流体的概念

流体不经搓，一搓就搓出了涡——陆士嘉

从流体力学的角度看，物质只分为流体与固体两种状态。固体的特征是：受到剪切应力时可以通过静变形抵抗剪切应力；流体则不能，只要存在剪切应力，无论它多么小，流体都会发生连续不断的剪切变形，即流动。

一、流体质点与连续介质假设

1、两种研究途径

流体力学主要研究流体的宏观运动，研究途径有微观和宏观两种。

• 微观途径：从研究分子和原子的运动出发，采用统计平均方法建立宏观物理量应满足的方程，并确定流体的宏观性质。这种途径取决于分子运动论的发展，目前应用较少。
• 宏观途径：先给流体建立一个宏观的“抽象化”的物质模型，然后直接应用基本物理定律来建立宏观物理量应满足的方程，并确定流体的宏观性质。这是一条常用的途径，其基础就是流体质点与连续介质假设。

下面以密度这一宏观物理量为例，说明连续介质模型的建立。

2、平均密度与极限体积

（1）平均密度的定义

设在某一时刻 $t$，在流体中取一包含点 $P(x,y,z)$ 的微小体积 $\Delta\tau$，在此体积内的流体质量为 $\Delta m$。记 $\bar{\rho}$ 为该体积内流体的平均密度，则

$$ \bar{\rho}=\frac{\Delta m}{\Delta\tau} $$

其中 $\Delta\tau$ 表示所取的体积，$\Delta m$ 为该体积内的流体质量。若在同一时刻对包围点 $P$ 的流场取大小不同的微小体积 $\Delta\tau$，并测出相应的 $\Delta m$，则得到不同的 $\bar{\rho}$。

（2）$\bar{\rho}$ 随 $\Delta\tau$ 的变化规律

当 $\Delta\tau$ 很小（小于某一极限体积 $\Delta\tau_0$）时，$\Delta\tau$ 中所含的分子数目太少，分子的随机进出对 $\Delta m$ 产生了明显影响，$\bar{\rho}$ 随 $\Delta\tau$ 作随机波动，不再具有确定的极限值，这属于微观变化区域。当 $\Delta\tau$ 增大到某一极限体积 $\Delta\tau_0$ 以上时，$\bar{\rho}$ 趋于一个确定的极限值 $\rho$，并且在一段范围内不再因 $\Delta\tau$ 的增大而发生变化。这说明此时流体的分子个性不再起作用，分子的个别行为对宏观特性的影响可以忽略，这属于统计平均有意义的变化区域。当 $\Delta\tau$ 继续增大到超过某一尺度 $\Delta\tau_1$ 后，所取体积内已包含宏观物理量显著不同的区域，$\bar{\rho}$ 又会因宏观上的非均匀性而偏离 $\rho$。

因此，连续介质模型所关注的体积介于 $\Delta\tau_0$ 与 $\Delta\tau_1$ 之间：这一范围内的体积相对于微观尺度足够大，相对于宏观尺度又足够小。小于 $\Delta\tau_0$ 时分子涨落显著，只有大于 $\Delta\tau_0$ 时统计平均才具有确定意义，这正是微观描述与宏观描述的区别所在。

3、流体质点与连续介质假设

定义1（流体质点） 把极限体积 $\Delta\tau_0$ 中所有流体分子的总体称为流体质点。

定义2（连续介质假设） 认为流体是一种由无限多连续分布的流体质点所组成的物质，这就是流体的连续介质假设。

大量的实际应用和实验都证明，在一般情况下，基于连续介质假设而建立的流体力学理论是正确的。需要注意，$\Delta\tau$ 在此表示体积元，与后文表示切应力的 $\tau$ 是含义不同的符号。

4、连续介质假设的适用判据

（1）判据

记 $l$ 为所研究的流体分子运动的平均自由程，$d$ 为极限体积的特征尺度，$L$ 为所研究流动中宏观物理量将发生显著变化的特征长度，则对某一种实际流动能否按连续介质假设下的理论来研究，有简单的判断式：

$$ l\ll d\ll L $$

各量的典型数量级如下：

1. 取 $d=10^{-3}\ \mathrm{cm}$，则 $\Delta\tau_0\approx 10^{-9}\ \mathrm{cm^3}$。在 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 和标准大气压下，$10^{-9}\ \mathrm{cm^3}$ 体积的气体中仍含有约 $2.7\times10^{10}$ 个分子，同样体积的液体中有约 $3\times10^{13}$ 个分子。由这么多分子构成的体积，足以得到与分子数无关的统计平均物理量。
2. 标准状态下，气体的 $l$ 约为 $10^{-7}\ \mathrm{cm}$，液体的 $l$ 约为 $10^{-8}\ \mathrm{cm}$。

$L$ 视问题而定：所研究的是管道中的流动，则特征长度可取管道直径或长度；所研究的是流体绕过物体的流动，则可取物体的长度、宽度或高度作为特征长度。若引入克努森（Knudsen）数:

$$ Kn=\frac{l}{L} $$

其中 $l$ 为分子平均自由程，$L$ 为特征长度，则判断式可概括为 $Kn\ll 1$，即分子平均自由程远小于宏观特征长度。有时候也会使用 $\lambda$ 表示分子平均自由程。

（2）适用条件与失效情形

由判断式可见，若所研究的流动问题中，宏观物理量发生显著变化的空间尺度不小于 $10^{-3}\ \mathrm{cm}$，时间尺度不小于 $10^{-6}\ \mathrm{s}$（后一条件保证分子间有足够多的碰撞次数），则采用连续介质假设应该是没有问题的。

在下列特殊流动问题中，该假设可能不成立：高空稀薄气体中物体的运动、血液在微细血管（直径 $<10^{-3}\ \mathrm{cm}$）中的运动、冲击波（厚度 $<10^{-4}\ \mathrm{cm}$）内气体的运动、微机电系统及纳米级器件中的流体力学问题。此时不能把流体看成连续介质，必须考虑分子的运动特性，采用微观或者宏观与微观相结合的途径来研究。本篇只涉及基于流体质点和连续介质假设的流体力学理论及其问题。

二、流体的可压缩性与热膨胀性

1、基本概念

定义3（可压缩性） 流体在外力（主要是压力）作用下，其体积或密度发生变化的性质称为流体的可压缩性，亦称体积弹性。

定义4（热膨胀性） 流体的体积或密度随温度改变的性质称为流体的热膨胀性。

2、密度的全微分

一般情况下，流体的密度是压强和温度的函数，即 $\rho=\rho(p,T)$，其中 $p$ 为压强，$T$ 为热力学温度。记 $v=1/\rho$ 为单位质量流体所占的体积，称为比体积。由全微分公式（把 $p$、$T$ 视为独立变量），得

$$ \mathrm{d}\rho=\frac{\partial \rho}{\partial p}\mathrm{d}p+\frac{\partial \rho}{\partial T}\mathrm{d}T $$

3、热体胀系数与等温压缩系数

定义5（热体胀系数）

$$ \beta=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial T}=\frac{1}{v}\frac{\partial v}{\partial T} $$

定义6（等温压缩系数）

$$ B=\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial p}=-\frac{1}{v}\frac{\partial v}{\partial p} $$

其中两个等号右端的等价变形推导如下：由 $v=1/\rho$ 得：

$$ \frac{\partial v}{\partial T}=-\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial \rho}{\partial T}\qquad \frac{\partial v}{\partial p}=-\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial \rho}{\partial p} $$

于是

$$ \frac{1}{v}\frac{\partial v}{\partial T}=\rho\left(-\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial T}=\beta $$

$$ -\frac{1}{v}\frac{\partial v}{\partial p}=-\rho\left(-\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial p}=B $$

由上述定义可得 $\dfrac{\partial \rho}{\partial p}=\rho B$，$\dfrac{\partial \rho}{\partial T}=-\rho\beta$，代入密度的全微分式，得：

$$ \mathrm{d}\rho=\rho B\,\mathrm{d}p-\rho\beta\,\mathrm{d}T $$

$\beta$ 表示在一定压强下温度增加 $1\ \mathrm{^\circ C}$ 时，流体密度的相对减小率或体积的相对膨胀率。不同流体的 $\beta$ 值不同，$\beta$ 值越大表示热体胀性越大；一般而言，气体的热体胀率比液体大。$B$ 表示在一定温度下压强增加一个单位时，流体密度的相对增加率或体积的相对缩小率。

4、体积弹性模量

$B$ 的倒数就是流体的弹性体积模量（或体积弹性模量），用 $K$ 表示：

$$ K=\frac{1}{B}=\rho\frac{\partial p}{\partial \rho}=-v\frac{\partial p}{\partial v} $$

式(1)中后两个等号的推导：由 $B=\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial \rho}{\partial p}$ 得 $\dfrac{1}{B}=\dfrac{\rho}{\partial \rho/\partial p}=\rho\dfrac{\partial p}{\partial \rho}$；又由反函数求导关系

$$ \frac{\partial p}{\partial v}=\frac{1}{\partial v/\partial p}=-\frac{\rho^{2}}{\partial \rho/\partial p} $$

得

$$ -v\frac{\partial p}{\partial v}=-\frac{1}{\rho}\left(-\frac{\rho^{2}}{\partial \rho/\partial p}\right)=\rho\frac{\partial p}{\partial \rho} $$

显然，$K$ 表示流体体积或密度产生相对变化所需的压强增量；$K$ 与压强 $p$ 的单位相同，均为 $\mathrm{N/m^2}$（$\mathrm{Pa}$）。

$K$ 是表征流体可压缩性最为方便的物理量：不同流体的 $K$ 值不同，$K$ 越大则可压缩性越小；同一种流体的 $K$ 值随压强和温度的变化而变化。

由式(11)作近似改写。由于 $\Delta\rho\approx\dfrac{\partial \rho}{\partial p}\Delta p=\dfrac{\rho}{K}\Delta p$，两端除以 $\rho$，得

$$ \frac{\Delta \rho}{\rho}\approx\frac{\Delta p}{K} $$

由此可估算相对密度变化：对液体而言，$K$ 值由实验确定。实验表明液体的 $K$ 值都很大，且受压强和温度变化的影响很小，几乎为定值，可见液体是很难压缩的。例如水的 $K$ 值约为 $2.04\times10^{9}\ \mathrm{N/m^2}$，当水压增加一个大气压（$1.013\times10^{5}\ \mathrm{N/m^2}$）时，由式(14)其体积仅缩小：

$$ \frac{\Delta p}{K}=\frac{1.013\times10^{5}}{2.04\times10^{9}}\approx 5\times10^{-5} $$

对气体而言，$K$ 值可按式(11)计算。若将气体视为完全气体，由状态方程 $p=\rho RT$（$R$ 为气体常数）可知，气体在等温压缩时：

$$ K=\rho\frac{\partial p}{\partial \rho}=\rho RT=p $$

即气体的 $K$ 值不是常数，而与压强成正比。例如当气体处在标准大气压时，$K$ 值约为 $1.013\times10^{5}\ \mathrm{N/m^2}$，此时气压等温增加 $0.1$ 个大气压，由式(14)得 $\Delta\rho/\rho\approx 0.1$，其体积将缩小十分之一，可见气体的可压缩性要比液体大得多。

5、不可压缩流体假设

严格地说，任何流体都是可压缩的，只是程度不同而已。但是考虑可压缩性意味着密度 $\rho$ 是一个变量，这增加了处理问题的复杂性。因此，在流体力学中，特别是在工程流体力学问题的处理中，为了抓住主要矛盾、使问题简化，常常将可压缩性很小的流体近似地视为不可压缩流体，简单地记作：

$$ \rho=常数 $$

这就是不可压缩流体假设。

（1）判断条件

运动中的流体是否可以假设为不可压缩，不能简单地只看其 $K$ 值的大小，而应把式:11)近似改写为式(12)，即

$$ \frac{\Delta \rho}{\rho}\approx\frac{\Delta p}{K} $$

若要将密度视作常数，则要求 $\Delta\rho/\rho\ll 1$，通常要求

$$ \frac{\Delta \rho}{\rho}<0.05 $$

（2）两种使条件满足的状况

1. 状况一：流体的 $K$ 值很大。此时即使 $\Delta p$ 并不很小，仍然保持流体的密度变化很小，大多数液体的流动就属于这种状况。因此，通常将液体的流动视为不可压缩流动，除非是在 $\Delta p$ 特别大的状况，例如水下爆炸、封闭管道中的水击现象等特殊问题。
2. 状况二：在所研究的范围内，运动流体中的压强变化 $\Delta p$ 很小，以致于 $K$ 值并不太大时，$\Delta\rho/\rho$ 还是很小，气体的大多数低速流动就属于这种状况。实验表明，对于那些压强的变化是由于流动速度的变化而引起的气体流动，例如静止大气中的低速飞行器周围的流场、风绕过建筑物的流动以及变截面管道中气体的低速流动等问题，当流动速度小于 $100\ \mathrm{m/s}$ 时，$\Delta\rho/\rho$ 很小，此时可以忽略可压缩性，把低速气体流动视为不可压缩流动。

（3）不可压缩流体与不可压缩流动

需要强调的是，严格地说，不可压缩流体和流体的不可压缩流动是两个概念。但只要是一种均质的不可压缩流体，两种提法都意味着密度 $\rho$ 时时、处处为同一常数，都记作 $\rho=常数$。

（4）与热膨胀性的关系

一切流体也都具有热体胀性。但在一般情况下，忽略可压缩性时也同时忽略热体胀性，除非流动主要是由于温度分布不均匀所造成的（如自然对流等）。

三、流体的粘性与导热性

1、流体的粘性

当两块平板沿接触面作相对滑动时，它们之间存在阻止滑动的摩擦力。在流体中，当相邻的两层流体之间存在相对运动时，也会产生平行于接触面的剪切力：运动快的流层对运动慢的流层施以拖曳力，运动慢的流层对运动快的流层施以阻滞力，这一对力大小相同、方向相反，是一种内摩擦力。

定义7（粘性） 流体所具有的抵抗两层流体相对滑动或剪切变形的性质称为流体的粘性（或粘滞性）。换言之，流体的粘性是一种在流体中产生内摩擦力的性质，因此通常称流体中的内摩擦力为粘性剪切力。粘性的作用表现为阻滞流体内部的相对滑动，这是流体粘性的重要特征。

2、牛顿粘性定律

（1）粘性实验

两块表面积为 $A$、水平放置的平行平板间充满某种流体（例如水或油），两板间距为 $h$，下板固定不动，上板在力 $F$ 的作用下沿 $x$ 方向以等速度 $U$ 平移。

（2）附着条件与速度分布

由于流体的粘性，流体与平板间存在附着力：

• 与上板接触的流体粘附于上板，并与上板同速移动，速度为 $U$；
• 与下板接触的流体粘附于下板，亦固定不动，速度为零。

只要两板间距 $h$ 和平移速度 $U$ 都选择得恰当地小，那么两板间的各流体薄层将在上板的带动下，一层带一层地作平行于平板的流动，其流动速度由上及下逐层递减而呈线性分布：

$$ u=u(y) $$

其中 $y$ 为垂直于平板的坐标。实验表明，使上板平移的外力 $F$ 的大小与平移速度 $U$ 以及平板表面积 $A$ 成正比，而与两板间距 $h$ 成反比，即

$$ F\propto \frac{AU}{h} $$

（4）牛顿粘性定律的得出

记 $\tau=F/A$ 为作用在单位接触面积流体上的内摩擦力。当两板间流体速度分布可近似假定为线性分布时，速度梯度为

$$ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=\frac{U}{h} $$

由 $F\propto AU/h$ 两端除以 $A$，得 $\tau=F/A\propto U/h$，即 $\tau\propto \mathrm{d}u/\mathrm{d}y$。牛顿通过大量的实验，把结果总结为一个数学表达式

$$ \tau=\mu\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} $$

这就是著名的牛顿粘性定律，也称牛顿内摩擦定律。其中：$\tau$ 是作用在单位接触面积流体上的内摩擦力，称为粘性切应力；$\mathrm{d}u/\mathrm{d}y$ 称为速度梯度或剪切应变率；$\mu$ 称为动力粘度或动力粘性系数。

在一维平行层状流动中，取两条相互垂直的流体线段，其中一条沿 $x$ 方向。经过 $\mathrm{d}t$ 时间后，相距 $\mathrm{d}y$ 的两相邻流层的相对位移为 $\mathrm{d}u\,\mathrm{d}t$，故剪切角 $\gamma$ 的变化率为

$$ \frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}u\,\mathrm{d}t/\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} $$

即速度梯度在数值上等于剪切应变率。

3、流体的粘度

（1）动力粘度

流体的动力粘度 $\mu$ 是由流体本身固有的物理性质所决定的量，其值是流体粘性大小的一种直接度量，也是流体在运动中抵抗剪切变形能力强弱的一种度量。在相同的环境条件下，$\mu$ 大表示粘性大，反之亦然。$\mu$ 的单位是 $\mathrm{Pa\cdot S}$，即 $\mathrm{N\cdot S/m^2}$。

（2）粘度与压强、温度的关系

不同流体的 $\mu$ 值不同，$\mu$ 值主要通过实验或专门的粘度计测量给出。同一种流体的 $\mu$ 值一般随压强和温度的不同而变化。

实验表明：压强的变化对 $\mu$ 的影响较小，在低于 10 个大气压的变化范围内，压强变化的影响可忽略不计；温度的变化对 $\mu$ 的影响较大，而且液体和气体的动力粘度 $\mu$ 随温度的变化呈现出相反的趋势：液体的动力粘度随温度的升高而减小，气体的动力粘度随温度的升高而增大。

4、牛顿流体与非牛顿流体

粘性流体作一维平行剪切流动时，流体中的粘性切应力与剪切应变率成线性关系。但大量实验又表明，在同样的流动状况下，并不是所有的流体都能满足这个牛顿粘性定律。

定义8（牛顿流体） 通常把能服从牛顿粘性定律的流体称为牛顿流体。

定义9（非牛顿流体） 有粘性但不服从牛顿粘性定律的流体称为非牛顿流体。

在自然界和工程中，常见的水、空气、水蒸气、各种气体和润滑油等都属于牛顿流体；但牛奶、蜂蜜、油脂、油漆、高分子聚合物溶液、水泥浆和动物血液等则属于非牛顿流体。

5、无粘性流体假设

一切真实的流体都具有粘性，但流体力学的发展史和应用实践表明，并不是所有的流体力学应用问题都必须考虑流体的粘性。当流体的动力粘度很小而运动的速度梯度不大，或者当运动的速度梯度很小而流体的动力粘度不大时，流体中的粘性切应力 $\tau$ 就很小（或者与其他的作用力相比将是比较小的），此时往往可以忽略其粘性效应。

定义10（无粘性流体） 在流动中忽略粘性效应的流体称为无粘性流体或理想流体，此时可以简单地令流体的动力粘度 $\mu=0$。

6、流体的导热性

（1）导热性的定义

定义11（导热性） 无论流体运动与否，当流体中的温度分布不均匀时，由于分子的热运动，流体的热能将由温度高的一层流体向温度低的一层流体输运，这种热能的输运性质称为流体的导热性。

（2）傅里叶热传导定律

表征流体导热性的物理定律就是傅里叶（Fourier）热传导定律，其数学表达式为

$$ \boldsymbol{q}=-k\nabla T $$

式中：$\boldsymbol{q}$ 是单位时间内通过单位面积流体的热量，又称热流密度矢量；$\nabla T$ 称为温度梯度，它也是一个矢量；$k$ 称为流体的导热系数或热导率。一般流体的导热性是各向同性的，因而它是一个标量；负号表示热量的流向与温度梯度的方向相反。

热流密度的单位是 $\mathrm{W/m^2=J/(s\cdot m^2)}$，温度梯度的单位是 $\mathrm{K/m}$，因而导热系数的单位是 $\mathrm{W/(m\cdot K)}$。

（3）一维导热

当流体中的温度分布为一维时，例如 $T=T(y)$，则式(4)简化为一维的热传导定律

$$ q_y=-k\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}y} $$

（4）导热系数与绝热流体假设

不同的流体，导热系数 $k$ 值也不同；同一种流体的 $k$ 值一般随压强和温度的不同而变化，它的值通过实验来测定。

通常情况下，液体的导热性要比气体好。但在大多数流动问题中，由于流动中的温度梯度较小，或者是由于流动速度较快、流体来不及进行热传导等原因，常常可以忽略导热性，此时简单地令导热系数 $k=0$。

定义12（绝热流体） 忽略导热性的流体（流动）称为绝热流体（流动）。

对于假定为无粘性不可压缩的流体，它也必定可以假定为绝热流体；无粘性绝热流体的流动必定是等熵流动。

7、粘性、导热与扩散的相似性

（1）三个输运方程的形式相似

比较两式以及描述质量扩散的斐克（Fick）定律，一维情形下三个定律的数学表达式具有相同的形式：

即三者的通量都正比于相应的梯度，梯度是输运的驱动力；导热与粘性在数学表达式上的这一相似性，正是动量输运、能量输运与质量输运可以类比处理的原因。

（2）扩散率与无量纲数

与三个定律对应的扩散率分别为：动量扩散率即运动粘度 $\nu=\mu/\rho$，热扩散率 $\alpha=k/(\rho c_p)$（$c_p$ 为定压比热容），质量扩散率即扩散系数 $D$。由此可定义动量扩散与热扩散之比（普朗特数）$Pr=\nu/\alpha$，以及动量扩散与质量扩散之比（施密特数）$Sc=\nu/D$。