振动力学分类与基本方程

[!NOTE]
难度较高，我也不太懂，SRTP 要用，考试应该不考

一、研究对象与符号约定

振动力学研究系统的振荡运动及其产生、传播和控制。常见模型描述物体在平衡位置附近的运动，但振动也可能是非周期的，或发生在随时间变化的参考运动附近。

振动研究通常包含两类任务：

• 正问题：给定系统参数、激励和初始条件；对于连续系统，还需给定边界条件，求解运动响应。
• 逆问题：根据观测到的响应及已知信息，识别系统参数、载荷或损伤。逆问题可能不唯一，通常需要额外约束。

正、逆问题均可涉及常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）。采用哪类方程，主要取决于系统的空间建模方式，而不是问题属于正问题还是逆问题。

本文用 $t$ 表示时间，变量上方的点表示对时间求导，例如 $\dot{x}=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$、$\ddot{x}=\mathrm{d}^2x/\mathrm{d}t^2$。对同时依赖空间和时间的场函数，用下标表示偏导，例如 $u_x=\partial u/\partial x$、$u_{tt}=\partial^2u/\partial t^2$。粗体字母表示向量或矩阵，上标 $\mathsf T$ 表示转置。各节重新使用某个符号时，会说明其在当前模型中的含义。

二、振动问题的分类

1. 按自由度分类

自由度是在给定约束下，独立确定系统瞬时位形所需的广义坐标数。以下讨论具有独立位形坐标的常规机械系统。

连续系统具有无限自由度，意味着其一般位形不能由有限个独立坐标完整表示；这不表示各点的运动相互独立，各点之间仍受连续性、内力和边界条件约束。将连续系统作有限元离散或模态截断，可得到有限自由度近似模型。

2. 按激励机制分类

下表中，$F(t)$ 表示给定的外加力，$k(t)$ 表示随时间变化的刚度。

这些机制可以同时存在。仅凭方程右端为零，不能断定系统没有能量输入；自激和参数激励的能量交换可能体现在方程左端。

3. 按系统性质分类

• 线性与非线性：看控制方程对未知位移及其导数是否线性。线性系统满足叠加原理；仅检查弹簧力是否与位移成正比还不够，惯性、阻尼、几何关系和约束也可能引入非线性。
• 时不变与时变：看系统参数是否显含时间。时变系统仍可是线性的。
• 确定性与随机性：看参数、激励或初始条件是否需要用随机变量或随机过程描述。随机过程的“平稳性”与系统的“时不变性”是不同概念。

三、离散系统与常微分方程

1. 单自由度线性系统

1.1 模型与运动方程

考虑质量—弹簧—黏性阻尼系统。设质量为 $m>0$，弹簧刚度为 $k>0$，被动黏性阻尼系数为 $c\geq0$，质量块相对静平衡位置的位移为 $x(t)$，外加动态力为 $F(t)$。静载荷及其引起的静变形已在平衡位置中扣除。

取 $x$ 增大的方向为正方向。弹簧和阻尼器实际作用于质量块的力分别为 $F_k=-kx$、$F_c=-c\dot{x}$。由牛顿第二定律，

$$ F(t)-kx-c\dot{x}=m\ddot{x} $$

因此，运动方程为

$$ m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t) $$

也可引入达朗贝尔惯性力 $-m\ddot{x}$，写成形式上的力平衡；该惯性力不是额外的真实外力，不能在牛顿第二定律的实际力之和中重复计入。

给定初始位移 $x_0$ 和初始速度 $v_0$，初始条件为

$$ x(0)=x_0,\qquad \dot{x}(0)=v_0 $$

当 $F(t)=0$ 时，得到自由振动方程。

1.2 固有角频率与阻尼比

定义无阻尼固有角频率 $\omega_0$ 和阻尼比 $\xi$：

$$ \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \xi=\frac{c}{2m\omega_0}=\frac{c}{2\sqrt{mk}} $$

$\omega_0$ 的单位为 $\mathrm{rad/s}$；以赫兹计的固有频率为 $f_0=\omega_0/(2\pi)$。方程除以 $m$ 后得到

$$ \ddot{x}+2\xi\omega_0\dot{x}+\omega_0^2x=\frac{F(t)}{m} $$

为说明这些参数的含义，设自由响应的试探形式为 $x(t)=X\mathrm{e}^{st}$，其中 $X$ 为非零常系数，$s$ 为待定的复增长率，$\mathrm e$ 为自然对数的底。代入可得特征方程及其根：

$$ s^2+2\xi\omega_0s+\omega_0^2=0,\qquad s=-\xi\omega_0\pm\omega_0\sqrt{\xi^2-1} $$

当 $0\leq\xi<1$ 时，定义阻尼振动角频率 $\omega_\mathrm{d}=\omega_0\sqrt{1-\xi^2}$，自由响应为

$$ x(t)=\mathrm{e}^{-\xi\omega_0t} \left[ x_0\cos(\omega_\mathrm{d}t) +\frac{v_0+\xi\omega_0x_0}{\omega_\mathrm{d}}\sin(\omega_\mathrm{d}t) \right] $$

当 $\xi=0$ 时，响应的角频率就是 $\omega_0$；当 $\xi=1$ 时为临界阻尼；当 $\xi>1$ 时为过阻尼。后两种情形的自由响应不含正弦振荡项。因此，“自由振动方程”不意味着所有参数下的响应都呈往复振荡。

1.3 能量关系

定义机械能 $\mathcal E$ 为动能与弹性势能之和：

$$ \mathcal E=\frac12m\dot{x}^2+\frac12kx^2 $$

将运动方程乘以 $\dot{x}$，并利用乘积求导法则，得到

$$ \frac{\mathrm{d}\mathcal E}{\mathrm{d}t} =\dot{x}(m\ddot{x}+kx) =F(t)\dot{x}-c\dot{x}^2 $$

其中 $F(t)\dot{x}$ 是外力输入功率，$c\dot{x}^2$ 是阻尼耗散功率。无阻尼自由运动的机械能守恒；被动阻尼自由运动的机械能不增。

2. 外激励及其频域表示

2.1 单谐和与多谐和激励

设力幅值为 $F_0\geq0$，激励角频率为 $\omega>0$，初相位为 $\varphi$，单谐和激励写为

$$ F(t)=F_0\cos(\omega t+\varphi) $$

多谐和激励是有限个单谐和项的叠加。设项数为 $N_h$，第 $n$ 项的幅值、激励角频率和初相位分别为 $F_n$、$\omega_{\mathrm{e},n}$、$\varphi_n$，则

$$ F(t)=\sum_{n=1}^{N_h}F_n\cos(\omega_{\mathrm{e},n}t+\varphi_n) $$

合并同频项后，只有当各非零分量的频率存在公共基频、均为其整数倍时，该叠加才具有公共周期。

单谐和问题可直接用复数法求特解。定义虚数单位 $\mathrm{i}$ 满足 $\mathrm{i}^2=-1$，以 $\operatorname{Re}$ 表示取实部，以 $\widehat F=F_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$、$\widehat x$ 表示力与位移的复幅值。将 $F(t)=\operatorname{Re}(\widehat F\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t})$ 和同频位移代入方程，得到

$$ (k-m\omega^2+\mathrm{i}c\omega)\widehat x=\widehat F $$

定义位移对力的频率响应函数 $H(\omega)$：

$$ H(\omega)=\frac{1}{k-m\omega^2+\mathrm{i}c\omega},\qquad x_p(t)=\operatorname{Re}\!\left[H(\omega)\widehat F\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right] $$

其中 $x_p$ 为特解，表达式要求分母非零。完整响应还需加上满足初始条件的齐次解；当 $c>0$ 时齐次解衰减，该特解才是长时间稳态响应。无阻尼共振 $\omega=\omega_0$ 时，此公式失效，须另求含随时间增长项的特解。

2.2 周期激励与傅里叶级数

设周期为 $T_p>0$，基频角频率为 $\omega=2\pi/T_p$。对一周期内分段光滑的周期力，可写傅里叶级数

$$ F(t)\sim\overline F+ \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\right] $$

其中 $\overline F$ 为周期平均力，$a_n$、$b_n$ 分别为第 $n$ 阶余弦、正弦系数：

$$ \begin{aligned} \overline F&=\frac{1}{T_p}\int_0^{T_p}F(t)\,\mathrm{d}t\\ a_n&=\frac{2}{T_p}\int_0^{T_p}F(t)\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t\\ b_n&=\frac{2}{T_p}\int_0^{T_p}F(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t \end{aligned} $$

系数公式来自三角函数在一个周期内的正交性。例如，对正整数 $n,j$，

$$ \int_0^{T_p}\cos(n\omega t)\cos(j\omega t)\,\mathrm{d}t =\begin{cases} T_p/2,&n=j\\ 0,&n\ne j \end{cases} $$

正弦函数有相同的正交关系，正弦与余弦的交叉积分为零。将级数分别乘以对应的三角函数后积分，即可提取各系数。级数在连续点收敛到函数值，在跳跃点收敛到左右极限的平均值；上式的 $\sim$ 表示傅里叶级数表示，不预设处处等于原函数。

2.3 非周期确定性激励

以 $\widehat F(\omega)$ 表示力的傅里叶变换，$\omega$ 为变换中的角频率变量。采用约定

$$ \widehat F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}F(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{d}t $$

绝对可积条件

$$ \int_{-\infty}^{\infty}|F(t)|\,\mathrm{d}t<\infty $$

是上述积分对每个 $\omega$ 存在的充分条件，因为复指数的模为 $1$。它不是所有傅里叶分析框架下的必要条件：平方可积信号可在均方意义下变换，恒定力和无限时长正弦力可在广义函数意义下处理。

对有初始条件的瞬态问题，也可使用卷积积分、拉普拉斯变换或直接时域积分。不能把初始条件的作用从完整响应中省略。

2.4 随机激励

随机激励可以在频域中分析。设实值随机力 $F(t)$ 为二阶宽平稳过程，即均值恒定、二阶矩有限，且自相关仅依赖时间差。以 $\mathbb E$ 表示数学期望、$\tau$ 表示时滞，定义自相关函数

$$ R_F(\tau)=\mathbb E[F(t)F(t+\tau)] $$

当 $R_F$ 绝对可积时，力的双边功率谱密度 $S_F$ 为

$$ S_F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}R_F(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\,\mathrm{d}\tau $$

这就是维纳—辛钦关系的一种常用形式。相关函数的可积性是条件，不能人为要求任意过程都满足；含谱线的平稳过程可用谱测度或广义函数描述。集合平均也只有在相应遍历性条件下，才能用一条样本的长时间平均代替。相关定义可参阅 MIT 关于功率谱密度的讲义。

对前述 $m,k,c>0$ 的稳定线性时不变系统，设 $S_x$ 为平稳位移响应的功率谱密度，则

$$ S_x(\omega)=|H(\omega)|^2S_F(\omega) $$

其原因可由卷积说明。设 $h$ 为系统的实值脉冲响应，其傅里叶变换为 $H$，$a,b$ 为积分变量。在平稳状态下，且相关积分可交换时，

$$ x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(a)F(t-a)\,\mathrm{d}a $$

$$ R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} h(a)h(b)R_F(\tau+a-b)\,\mathrm{d}a\,\mathrm{d}b $$

其中 $R_x(\tau)=\mathbb E[x(t)x(t+\tau)]$。对时滞作傅里叶变换，平移产生的两个因子分别为 $H(-\omega)$、$H(\omega)$；由于 $h$ 为实函数，$H(-\omega)$ 是 $H(\omega)$ 的复共轭，两者乘积即 $|H(\omega)|^2$。该关系描述平稳响应，不包含任意初始条件引起的衰减瞬态。

3. 非线性恢复力、非线性阻尼与参数激励

3.1 恢复力与 Duffing 模型

以 $r(x)$ 表示移到方程左端的弹性项，因此弹簧实际作用力为 $-r(x)$。含三次项的模型为

$$ r(x)=kx+\alpha x^3,\qquad m\ddot{x}+c\dot{x}+kx+\alpha x^3=F(t) $$

其中 $\alpha$ 为三次刚度系数，单位为 $\mathrm{N/m^3}$。这是常见的 Duffing 方程形式。对 $k>0$，切线刚度为

$$ \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}x}=k+3\alpha x^2 $$

因此 $\alpha>0$ 对应硬化，$\alpha<0$ 对应局部软化。软化三次模型在大位移下可能失去稳定性，通常只在有限位移范围内适用，不能无条件外推。

Duffing 方程的可解性取决于参数和激励。无阻尼、无外力时，乘以 $\dot{x}$ 并积分可得能量第一积分

$$ \frac12m\dot{x}^2+\frac12kx^2+\frac14\alpha x^4=\mathcal E_0 $$

其中 $\mathcal E_0$ 为由初始条件确定的常量。定义势能 $V(x)=kx^2/2+\alpha x^4/4$，在运动单调且 $\mathcal E_0>V(x)$ 的区间上，可分离变量得到

$$ t-t_0=\pm\sqrt{\frac m2}\int_{x(t_0)}^{x(t)} \frac{\mathrm{d}\chi}{\sqrt{\mathcal E_0-V(\chi)}} $$

这里 $t_0$ 为参考时刻，$\chi$ 为积分变量，正负号由运动方向确定。这给出了隐式积分解，特定情形还可用椭圆函数表示；一般受迫、有阻尼情形通常采用近似分析或数值求解。

3.2 阻尼与 Van der Pol 模型

以 $d(x,\dot{x})$ 表示方程左端的阻尼项，阻尼器实际作用力为 $-d$。线性黏性阻尼为 $d=c\dot{x}$；一般非线性形式可写成

$$ d(x,\dot{x})=c_{\mathrm{eff}}(x,\dot{x})\dot{x} $$

其中 $c_{\mathrm{eff}}$ 为有效阻尼系数。若 $c_{\mathrm{eff}}\geq0$，阻尼功率 $-c_{\mathrm{eff}}\dot{x}^2\leq0$；若某些状态下 $c_{\mathrm{eff}}<0$，该项向运动输入能量。

并非所有状态相关阻尼都属于 Van der Pol 模型。其典型无量纲形式为

$$ \frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}\vartheta^2} -\mu(1-z^2)\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\vartheta}+z=0 $$

其中 $z$ 为无量纲位移，$\vartheta$ 为无量纲时间，$\mu>0$ 为非线性阻尼参数。小位移区域 $|z|<1$ 为负阻尼区，$|z|>1$ 为耗能区。这个特定的阻尼结构是其关键特征，参见 Caltech 的非线性振子方程示例。非线性情形通常采用近似或数值分析；当 $\mu=0$ 时，方程退化为可直接求解的简谐振子。

3.3 参数激励

参数激励指系统系数随时间受调制。例如，设平均刚度为 $k_0>0$，无量纲调制幅值为 $h_p$，调制角频率为 $\omega_p$，则

$$ m\ddot{x}+c\dot{x}+k_0[1+h_p\cos(\omega_pt)]x=0 $$

即使没有外加力，变化的刚度也可交换能量。对一般 $k(t)$，定义瞬时机械能为 $\mathcal E=m\dot{x}^2/2+k(t)x^2/2$，直接求导并代入方程得

$$ \frac{\mathrm{d}\mathcal E}{\mathrm{d}t} =-c\dot{x}^2+\frac12\dot{k}(t)x^2 $$

右端第二项就是刚度调制的能量交换项。参数变化不一定导致增长；是否出现不稳定取决于调制频率、幅值和阻尼等条件。质量、阻尼或刚度随时间变化时，都应从具体力学模型重新建立方程。

4. 多自由度系统

4.1 二自由度系统：牛顿法

考虑两个质量块 $m_1,m_2>0$，由刚度为 $k_1,k_2,k_3>0$ 的三根弹簧连接。$x_1(t)$、$x_2(t)$ 为相对各自静平衡位置、向右为正的位移。

固定端 ──[ k₁ ]── ( m₁ ) ──[ k₂ ]── ( m₂ ) ──[ k₃ ]── 固定端
                     x₁ →                  x₂ →

中间弹簧的伸长量为 $x_2-x_1$，它对两个质量块施加大小相等、方向相反的力。无外力、无阻尼时，

$$ \begin{aligned} m_1\ddot{x}_1&=-k_1x_1+k_2(x_2-x_1)\\ m_2\ddot{x}_2&=-k_2(x_2-x_1)-k_3x_2 \end{aligned} $$

整理得

$$ \begin{bmatrix}m_1&0\\0&m_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ddot{x}_1\\\ddot{x}_2\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}k_1+k_2&-k_2\\-k_2&k_2+k_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} $$

4.2 矩阵方程及其来源

对平衡位置附近的小振动，若惯性系数恒定、恢复力线性且保守、阻尼为线性黏性阻尼，可写成

$$ \boldsymbol M\ddot{\boldsymbol q} +\boldsymbol C\dot{\boldsymbol q} +\boldsymbol K\boldsymbol q=\boldsymbol Q(t) $$

这里 $\boldsymbol q=(q_1,\ldots,q_n)^{\mathsf T}$ 为广义位移向量，$\boldsymbol Q$ 为与其功共轭的广义外力向量；$\boldsymbol M$、$\boldsymbol C$、$\boldsymbol K$ 分别是 $n\times n$ 的质量、阻尼和刚度矩阵。若某个坐标为转角，对应广义力就是力矩。

该形式可由能量法推导。令 $\mathcal T$ 为动能、$\mathcal V$ 为势能、$\mathcal R$ 为瑞利耗散函数，在对称矩阵模型下写为

$$ \begin{aligned} \mathcal T&=\frac12\dot{\boldsymbol q}^{\mathsf T}\boldsymbol M\dot{\boldsymbol q}\\ \mathcal V&=\frac12\boldsymbol q^{\mathsf T}\boldsymbol K\boldsymbol q\\ \mathcal R&=\frac12\dot{\boldsymbol q}^{\mathsf T}\boldsymbol C\dot{\boldsymbol q} \end{aligned} $$

对每个 $q_j$，含耗散项的拉格朗日方程为

$$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal T}{\partial\dot q_j} -\frac{\partial\mathcal T}{\partial q_j} +\frac{\partial\mathcal V}{\partial q_j} +\frac{\partial\mathcal R}{\partial\dot q_j}=Q_j $$

其中 $Q_j$ 为第 $j$ 个广义力分量。由于 $\boldsymbol M$ 为常矩阵，各项分别给出 $\boldsymbol M\ddot{\boldsymbol q}$、零、$\boldsymbol K\boldsymbol q$、$\boldsymbol C\dot{\boldsymbol q}$ 的相应分量，从而得到矩阵运动方程。

矩阵性质需要结合物理条件说明：

• 对采用独立坐标且不含无质量自由度的常规模型，非零广义速度产生正动能，因此 $\boldsymbol M$ 对称正定。
• 对保守系统，$\boldsymbol K$ 是平衡位置处势能的二阶导数矩阵，因此对称。在势能局部极小的平衡位置，$\boldsymbol K$ 半正定；若二次势能对每个非零位移均为正，则正定。刚体模态可使其具有零特征值，不稳定平衡处则不保证半正定。
• 被动黏性阻尼且可由上述耗散函数表示时，$\boldsymbol C$ 对称半正定。陀螺力、非保守力、主动反馈或更一般阻尼需要单独处理。

例如，对二自由度弹簧系统，任取非零实向量 $\boldsymbol v=(v_1,v_2)^{\mathsf T}$，有

$$ \boldsymbol v^{\mathsf T}\boldsymbol K\boldsymbol v =k_1v_1^2+k_2(v_2-v_1)^2+k_3v_2^2>0 $$

这直接证明了该系统刚度矩阵的正定性。若两端弹簧均移除，即 $k_1=k_3=0$，则 $v_1=v_2$ 的刚体平移不储存弹性能，此时刚度矩阵仅为半正定。

同理，对上述对称常矩阵模型，将运动方程左乘 $\dot{\boldsymbol q}^{\mathsf T}$ 得

$$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\mathcal T+\mathcal V) =\dot{\boldsymbol q}^{\mathsf T}\boldsymbol Q -\dot{\boldsymbol q}^{\mathsf T}\boldsymbol C\dot{\boldsymbol q} $$

该式也是检查阻尼项符号和模型能量性质的依据。一般非线性或时变系统不能无条件套用常矩阵形式。

四、连续系统与偏微分方程

连续模型中的未知量是位移场，同时依赖空间坐标和时间。以下以轴向空间坐标 $x$、构件长度 $L>0$ 表示一维区域 $0<x<L$；这里的 $x$ 是空间位置，不再表示单自由度位移。控制方程必须与初始条件、边界条件共同使用。

1. 弦的横向振动

1.1 假设与微元方程

设 $w(x,t)$ 为弦的横向位移，$T_0>0$ 为恒定预张力，$\lambda>0$ 为单位长度质量，$p(x,t)$ 为单位长度横向外力。假设弦不抵抗弯曲，横向斜率满足 $|w_x|\ll1$，忽略振动引起的张力高阶变化。

设弦切线与 $x$ 轴的夹角为 $\psi$，则 $\tan\psi=w_x$，在线性近似下 $\sin\psi\approx w_x$。取长度为 $\Delta x$ 的小段，由横向动量平衡，在载荷与加速度连续处有

$$ \lambda\Delta x\,w_{tt}(x,t) =T_0[w_x(x+\Delta x,t)-w_x(x,t)] +p(x,t)\Delta x+o(\Delta x) $$

其中 $o(\Delta x)$ 表示除以 $\Delta x$ 后随 $\Delta x\to0$ 而趋于零的余项。除以 $\Delta x$ 并取极限，得到线性弦方程

$$ \lambda w_{tt}-T_0w_{xx}=p(x,t) $$

无外力时，定义弦波速 $c_s=\sqrt{T_0/\lambda}$，得

$$ w_{tt}=c_s^2w_{xx} $$

1.2 行波解的推导与适用范围

引入特征坐标 $\chi=x-c_st$、$\eta=x+c_st$，并写 $w(x,t)=W(\chi,\eta)$。由链式法则，

$$ w_{tt}-c_s^2w_{xx}=-4c_s^2W_{\chi\eta}=0 $$

因此 $W_{\chi\eta}=0$，积分得

$$ w(x,t)=f(x-c_st)+g(x+c_st) $$

其中 $f$、$g$ 为由初始条件及边界条件确定的行波函数，分别表示向右和向左传播的波。该表示直接适用于无限长弦，也可局部使用；有限弦上不能任意选取两个函数而忽略端点条件。

对无限长弦，设初始位移为 $w_0(x)$、初始速度为 $v_0(x)$。由 $f+g=w_0$、$-c_sf'+c_sg'=v_0$，其中撇号表示对函数自变量求导，可得达朗贝尔初值解

$$ w(x,t)=\frac{w_0(x-c_st)+w_0(x+c_st)}2 +\frac{1}{2c_s}\int_{x-c_st}^{x+c_st}v_0(s)\,\mathrm ds $$

其中 $s$ 为积分变量。有限长、两端固定的弦还需满足 $w(0,t)=w(L,t)=0$，初始数据应与这些条件相容。

2. 杆的纵向振动

设 $u(x,t)$ 为杆的轴向位移，$A$ 为截面积，$\rho$ 为体积质量密度，$E$ 为杨氏模量。采用细长杆的一维、小应变、线弹性近似，认为同一截面的轴向位移均匀，忽略横向惯性及三维效应。

以 $\varepsilon$ 表示轴向应变、$\sigma$ 表示轴向正应力、$N$ 表示拉伸为正的轴力，则

$$ \varepsilon=u_x,\qquad \sigma=E\varepsilon,\qquad N=A\sigma=EAu_x $$

设 $p_u(x,t)$ 为单位长度轴向外力。微段两端轴力的合力为 $N(x+\Delta x,t)-N(x,t)$；除以 $\Delta x$ 并取极限，得到

$$ \rho A u_{tt}=N_x+p_u, \qquad \rho A u_{tt}-\frac{\partial}{\partial x}(EAu_x)=p_u $$

后一形式允许 $E,A,\rho$ 随位置变化。均匀等截面、无外力时，定义杆的纵向波速 $c_r=\sqrt{E/\rho}$，得

$$ u_{tt}=c_r^2u_{xx} $$

这里的 $c_r$ 是细长杆一维纵振动模型的波速，不是无限三维弹性体纵波波速的通用表达式。

杆的每个端点通常给定位移或轴向端力之一。例如固定端为 $u=0$，无载自由端为 $N=EAu_x=0$；有端力时须按端面外法向确定正负号。还需给定初始位移 $u(x,0)$ 和初始速度 $u_t(x,0)$。

3. 欧拉—伯努利梁的横向振动

3.1 运动学假设与弯曲势能

设 $w(x,t)$ 为梁的横向位移，$A$ 为截面积，$\rho$ 为体积质量密度，$E$ 为杨氏模量，$I$ 为截面对中性轴的截面二次矩，$p_b(x,t)$ 为单位长度横向外力。

假设梁细长、变形和转角小，截面变形后仍保持平面且垂直于变形后的中性轴；忽略剪切变形和截面转动惯性，不计轴向预载荷。此时采用欧拉—伯努利梁模型。

以 $z$ 表示截面上到中性轴的有符号距离，轴向弯曲应变为 $\varepsilon_x=-zw_{xx}$。截面二次矩及梁的弯曲势能 $\mathcal U_b$ 为

$$ I=\int_Az^2\,\mathrm dA,\qquad \mathcal U_b=\frac12\int_0^L\int_AE\varepsilon_x^2\,\mathrm dA\,\mathrm dx =\frac12\int_0^LEI(w_{xx})^2\,\mathrm dx $$

3.2 用虚功推导控制方程

用 $\delta w$ 表示满足位移约束的任意虚位移，并定义与曲率 $w_{xx}$ 功共轭的截面弯矩量 $M=EIw_{xx}$。其正号由此定义，避免与其他弯矩正号约定混用。对弯曲势能作变分并分部积分两次，

$$ \begin{aligned} \delta\mathcal U_b &=\int_0^LM\,\delta w_{xx}\,\mathrm dx\\ &=\left[M\,\delta w_x-M_x\,\delta w\right]_0^L +\int_0^LM_{xx}\,\delta w\,\mathrm dx \end{aligned} $$

这里 $[\cdot]_0^L$ 表示在 $x=L$ 的值减去在 $x=0$ 的值。对端点附近为零的虚位移，达朗贝尔虚功方程为

$$ \delta\mathcal U_b+ \int_0^L\rho A w_{tt}\,\delta w\,\mathrm dx =\int_0^Lp_b\,\delta w\,\mathrm dx $$

由于内部的 $\delta w$ 任意，得到

$$ \rho A w_{tt}+\frac{\partial^2}{\partial x^2}(EIw_{xx})=p_b(x,t) $$

均匀等截面、无外力时，简化为

$$ EIw_{xxxx}+\rho A w_{tt}=0 $$

若写成 $w_{tt}+a_b^2w_{xxxx}=0$，则 $a_b=\sqrt{EI/(\rho A)}$ 的单位为 $\mathrm{m^2/s}$，不是波速。梁弯曲波具有色散：设行波为 $w=W_a\mathrm{e}^{\mathrm i(\kappa x-\omega t)}$，其中 $W_a$ 为复幅值、$\kappa>0$ 为波数、$\omega>0$ 为角频率，实际位移取其实部。代入得到

$$ \omega^2=\frac{EI}{\rho A}\kappa^4, \qquad c_{\mathrm{ph}}=\frac{\omega}{\kappa}=a_b\kappa $$

其中 $c_{\mathrm{ph}}$ 为相速度，可见其随波数变化。

3.3 边界条件

梁方程对空间为四阶，因此常规有限区间问题需要四个独立空间边界条件，通常每端两个。由边界虚功项可识别：位移 $w$ 与剪力型量配对，转角 $w_x$ 与弯矩型量配对。

这些条件在对应端点处施加；若存在非零端力或端力矩，则边界项应等于相应外力虚功，正负号还取决于左右端点。时间方向为二阶，另需给定初始位移 $w(x,0)$ 与初始速度 $w_t(x,0)$。

4. 统一形式与算子的适用条件

4.1 无阻尼线性模型的统一表示

以 $\boldsymbol r$ 表示空间位置，$u(\boldsymbol r,t)$ 表示某个位移分量，$\mu(\boldsymbol r)$ 表示相应的质量分布参数，$f(\boldsymbol r,t)$ 表示与其对应的分布外力，$\mathcal L$ 表示空间刚度微分算子。上述无阻尼线性模型可统一写为

$$ \mu(\boldsymbol r)u_{tt}+\mathcal L[u]=f(\boldsymbol r,t) $$

一维模型中 $\mu$ 为单位长度质量、$f$ 为单位长度外力；二维模型中分别为单位面积质量和单位面积外力。

下表中的 $u$ 统一代表对应位移场。对二维模型，$x,y$ 为面内坐标，$\nabla^2=\partial_x^2+\partial_y^2$ 为拉普拉斯算子，$\nabla^4=(\nabla^2)^2$ 为双拉普拉斯算子；$N_0$ 为均匀各向同性膜张力（单位长度上的力），$h$ 为板厚，$\nu$ 为泊松比，$D=Eh^3/[12(1-\nu^2)]$ 为各向同性薄板的抗弯刚度。

前面已推导弦、杆、梁方程。膜的算子来自两个面内方向张力分量的合力。薄板项也可由弯曲势能验证：设板的中面区域为 $\mathcal A$，对于常数 $D,\nu$，其势能为

$$ \mathcal U_p=\frac D2\int_{\mathcal A} \left[u_{xx}^2+u_{yy}^2+2\nu u_{xx}u_{yy} +2(1-\nu)u_{xy}^2\right]\,\mathrm dA $$

其中 $\mathcal U_p$ 为板的弯曲势能。对内部紧支撑的虚位移 $\delta u$ 作变分，并对各项分部积分两次，内部系数为

$$ D\left[u_{xxxx}+\nu u_{xxyy} +u_{yyyy}+\nu u_{xxyy}+2(1-\nu)u_{xxyy}\right] =D\nabla^4u $$

由此得到表中的薄板算子；边界项则用于确定具体板边界条件。若板厚、材料或预应力变化，不能直接沿用常系数形式。

4.2 为什么自伴性必须结合边界条件

空间表达式具有对称形式，并不自动意味着任意边界条件下的算子都是自伴的。设 $a(x),b(x)$ 为满足相同齐次边界条件的实值光滑试函数，并定义内积 $\langle a,b\rangle=\int_0^Lab\,\mathrm dx$。

对弦算子 $\mathcal L[b]=-T_0b_{xx}$，分部积分得

$$ \langle a,\mathcal L[b]\rangle- \langle\mathcal L[a],b\rangle =T_0[a_xb-ab_x]_0^L $$

两端固定、两端自由或每端分别采用一种相容的齐次条件时，该边界项为零。对梁算子，在通常的固定、简支或无载自由边界下，分部积分两次同样得到

$$ \langle a,\mathcal L[b]\rangle =\int_0^LEI\,a_{xx}b_{xx}\,\mathrm dx =\langle\mathcal L[a],b\rangle $$

这些恒等式给出了算子的对称性；在常规正则问题中，配合完整的自伴边界条件和相应函数定义域，才构成自伴算子。非保守边界载荷或主动边界反馈不一定保留该性质。

取 $a=b=u$，还可得到相应的非负二次型：

$$ \langle u,\mathcal L[u]\rangle =\begin{cases} \displaystyle\int_0^LT_0u_x^2\,\mathrm dx,&\text{弦}\\[6pt] \displaystyle\int_0^LEIu_{xx}^2\,\mathrm dx,&\text{梁} \end{cases} $$

它们等于相应弹性势能的两倍，是离散系统刚度矩阵非负性的连续对应。是否严格为正，还取决于边界约束是否排除了刚体运动。