $\rho>0$，得到 $\mathrm{d}U=0$，即 $U=C$。因此等压面也是等势面。

（2）等压面与该点所受的质量力垂直

在等压面上取任意非零切向微小位移 $\mathrm{d}\boldsymbol{l}=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)$，则

$$ \boldsymbol{f}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} =f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y+f_z\mathrm{d}z=0 $$

当 $\boldsymbol{f}\ne\boldsymbol{0}$ 时，质量力与等压面的任意切向位移垂直，因此质量力沿等压面的法线方向。特别地，质量力只有重力时，等压面为水平面。

（3）两种不同密度、互不相混流体的平衡分界面为等压面

该结论以两侧流体受同一有势质量力、密度不同且忽略表面张力为前提。忽略表面张力时，分界面两侧的压强连续。

记两种流体的密度为 $\rho_1,\rho_2$，且 $\rho_1\ne\rho_2$。沿分界面取微小位移，两侧有共同的压强变化 $\mathrm{d}p$ 和力势变化 $\mathrm{d}U$，分别满足

$$ \mathrm{d}p=-\rho_1\,\mathrm{d}U, \qquad \mathrm{d}p=-\rho_2\,\mathrm{d}U $$

两式相减得

$$ (\rho_1-\rho_2)\,\mathrm{d}U=0 $$

由密度不同得 $\mathrm{d}U=0$，进而 $\mathrm{d}p=0$。因此分界面既是等压面，也是等势面。

三、重力场中静止流体内的压力分布

1、静液压强基本公式

取 $z$ 轴竖直向上。在仅受重力作用的流体中，单位质量力分量为

$$ f_x=0, \qquad f_y=0, \qquad f_z=-g $$

代入平衡方程的全微分形式，得

$$ \mathrm{d}p=-\rho g\,\mathrm{d}z $$

对于均质不可压缩液体，$\rho$ 为常数，积分得

$$ p+\rho gz=C $$

设液面高程为 $H$，液面压强为 $p_0$。由边界条件 $z=H$ 时 $p=p_0$，得 $C=p_0+\rho gH$，因此

$$ p=p_0+\rho g(H-z) $$

记液体内某点到液面的竖直深度为 $h=H-z$，称为淹深，则静液压强基本公式为

$$ p=p_0+\rho gh $$

2、压强分布与连通器

由静液压强基本公式可得：

1. 同一均质静止液体中的压强只随高度变化，沿水平方向不变；压强随淹深线性增大。
2. 压强由液面压强 $p_0$ 和上方液体自重引起的 $\rho gh$ 两部分组成。液面压强可由气体、活塞或其他液体施加。
3. 等压面为水平面。在同一连通的静止液体中，同一水平面上的压强相等。
4. 同一种液体的连通器若各自由液面承受相同压强，且忽略毛细作用，则各自由液面处于同一高度。

若在同一连通液体中取点 $1,2$，由 $p+\rho gz=C$ 得

$$ p_1+\rho gz_1=p_2+\rho gz_2 $$

因此，在 $z_1=z_2$ 时有 $p_1=p_2$。对不同密度的液体，不能只凭高度相同就断言压强相等，应分段应用静液压强公式，并利用分界面两侧压强连续。

3、帕斯卡压力传递原理

密封容器中静止的不可压缩液体，边界压强的增量将等值传递到液体内各点。

若液面压强由 $p_0$ 增加到 $p_0+\Delta p$，且液体密度及各点淹深不变，则：

$$ p'=p_0+\Delta p+\rho gh=p+\Delta p $$

因此，液体内任一点的压强增量均为 $\Delta p$。

在理想液压装置中，若两个活塞位于同一高度，忽略摩擦并扣除活塞外侧相同的环境压强，设活塞面积为 $A_1,A_2$，施加与输出的力分别为 $P_1,P_2$，则：

$$ \frac{P_1}{A_1}=\frac{P_2}{A_2}, \qquad P_2=P_1\frac{A_2}{A_1} $$

由此可通过改变活塞面积来放大或缩小力，通过改变活塞布置方向来改变输出力的方向。

四、静压力的计量

本部分所称压力指压强。记绝对压强为 $p$，当地大气压强为 $p_a$，表压为 $p_{\mathrm{g}}$。

因此：

$$ p=p_a+p_{\mathrm{g}} $$

若绝对压强小于当地大气压，则表压为负，且：

$$ p_v=-p_{\mathrm{g}}, \qquad p=p_a-p_v $$

计算时应统一压强基准。例如，自由液面与大气相通时，使用绝对压强有 $p_0=p_a$；使用表压则有 $p_{0\mathrm{g}}=0$。

五、流体的相对平衡

当液体与容器一起运动而内部质点之间没有相对运动时，可在随容器运动的坐标系中研究其平衡。此时应将惯性力计入单位质量力。以下均讨论密度 $\rho$ 为常数的液体。

1、匀速直线运动流体的平衡

容器作匀速直线运动时，没有由容器平动加速度产生的惯性力，液体仍只受重力作用，因此

$$ f_x=0, \qquad f_y=0, \qquad f_z=-g $$

压强分布和绝对静止时相同：

$$ p=p_0+\rho gh $$

自由液面及等压面均为水平面。

2、等加速直线运动流体的平衡

设容器以恒定加速度 $a$ 沿 $+x$ 方向运动，$z$ 轴竖直向上。在随容器运动的坐标系中，单位质量惯性力沿 $-x$ 方向，大小为 $a$，故总单位质量力为

$$ f_x=-a, \qquad f_y=0, \qquad f_z=-g $$

代入平衡方程，得

$$ \mathrm{d}p=-\rho a\,\mathrm{d}x-\rho g\,\mathrm{d}z $$

整理并积分，得

$$ \mathrm{d}p+\rho a\,\mathrm{d}x+\rho g\,\mathrm{d}z=0 \quad\Longrightarrow\quad p+\rho ax+\rho gz=C $$

取自由液面上的一点为坐标原点，在 $x=0,z=0$ 处有 $p=p_0$，故 $C=p_0$，压强分布为

$$ p=p_0-\rho ax-\rho gz $$

记自由液面在位置 $x$ 处的高程为 $z_0(x)$。由自由液面上 $p=p_0$，得

$$ ax+gz_0=0, \qquad z_0(x)=-\frac agx $$

因此，自由液面沿加速度方向降低，沿反方向升高。对任意等压面，$\mathrm{d}p=0$，故

$$ a\,\mathrm{d}x+g\,\mathrm{d}z=0, \qquad \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=-\frac ag $$

等压面为与自由液面平行的一族斜平面。若液面与水平面的夹角大小为 $\beta$，则 $\tan\beta=a/g$。

记某点相对于同一 $x$ 处自由液面的竖直淹深为 $h_z=z_0(x)-z$，则

$$ p=p_0+\rho g\left(-\frac agx-z\right) =p_0+\rho gh_z $$

这里的 $h_z$ 是竖直距离，不是到斜液面的法向距离。

3、等角速度旋转流体的平衡

设容器绕竖直 $z$ 轴以恒定角速度 $\omega$ 旋转，液体达到随容器作整体旋转的相对平衡。记到旋转轴的距离为 $r=\sqrt{x^2+y^2}$。

在旋转坐标系中，液体相对速度为零，单位质量力由重力和径向向外的离心惯性力组成：

$$ f_x=\omega^2x, \qquad f_y=\omega^2y, \qquad f_z=-g $$

代入平衡方程，得

$$ \mathrm{d}p =\rho\left(\omega^2x\,\mathrm{d}x+\omega^2y\,\mathrm{d}y-g\,\mathrm{d}z\right) $$

利用 $x\,\mathrm{d}x+y\,\mathrm{d}y=\frac12\mathrm{d}(x^2+y^2)=r\,\mathrm{d}r$，积分得

$$ p=\rho\left(\frac{\omega^2x^2}{2}+\frac{\omega^2y^2}{2}-gz\right)+C =\rho\left(\frac{\omega^2r^2}{2}-gz\right)+C $$

取自由液面与旋转轴的交点为原点，由 $r=0,z=0$ 时 $p=p_0$，得

$$ p=p_0+\frac12\rho\omega^2r^2-\rho gz $$

在等压面上，$p$ 为常数，故

$$ \frac{\omega^2r^2}{2}-gz=C_1 $$

因此，等压面为一族绕 $z$ 轴旋转的抛物面。自由液面满足 $p=p_0$，其高程 $z_0(r)$ 为

$$ z_0(r)=\frac{\omega^2r^2}{2g} $$

将此式代入压强分布，得

$$ p=p_0+\rho g\bigl(z_0(r)-z\bigr)=p_0+\rho gh_z $$

其中 $h_z=z_0(r)-z$ 是同一半径处的竖直淹深。在实际容器中，抛物面相对于容器底面的高度还需由液体体积或其他边界条件确定；以上坐标原点位于抛物面顶点。

4、旋转容器的两个特例

以下为参考资料中的两个特例。容器盛满液体，顶盖限制了自由液面的形成，但液体内的压强仍满足旋转平衡方程。设容器半径为 $R$，顶盖所在平面为 $z=0$，小孔处压强为 $p_0$。

例1（顶盖中心开小孔）
容器以角速度 $\omega$ 绕竖直轴旋转，顶盖中心开小孔。求液体内的压强分布及顶盖边缘处的压强。

解
由旋转平衡的一般积分式

$$ p=\rho\left(\frac{\omega^2r^2}{2}-gz\right)+C $$

在小孔处 $r=0,z=0,p=p_0$，得 $C=p_0$，因此

$$ p=p_0+\frac12\rho\omega^2r^2-\rho gz $$

顶盖上 $z=0$，故压强随半径增大；在边缘 $r=R$ 处达到顶盖上的最大值：

$$ p_B=p_0+\frac12\rho\omega^2R^2 $$

角速度越大，边缘压强越大。参考资料以离心铸造说明这一压强增大规律的应用。

例2（顶盖边缘开小孔）
容器以角速度 $\omega$ 绕竖直轴旋转，顶盖边缘开小孔。求液体内的压强分布及顶盖中心处的压强。

解
在小孔处 $r=R,z=0,p=p_0$，代入一般积分式得

$$ p_0=\frac12\rho\omega^2R^2+C, \qquad C=p_0-\frac12\rho\omega^2R^2 $$

因此

$$ p=p_0-\frac12\rho\omega^2(R^2-r^2)-\rho gz =p_0-\rho g\left[\frac{\omega^2(R^2-r^2)}{2g}+z\right] $$

顶盖中心处 $r=0,z=0$，故

$$ p_O=p_0-\frac12\rho\omega^2R^2 $$

若小孔与大气相通，$p_0=p_a$，则中心处的真空度为

$$ p_v=p_a-p_O=\frac12\rho\omega^2R^2 $$

角速度越大，中心处压强越低。参考资料以离心泵、离心风机说明利用中心低压吸入流体、再由径向增压将其输送出去的原理。

上述特例以容器内仍保持连续液体的相对平衡为前提。

六、静止流体作用在物面上的总压力计算

1、总压力的积分表达式

记物体与流体接触的表面为 $A$，物体表面指向流体的单位法向量为 $\boldsymbol{n}$。液体对物体的微小作用力为

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{P}=-p\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A $$

因此，总压力为

$$ \boldsymbol{P}=-\int_Ap\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A $$

对于平面，各微小压力方向一致，可直接积分求大小；对于曲面，各微小压力方向不同，应先分别求各方向分量，再合成。

若物面两侧均受压，应计算两侧作用力之差。特别地，物面外侧为同一大气压时，可直接用相对于该大气压的表压求净压力。以下标量公式中的 $p,p_0$ 必须采用同一压强基准；$p_0=0$ 通常表示自由液面表压为零。

2、平面上的总压力与压力中心

（1）坐标与总压力大小

设受压平面与水平液面夹角为 $\theta$。在该平面内取 $Ox$ 轴沿平面与液面的交线，$Oy$ 轴垂直于 $Ox$ 并沿平面向下。平面内点的坐标为 $(x,y)$，其竖直淹深为：

$$ h=y\sin\theta $$

液面压强为 $p_0$，故该点压强为：

$$ p=p_0+\rho gy\sin\theta $$

平面各处压力方向相同，因此总压力大小为：

$$ \begin{aligned} P&=\int_Ap\,\mathrm{d}A\\ &=\int_A(p_0+\rho gy\sin\theta)\,\mathrm{d}A\\ &=p_0A+\rho g\sin\theta\int_Ay\,\mathrm{d}A \end{aligned} $$

记平面形心为 $C(x_C,y_C)$，形心的淹深为 $h_C=y_C\sin\theta$。由形心定义：

$$ \int_Ay\,\mathrm{d}A=Ay_C $$

得到

$$ P=p_0A+\rho gAy_C\sin\theta =(p_0+\rho gh_C)A=p_CA $$

平面上的总压力大小等于形心处压强与受压面积的乘积，方向垂直指向受压面。形心用于确定平均压强，合力的作用点一般并非形心。

（2）压力中心的纵坐标

总压力在平面上的作用点 $D(x_D,y_D)$ 称为压力中心。由总压力对 $Ox$ 轴的力矩等于各微小压力的力矩之和，得

$$ \begin{aligned} y_DP&=\int_Ay\,\mathrm{d}P\\ &=\int_Ay(p_0+\rho gy\sin\theta)\,\mathrm{d}A\\ &=p_0Ay_C+\rho g\sin\theta\int_Ay^2\,\mathrm{d}A \end{aligned} $$

记平面对 $Ox$ 轴的面积惯性矩为 $J_x=\int_Ay^2\,\mathrm{d}A$，对通过形心且平行于 $Ox$ 的轴的面积惯性矩为 $J_C$。由平行轴定理

$$ J_x=J_C+Ay_C^2 $$

于是

$$ \begin{aligned} y_D&=\frac{p_0Ay_C+\rho g(J_C+Ay_C^2)\sin\theta}{p_0A+\rho gAy_C\sin\theta}\\ &=y_C+\frac{\rho gJ_C\sin\theta}{P} \end{aligned} $$

若采用表压且自由液面表压 $p_0=0$，则对非水平受压平面

$$ y_D=y_C+\frac{J_C}{Ay_C} $$

由于 $J_C>0$，故 $y_D>y_C$，即压力中心位于形心下方。其竖直淹深为

$$ h_D=y_D\sin\theta =h_C+\frac{J_C\sin^2\theta}{Ah_C} $$

水平受压平面上的压强均匀，其总压力为 $P=pA$，压力中心与形心重合，应直接按均布压力处理。

（3）压力中心的横坐标

对 $Oy$ 轴取矩，得

$$ x_DP=\int_Ax\,\mathrm{d}P =p_0Ax_C+\rho g\sin\theta\int_Axy\,\mathrm{d}A $$

按参考资料的符号，记面积惯性积为 $J_{xy}=\int_Axy\,\mathrm{d}A$，形心坐标轴对应的惯性积为

$$ J''_{xy}=\int_A(x-x_C)(y-y_C)\,\mathrm{d}A $$

由 $x=(x-x_C)+x_C$、$y=(y-y_C)+y_C$ 展开，并利用形心的一阶面积矩为零，得

$$ J_{xy}=J''_{xy}+Ax_Cy_C $$

因此

$$ \begin{aligned} x_D&=\frac{p_0Ax_C+\rho g(J''_{xy}+Ax_Cy_C)\sin\theta}{P}\\ &=x_C+\frac{\rho gJ''_{xy}\sin\theta}{P} \end{aligned} $$

当 $p_0=0$ 时，简化为

$$ x_D=x_C+\frac{J''_{xy}}{Ay_C} $$

若通过形心、平行于 $Ox$ 或 $Oy$ 的轴中有一条为平面的对称轴，则 $J''_{xy}=0$，从而 $x_D=x_C$。

3、曲面上的总压力

（1）分解微小压力

先讨论参考图所示的二维曲面，压力在 $x,z$ 方向上有分量。记 $\theta$ 为微小受压面与水平面的夹角，则微小面积 $\mathrm{d}A$ 在垂直于 $x$ 轴的平面和水平面上的投影面积分别为

$$ \mathrm{d}A_x=\sin\theta\,\mathrm{d}A, \qquad \mathrm{d}A_z=\cos\theta\,\mathrm{d}A $$

微小压力大小为 $\mathrm{d}P=p\,\mathrm{d}A$，其分量大小为

$$ \mathrm{d}P_x=\sin\theta\,\mathrm{d}P=p\,\mathrm{d}A_x, \qquad \mathrm{d}P_z=\cos\theta\,\mathrm{d}P=p\,\mathrm{d}A_z $$

各分量的正负方向应由液体对受压面的实际作用方向确定。对于法线分量改变符号的复杂曲面，应分段计算并按方向代数相加，不能把所有投影面积都作为正值直接相加。

（2）水平分力

代入 $p=p_0+\rho gh$，对竖直投影面积积分，得

$$ P_x=\int_{A_x}(p_0+\rho gh)\,\mathrm{d}A_x =p_0A_x+\rho g\int_{A_x}h\,\mathrm{d}A_x $$

记竖直投影面积 $A_x$ 的形心淹深为 $h_{Cx}$，由形心定义 $\int_{A_x}h\,\mathrm{d}A_x=A_xh_{Cx}$，故

$$ P_x=(p_0+\rho gh_{Cx})A_x $$

因此，曲面上的水平分力等于液体作用在该曲面竖直投影面上的总压力。其作用线通过竖直投影面的压力中心，而非一般意义上的形心。

（3）竖直分力与压力体

对水平投影面积积分，得

$$ P_z=\int_{A_z}(p_0+\rho gh)\,\mathrm{d}A_z =p_0A_z+\rho g\int_{A_z}h\,\mathrm{d}A_z $$

曲面、由曲面边界向液面作出的竖直侧面，以及液面围成的几何体称为压力体。记其体积为 $\tau$，则

$$ \tau=\int_{A_z}h\,\mathrm{d}A_z $$

因此，对于图示方向一致的曲面，竖直分力大小为

$$ P_z=p_0A_z+\rho g\tau $$

若采用表压且 $p_0=0$，则

$$ P_z=\rho g\tau $$

即竖直分力大小等于压力体中相同密度液体的重量。压力体是辅助计算的几何体，其对应区域不一定实际充满液体；分力向上还是向下，应依据受压面的受力方向判定。

当 $p_0=0$ 时，竖直分力的作用线通过均质压力体的重心。若 $p_0\ne0$，均布压力项 $p_0A_z$ 通过水平投影面的形心，液重项 $\rho g\tau$ 通过压力体重心，两者应按力矩合成。例如，记这两个作用线的水平坐标分别为 $x_{Cz},x_\tau$，则方向一致时

$$ x_{P_z} =\frac{p_0A_zx_{Cz}+\rho g\tau x_\tau}{p_0A_z+\rho g\tau} $$

（4）合力的大小、方向与作用线

二维情况下，总压力大小为

$$ P=\sqrt{P_x^2+P_z^2} $$

设其作用线与竖直线的夹角大小为 $\alpha$，则

$$ \tan\alpha=\frac{|P_x|}{|P_z|} $$

具体方向由分力的正负确定。两分力的作用线相交时，合力作用线通过交点，并沿合成方向；与受压曲面的交点可作为合力在曲面上的作用点。

三维曲面还应求 $y$ 方向分力。若 $A_y$ 为曲面在垂直于 $y$ 轴的平面上的投影面积，其形心淹深为 $h_{Cy}$，则在方向一致的情况下

$$ P_y=(p_0+\rho gh_{Cy})A_y $$

总压力大小为

$$ P=\sqrt{P_x^2+P_y^2+P_z^2} $$

三维情形的作用位置还需结合各分力的力矩确定。

4、浮力与阿基米德原理

设任意形状的物体完全浸入密度为 $\rho$ 的均质静止液体，物体体积为 $\tau$。液体从各方向对物体施加压力，水平方向的合力相互抵消；竖直方向下表面的向上压力大于上表面的向下压力，产生竖直向上的浮力。

（1）浮力大小

按参考图，将物体上、下表面分别记为 $ACB$ 和 $ADB$，上表面与液面之间的压力体体积记为 $\tau_1$。以表压计算，向下和向上的压力大小分别为

$$ P_{\mathrm{I}}=\rho g\tau_1, \qquad P_{\mathrm{II}}=\rho g(\tau_1+\tau) $$

因此，竖直向上的合力为

$$ P=P_{\mathrm{II}}-P_{\mathrm{I}} =\rho g(\tau_1+\tau)-\rho g\tau_1 =\rho g\tau $$

均匀的液面压强在闭合物体表面上的合力为零，因此浮力结论不受统一压强基准的影响。

阿基米德原理：物体所受浮力等于它排开的流体重量，方向竖直向上。 对仅部分浸入液体的物体，应以浸入部分排开液体的体积 $\tau_{\mathrm{排}}$ 计算：

$$ P=\rho g\tau_{\mathrm{排}} $$

完全浸没时，若液体密度保持不变，则浮力与浸没深度无关；部分浸没时，浮力随排开液体的体积变化。

（2）浮心与表观重量

浮力的作用线通过被排开流体的重心，该点称为浮心，记为 $C_\tau$。均质液体中，浮心就是排开液体体积的形心；物体自身的重心记为 $C_G$。二者一般不同，完全浸没且物体均质时才必然重合。

若物体自身重量为 $G$，浮力为 $P$，在由竖直支承力或拉力维持静止、且无其他竖直作用力时，其表观重量为

$$ G_{\mathrm{表观}}=G-P $$

因而物体在液体中减少的表观重量等于排开液体的重量。