一、有势流动与速度势

1、速度势的定义与存在条件

设流体速度为 $\boldsymbol{V}=u\boldsymbol{i}+v\boldsymbol{j}+w\boldsymbol{k}$。若存在标量函数 $\varphi(x,y,z,t)$，使

$$ \boldsymbol{V}=\nabla\varphi $$

则称该流动为有势流动，$\varphi$ 称为速度势函数，简称速度势。速度分量为

$$ u=\frac{\partial\varphi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial\varphi}{\partial y},\qquad w=\frac{\partial\varphi}{\partial z} $$

若速度势具有连续二阶空间偏导数，由混合偏导数相等，得到

$$ \nabla\times\boldsymbol{V} =\nabla\times\nabla\varphi=\boldsymbol{0} $$

因此，有势流动为无旋流动。反过来，在速度场光滑的单连通区域内，无旋条件

$$ \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y},\qquad \frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial z},\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial x} $$

保证 $u\,\mathrm{d}x+v\,\mathrm{d}y+w\,\mathrm{d}z$ 是某个单值函数的全微分，从而存在速度势。

在固定时刻，取定参考点 $A$，由 $A$ 沿曲线积分至 $B$，可定义

$$ \varphi(B,t)-\varphi(A,t) =\int_A^B\boldsymbol{V}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} $$

若从 $A$ 到 $B$ 的两条路径分别为 $L_1,L_2$，且它们组成的闭合回路环量为零，则

$$ \int_{L_1}\boldsymbol{V}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} -\int_{L_2}\boldsymbol{V}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s}=0 $$

故积分与路径无关，仅由起点、终点决定。对于多连通区域，局部无旋仍保证局部速度势存在；整个区域内存在单值速度势，还要求绕孔闭合回路的环量为零。

固定时刻的空间全微分为

$$ \mathrm{d}\varphi =\frac{\partial\varphi}{\partial x}\,\mathrm{d}x +\frac{\partial\varphi}{\partial y}\,\mathrm{d}y +\frac{\partial\varphi}{\partial z}\,\mathrm{d}z =u\,\mathrm{d}x+v\,\mathrm{d}y+w\,\mathrm{d}z $$

速度势可以随时间变化。有势条件本身不要求流动定常；给速度势加上任意仅与时间有关的函数，也不改变速度场。

2、任意方向的速度分量与极坐标表达式

设曲线弧长为 $s$，其单位切向量为 $\boldsymbol{t}=\mathrm{d}\boldsymbol{x}/\mathrm{d}s$。由链式法则，得

$$ \frac{\partial\varphi}{\partial s} =\frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} +\frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} +\frac{\partial\varphi}{\partial z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} =\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{t}=V_s $$

即沿任意方向的速度分量，等于速度势沿该方向的方向导数。

对平面流动，取极坐标

$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta $$

径向、切向速度分别记为 $v_r,v_\theta$。径向线元为 $\mathrm{d}r$，切向线元为 $r\,\mathrm{d}\theta$，故

$$ \mathrm{d}\varphi=v_r\,\mathrm{d}r+rv_\theta\,\mathrm{d}\theta $$

于是

$$ v_r=\frac{\partial\varphi}{\partial r},\qquad v_\theta=\frac1r\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} $$

速度势的量纲为 $\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-1}$，其梯度给出速度，并不表示流体的力学势能。

3、速度势满足的拉普拉斯方程

记流体密度为 $\rho$，连续性方程的随体形式为

$$ \frac1\rho\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} +\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0 $$

代入 $\boldsymbol{V}=\nabla\varphi$，得到

$$ \frac1\rho\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}+\nabla^2\varphi=0 $$

不可压缩流体满足 $\mathrm{D}\rho/\mathrm{D}t=0$，因而

$$ \nabla^2\varphi=0 $$

满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。因此，不可压缩势流的速度势为调和函数，流动可以是定常的，也可以是非定常的。

平面直角坐标与极坐标中的方程分别为

$$ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}=0 $$

$$ \frac{\partial^2\varphi}{\partial r^2} +\frac1r\frac{\partial\varphi}{\partial r} +\frac1{r^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial\theta^2}=0 $$

记压强为 $p$，速度大小为 $V=|\boldsymbol{V}|$，单位质量的力势为 $U$，相应的质量力为 $\boldsymbol{f}=-\nabla U$。对于无粘性、密度为常数的流体，定常无旋流动满足同一连通流域内的伯努利关系

$$ \frac p\rho+\frac{V^2}{2}+U=C $$

在重力势变化可忽略时，若远处速度和压强分别为 $V_\infty,p_\infty$，则

$$ p=p_\infty+\frac\rho2(V_\infty^2-V^2) $$

求解定常势流时，可先由拉普拉斯方程及边界条件求速度，再由上式求压强。

二、流函数与流网

1、不可压缩平面流动的流函数

对于平面流动，$w=0$，各物理量与 $z$ 无关。不可压缩条件为

$$ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0 $$

将其写成

$$ \frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial(-v)}{\partial y} $$

可知 $-v\,\mathrm{d}x+u\,\mathrm{d}y$ 局部为某个函数的全微分。定义流函数 $\psi(x,y,t)$，使

$$ \mathrm{d}\psi=-v\,\mathrm{d}x+u\,\mathrm{d}y $$

于是

$$ u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x} $$

由此表示的速度自动满足连续性方程：

$$ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} =\frac{\partial^2\psi}{\partial x\partial y} -\frac{\partial^2\psi}{\partial y\partial x}=0 $$

在固定时刻，流线微分方程为

$$ u\,\mathrm{d}y-v\,\mathrm{d}x=0 $$

故流线上 $\mathrm{d}\psi=0$，流线由

$$ \psi(x,y,t)=C $$

给出。流函数的引入只用到不可压缩平面流动的连续性条件，不要求流动无旋、定常或无粘性。

2、流函数差与流量

在流动平面上取有向曲线 $AB$，沿 $A$ 到 $B$ 积分。若曲线切向线元为 $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$，取法向指向行进方向的右侧，则

$$ \boldsymbol{n}\,\mathrm{d}l =\mathrm{d}y\,\boldsymbol{i}-\mathrm{d}x\,\boldsymbol{j} $$

通过该曲线所代表的单位厚度截面的有向体积流量为

$$ \begin{aligned} q_v&=\int_A^B\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}l\\ &=\int_A^B(u\,\mathrm{d}y-v\,\mathrm{d}x)\\ &=\int_A^B\mathrm{d}\psi=\psi_B-\psi_A \end{aligned} $$

因此，两条流线之间单位厚度的体积流量等于流函数差。若只关心流量大小，则

$$ |q_v|=|\psi_B-\psi_A| $$

流函数与单位厚度体积流量具有相同量纲，均为 $\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-1}$。

3、极坐标中的流函数

极坐标中的不可压缩条件为

$$ \frac{\partial(rv_r)}{\partial r} +\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta}=0 $$

相应的流函数微分为

$$ \mathrm{d}\psi=-v_\theta\,\mathrm{d}r+rv_r\,\mathrm{d}\theta $$

因而

$$ v_r=\frac1r\frac{\partial\psi}{\partial\theta},\qquad v_\theta=-\frac{\partial\psi}{\partial r} $$

4、无旋条件、柯西—黎曼关系与流网

平面流动的涡量只有 $z$ 分量：

$$ \omega_z=\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} =-\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}\right) $$

因此，流动无旋时有

$$ \nabla^2\psi=0 $$

极坐标中的方程为

$$ \frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} +\frac1r\frac{\partial\psi}{\partial r} +\frac1{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}=0 $$

对于不可压缩平面势流，速度势与流函数同时存在，并满足柯西—黎曼关系：

$$ \frac{\partial\varphi}{\partial x} =\frac{\partial\psi}{\partial y}=u,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y} =-\frac{\partial\psi}{\partial x}=v $$

极坐标中的对应关系为

$$ \frac{\partial\varphi}{\partial r} =\frac1r\frac{\partial\psi}{\partial\theta},\qquad \frac1r\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} =-\frac{\partial\psi}{\partial r} $$

等势线 $\varphi=K$ 的法向量为 $\nabla\varphi=(u,v)$，流线 $\psi=C$ 的法向量为 $\nabla\psi=(-v,u)$。二者满足

$$ \nabla\varphi\cdot\nabla\psi=-uv+vu=0 $$

故在速度非零的普通点，流线与等势线正交。两族曲线组成流网。

取相等的流函数增量 $\Delta\psi$ 和速度势增量 $\Delta\varphi$ 作流网。沿流线方向和流线法向分别有

$$ V=\frac{\partial\varphi}{\partial s},\qquad V=\frac{\partial\psi}{\partial n} $$

相邻等势线的距离约为 $\Delta\varphi/V$，相邻流线的距离约为 $\Delta\psi/V$，因而速度越大，流网越密集。

例1
已知平面速度场 $u=2x-3y$、$v=-3x-2y$，判断它是否满足不可压缩条件，求流函数，并判断是否存在速度势；若存在，求其表达式。

解
连续性条件给出

$$ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} =2-2=0 $$

因而存在流函数。由 $\partial\psi/\partial y=u$，对 $y$ 积分得

$$ \psi=2xy-\frac32y^2+f(x) $$

再利用 $\partial\psi/\partial x=-v$，得到

$$ 2y+f'(x)=3x+2y,\qquad f'(x)=3x $$

积分并略去不影响速度的常数，得

$$ \psi=\frac32x^2+2xy-\frac32y^2 $$

该速度场的涡量为

$$ \omega_z=\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y}=-3-(-3)=0 $$

故流动为势流。由 $\partial\varphi/\partial x=u$，积分得

$$ \varphi=x^2-3xy+g(y) $$

由 $\partial\varphi/\partial y=v$，有

$$ -3x+g'(y)=-3x-2y,\qquad g'(y)=-2y $$

因此

$$ \varphi=x^2-3xy-y^2 $$

三、基本平面势流

1、均匀直线流动

若流场各处的速度大小和方向均相同，即

$$ u=u_0,\qquad v=v_0 $$

其中 $u_0,v_0$ 为常数，则称为均匀直线流动，简称平行流。

由速度势与流函数的全微分，分别积分得

$$ \varphi=u_0x+v_0y,\qquad \psi=-v_0x+u_0y $$

流线与等势线分别为

$$ -v_0x+u_0y=C,\qquad u_0x+v_0y=K $$

它们是两族相互垂直的平行直线。若来流沿正 $x$ 方向，速度为 $u_\infty$，则

$$ \varphi=u_\infty x=u_\infty r\cos\theta,\qquad \psi=u_\infty y=u_\infty r\sin\theta $$

在忽略重力势变化的定常均匀流中，速度处处相同，由伯努利关系可知压强也处处相同。

2、点源与点汇

在平面内，流体从一点沿径向向外均匀流出，称为点源；沿径向流入一点，称为点汇。以该点为极点，速度只有径向分量。

记单位厚度上的有向体积流量为 $q_v$，取流出为正，即 $q_v>0$ 表示点源，$q_v<0$ 表示点汇。通过任一同心圆周的流量相同，故

$$ q_v=\int_0^{2\pi}v_r r\,\mathrm{d}\theta=2\pi rv_r $$

于是

$$ v_r=\frac{q_v}{2\pi r},\qquad v_\theta=0 $$

取固定参考长度 $\ell>0$，由 $\partial\varphi/\partial r=v_r$ 积分，得到

$$ \varphi=\frac{q_v}{2\pi}\ln\frac r\ell $$

由 $\partial\psi/\partial\theta=rv_r=q_v/(2\pi)$，得到

$$ \psi=\frac{q_v}{2\pi}\theta $$

等势线为同心圆 $r=\text{常数}$，流线为径向直线 $\theta=\text{常数}$。改变 $\ell$ 只改变速度势的加法常数。

对密度为常数、远处静止的定常流体，忽略重力势变化，由伯努利关系，得

$$ p+\frac\rho2v_r^2=p_\infty $$

因此

$$ p=p_\infty-\frac{\rho q_v^2}{8\pi^2r^2} $$

点源与等强度点汇的速度方向相反，速度大小和压强分布相同。$r=0$ 为理想模型的奇点，速度随 $1/r$ 增大，模型不描述奇点处的实际流动。

3、点涡

设原点处有一条垂直于流动平面的涡线，绕其产生同心圆流动。规定绕正 $z$ 轴逆时针的速度环量为正，记为 $\Gamma$。沿任一以原点为圆心的圆周积分，得

$$ \Gamma=\oint\boldsymbol{V}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} =\int_0^{2\pi}v_\theta r\,\mathrm{d}\theta=2\pi rv_\theta $$

因此，点涡的速度分布为

$$ v_r=0,\qquad v_\theta=\frac\Gamma{2\pi r} $$

由速度势与流函数关系，得

$$ \frac{\partial\varphi}{\partial r}=0,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial\theta}=\frac\Gamma{2\pi},\qquad \frac{\partial\psi}{\partial r}=-\frac\Gamma{2\pi r} $$

积分后有

$$ \varphi=\frac\Gamma{2\pi}\theta,\qquad \psi=-\frac\Gamma{2\pi}\ln\frac r\ell $$

流线为同心圆，等势线为径向直线，与点源、点汇的流网互换。

在 $r>0$ 的区域内，涡量为

$$ \omega_z=\frac1r\frac{\partial(rv_\theta)}{\partial r} -\frac1r\frac{\partial v_r}{\partial\theta}=0 $$

故点涡外部是无旋流动，但绕原点的回路环量为 $\Gamma$。对应的速度势满足

$$ \varphi(r,\theta+2\pi)-\varphi(r,\theta)=\Gamma $$

它在绕原点的整个多连通区域中为多值函数，速度场仍是单值的。

远处静止、忽略重力势变化时，点涡外部压强为

$$ p=p_\infty-\frac{\rho\Gamma^2}{8\pi^2r^2} $$

点源的强度描述通过闭合曲线的流量，点涡的强度描述沿闭合曲线的速度环量；二者分别对应径向流动与切向流动。

四、涡束的诱导速度与涡核

1、毕奥—萨伐尔定理

设细涡束的强度为 $\Gamma$，沿涡束正方向取有向微段 $\mathrm{d}\boldsymbol{l}$，环量正方向与该方向服从右手规则。从该微段指向场点 $M$ 的矢量记为 $\boldsymbol{R}$，长度为 $R$。微段在 $M$ 点产生的诱导速度为

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{V} =\frac\Gamma{4\pi} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{R}}{R^3} $$

若微段与 $\boldsymbol{R}$ 的夹角为 $\alpha$，则诱导速度的大小为

$$ \mathrm{d}V=\frac{|\Gamma|}{4\pi} \frac{\sin\alpha}{R^2}\,\mathrm{d}l $$

方向由涡束方向与右手螺旋规则确定。沿涡束积分，得到

$$ \boldsymbol{V}(M)=\frac\Gamma{4\pi} \int_L\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{R}}{R^3} $$

2、有限直涡束与无限长直涡束

设场点到直涡束轴线的垂直距离为 $r$，以垂足为轴向坐标原点，涡束微段的轴向坐标为 $s$，端点坐标为 $s_1,s_2$。则

$$ R=\sqrt{r^2+s^2},\qquad \sin\alpha=\frac rR $$

在按环量正方向规定的切向上，有

$$ v_\theta=\frac\Gamma{4\pi} \int_{s_1}^{s_2}\frac{r\,\mathrm{d}s}{(r^2+s^2)^{3/2}} $$

由

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \frac{s}{\sqrt{r^2+s^2}} =\frac{r^2}{(r^2+s^2)^{3/2}} $$

得到

$$ v_\theta=\frac\Gamma{4\pi r} \left(\frac{s_2}{\sqrt{r^2+s_2^2}} -\frac{s_1}{\sqrt{r^2+s_1^2}}\right) $$

令 $s_1\to-\infty$、$s_2\to+\infty$，括号内趋于 $2$，故无限长直涡束产生的平面流动满足

$$ v_\theta=\frac\Gamma{2\pi r} $$

这与点涡的平面速度分布相同。

3、有限涡核内外的速度与压强

设直涡束有半径为 $r_b$ 的涡核，核内流体以角速度 $\omega$ 作刚体转动，核外为无旋流动。要求切向速度在核边界连续，得

$$ \omega r_b=\frac\Gamma{2\pi r_b},\qquad \omega=\frac\Gamma{2\pi r_b^2} $$

于是速度分布为

$$ v_\theta(r)= \begin{cases} \omega r,&0\le r\le r_b\\[2pt] \dfrac\Gamma{2\pi r},&r\ge r_b \end{cases} $$

核内速度随半径线性增大，核外随半径的倒数减小。涡量分别为

$$ \omega_z= \begin{cases} 2\omega,&0\le r<r_b\\ 0,&r>r_b \end{cases} $$

设远处压强为 $p_\infty$，核边界的压强和切向速度分别为 $p_b,v_{\theta b}$。核外由伯努利关系得到

$$ p(r)=p_\infty-\frac\rho2v_\theta^2 =p_\infty-\frac{\rho\Gamma^2}{8\pi^2r^2} $$

特别地，

$$ p_b=p_\infty-\frac\rho2v_{\theta b}^2 $$

核内为有旋流动，压强由径向运动方程确定。向心加速度为 $-v_\theta^2/r$，故

$$ -\frac{v_\theta^2}r=-\frac1\rho\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r},\qquad \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}=\rho\omega^2r $$

从 $r_b$ 积分到 $r$，得

$$ p(r)-p_b=\frac{\rho\omega^2}{2}(r^2-r_b^2) $$

利用 $v_{\theta b}=\omega r_b$，得到核内压强

$$ p(r)=p_\infty-\rho v_{\theta b}^2 +\frac{\rho\omega^2r^2}{2} $$

涡核中心压强为

$$ p_c=p_\infty-\rho v_{\theta b}^2 $$

因此

$$ p_\infty-p_b=p_b-p_c =\frac\rho2v_{\theta b}^2 $$

涡核中心压强最低，核边界内、外的压强连续。给定 $\Gamma$ 与 $p_\infty-p_b$，还可由核外关系得到

$$ r_b=\sqrt{\frac{\rho\Gamma^2}{8\pi^2(p_\infty-p_b)}} $$

令涡核半径趋于零而保持 $\Gamma$ 不变，就得到具有中心奇点的点涡模型。

五、基本势流的叠加

1、叠加原理

拉普拉斯方程是线性齐次方程。若 $\varphi_j$ 为若干基本流动的速度势，$a_j$ 为常数，则

$$ \varphi=\sum_j a_j\varphi_j $$

满足

$$ \nabla^2\varphi=\sum_j a_j\nabla^2\varphi_j=0 $$

其速度为

$$ \boldsymbol{V}=\nabla\varphi =\sum_j a_j\nabla\varphi_j=\sum_j a_j\boldsymbol{V}_j $$

相应的流函数也可取为

$$ \psi=\sum_j a_j\psi_j $$

因此，可通过基本流动的速度势、流函数与速度矢量的叠加构造复合势流。叠加后的流动还须满足所研究区域的边界条件；定常压强由总速度的平方代入伯努利关系求得。

2、点源或点汇与点涡：螺旋流

将位于同一点的源汇流与点涡流叠加。源汇强度 $q_v$ 仍以流出为正，环量 $\Gamma$ 仍以逆时针为正，则

$$ \varphi=\frac1{2\pi} \left(q_v\ln\frac r\ell+\Gamma\theta\right),\qquad \psi=\frac1{2\pi} \left(q_v\theta-\Gamma\ln\frac r\ell\right) $$

由此得到

$$ v_r=\frac{q_v}{2\pi r},\qquad v_\theta=\frac\Gamma{2\pi r} $$

当 $q_v,\Gamma$ 均非零时，等势线 $\varphi=K$ 和流线 $\psi=C$ 分别为

$$ r=\ell\exp\left(\frac{2\pi K-\Gamma\theta}{q_v}\right),\qquad r=\ell\exp\left(\frac{q_v\theta-2\pi C}{\Gamma}\right) $$

它们是两族相互正交的对数螺线，故该复合流动称为螺旋流。$q_v$ 的正负决定向外或向内流动，$\Gamma$ 的正负决定绕转方向。

总速度满足

$$ V^2=v_r^2+v_\theta^2 =\frac{q_v^2+\Gamma^2}{4\pi^2r^2} $$

若远处静止，则定常压强分布为

$$ p=p_\infty-\frac{\rho(q_v^2+\Gamma^2)}{8\pi^2r^2} $$

3、等强度点源与点汇

设 $A(-a,0)$ 处为强度 $q_v>0$ 的点源，$B(a,0)$ 处为等强度点汇。对场点 $P(x,y)$，记

$$ r_A=\sqrt{(x+a)^2+y^2},\qquad r_B=\sqrt{(x-a)^2+y^2} $$

由各源汇的局部正 $x$ 方向量起的极角分别为 $\theta_A,\theta_B$，则

$$ \varphi=\frac{q_v}{2\pi}\ln\frac{r_A}{r_B},\qquad \psi=\frac{q_v}{2\pi}(\theta_A-\theta_B) $$

流线 $\psi=C$ 对应 $\theta_A-\theta_B=\text{常数}$，即从流线上各点观察线段 $AB$ 的有向张角不变，因此流线为通过 $A,B$ 两点的圆弧。等势线对应 $r_A/r_B=\text{常数}$。

4、偶极流

令点源与点汇的间距 $2a\to0$，同时使强度 $q_v\to\infty$，并保持

$$ M=2aq_v $$

为有限常数，得到偶极流，$M$ 称为偶极矩。

由源汇对的速度势，得

$$ \varphi=\frac{q_v}{4\pi} \ln\frac{r^2+2ax+a^2}{r^2-2ax+a^2} $$

对固定的 $r>0$，利用 $\ln(1+\varepsilon)=\varepsilon+o(\varepsilon)$，有

$$ \ln\frac{r^2+2ax+a^2}{r^2-2ax+a^2} =\frac{4ax}{r^2}+o(a) $$

因此

$$ \varphi=\frac{M}{2\pi}\frac{x}{x^2+y^2} =\frac{M\cos\theta}{2\pi r} $$

对极角差，在远离原点的固定角度分支上，对源点横坐标求导可得

$$ \frac{\partial}{\partial a}\theta_A =-\frac{y}{(x+a)^2+y^2},\qquad \frac{\partial}{\partial a}\theta_B =\frac{y}{(x-a)^2+y^2} $$

在 $a=0$ 附近展开，得到

$$ \theta_A-\theta_B=-\frac{2ay}{r^2}+o(a) $$

故偶极流的流函数为

$$ \psi=-\frac M{2\pi}\frac{y}{x^2+y^2} =-\frac{M\sin\theta}{2\pi r} $$

流线 $\psi=C\ne0$ 的方程可整理为

$$ x^2+y^2+\frac{M}{2\pi C}y=0 $$

配方，得到

$$ x^2+\left(y+\frac M{4\pi C}\right)^2 =\left(\frac M{4\pi C}\right)^2 $$

因此，流线为通过原点、圆心在 $y$ 轴上的圆族。类似地，等势线 $\varphi=K\ne0$ 满足

$$ \left(x-\frac M{4\pi K}\right)^2+y^2 =\left(\frac M{4\pi K}\right)^2 $$

它们为通过原点、圆心在 $x$ 轴上的圆族。

对速度势求导，得到

$$ u=\frac M{2\pi}\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},\qquad v=-\frac M\pi\frac{xy}{(x^2+y^2)^2} $$

极坐标分量为

$$ v_r=-\frac{M\cos\theta}{2\pi r^2},\qquad v_\theta=-\frac{M\sin\theta}{2\pi r^2} $$

于是

$$ V^2=\frac{M^2}{4\pi^2r^4},\qquad p=p_\infty-\frac{\rho M^2}{8\pi^2r^4} $$

偶极流的速度随 $1/r^2$ 衰减，比源汇流和点涡流的 $1/r$ 衰减更快。

5、平行流与点源：半无限物体绕流

将沿正 $x$ 方向、速度为 $u_\infty>0$ 的平行流，与原点处强度为 $q_v>0$ 的点源叠加，得到

$$ \varphi=u_\infty r\cos\theta +\frac{q_v}{2\pi}\ln\frac r\ell,\qquad \psi=u_\infty r\sin\theta+\frac{q_v}{2\pi}\theta $$

速度分量为

$$ v_r=u_\infty\cos\theta+\frac{q_v}{2\pi r},\qquad v_\theta=-u_\infty\sin\theta $$

令 $v_r=v_\theta=0$，由 $v_\theta=0$ 得 $\theta=0$ 或 $\pi$；正半轴上两种径向速度同向，故驻点位于负半轴：

$$ \theta_Z=\pi,\qquad r_Z=\frac{q_v}{2\pi u_\infty},\qquad x_Z=-\frac{q_v}{2\pi u_\infty} $$

在上半平面采用 $0\le\theta\le\pi$，经过驻点的流函数值为

$$ \psi_Z=\frac{q_v}{2} $$

因此，上侧分流线满足

$$ u_\infty r\sin\theta+\frac{q_v}{2\pi}\theta =\frac{q_v}{2} $$

下侧分流线关于 $x$ 轴对称。这两条流线将点源流体与外部来流分开，可用作半无限物体的外轮廓。将分流线内部替换为固体后，外部流动仍满足不可穿透条件。

由 $y=r\sin\theta$，上侧外轮廓也可写成

$$ y=\frac{q_v}{2\pi u_\infty}(\pi-\theta) $$

向下游远处 $\theta\to0$ 时，$y\to q_v/(2u_\infty)$，故物体的渐近总宽度为 $q_v/u_\infty$。

六、无环量圆柱绕流

1、由平行流与偶极流构造圆柱边界

将正 $x$ 方向的平行流与原点处的偶极流叠加，得到

$$ \varphi=u_\infty r\cos\theta+\frac{M\cos\theta}{2\pi r},\qquad \psi=u_\infty r\sin\theta-\frac{M\sin\theta}{2\pi r} $$

取零流线 $\psi=0$，有

$$ y\left(u_\infty-\frac{M}{2\pi(x^2+y^2)}\right)=0 $$

它由 $x$ 轴和圆周

$$ x^2+y^2=\frac{M}{2\pi u_\infty} $$

组成。若圆柱半径为 $r_0$，取

$$ M=2\pi u_\infty r_0^2 $$

则 $r=r_0$ 恰为一条流线，可以用该圆柱面替换。只考察 $r\ge r_0$ 的外部流动，速度势和流函数为

$$ \varphi=u_\infty\left(r+\frac{r_0^2}r\right)\cos\theta,\qquad \psi=u_\infty\left(r-\frac{r_0^2}r\right)\sin\theta $$

2、速度分布与驻点

由速度势求导，得到

$$ v_r=u_\infty\left(1-\frac{r_0^2}{r^2}\right)\cos\theta,\qquad v_\theta=-u_\infty\left(1+\frac{r_0^2}{r^2}\right)\sin\theta $$

在圆柱表面，

$$ v_r(r_0,\theta)=0,\qquad v_\theta(r_0,\theta)=-2u_\infty\sin\theta $$

径向速度为零，满足固定圆柱表面的不可穿透条件，流体可以沿表面滑动。前、后驻点分别为

$$ (-r_0,0),\qquad(r_0,0) $$

它们对应 $\theta=\pi,0$。圆柱上、下顶点的速度大小最大，均为 $2u_\infty$。

沿任一包围圆柱的同心圆周，速度环量为

$$ \Gamma=\int_0^{2\pi}v_\theta r\,\mathrm{d}\theta =-u_\infty r\left(1+\frac{r_0^2}{r^2}\right) \int_0^{2\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=0 $$

3、压强与压力系数

由定常伯努利关系，圆柱表面的压强为

$$ p=p_\infty+\frac\rho2 \left(u_\infty^2-v_\theta^2\right) =p_\infty+\frac{\rho u_\infty^2}{2}(1-4\sin^2\theta) $$

定义压力系数为

$$ C_p=\frac{p-p_\infty}{\tfrac12\rho u_\infty^2} $$

于是

$$ C_p=1-4\sin^2\theta $$

前、后驻点处 $C_p=1$，压强最大；上、下顶点处 $C_p=-3$，压强最小：

$$ p_{\max}=p_\infty+\frac12\rho u_\infty^2,\qquad p_{\min}=p_\infty-\frac32\rho u_\infty^2 $$

4、压力合力与达朗贝尔佯谬

取单位长度圆柱，表面外法向量为

$$ \boldsymbol{n}=\cos\theta\,\boldsymbol{i} +\sin\theta\,\boldsymbol{j} $$

流体压力作用于圆柱的微元力为

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{F}=-p\boldsymbol{n}r_0\,\mathrm{d}\theta $$

阻力为沿来流方向的分量 $F_D=F_x$，升力为垂直来流的分量 $F_L=F_y$，故

$$ F_D=-r_0\int_0^{2\pi}p\cos\theta\,\mathrm{d}\theta,\qquad F_L=-r_0\int_0^{2\pi}p\sin\theta\,\mathrm{d}\theta $$

压强分布同时关于前后与上下对称，或直接代入压强表达式并积分，得到

$$ F_D=0,\qquad F_L=0 $$

理想流体定常无环量绕流给出零阻力，而实际圆柱绕流具有阻力，这一矛盾称为达朗贝尔佯谬。实际流体中的粘性会形成边界层，并可能发生分离和产生尾流，使前、后压强分布不再对称，形成压差阻力；壁面切应力还会产生摩擦阻力。

七、有环量圆柱绕流

1、叠加点涡后的速度势与流函数

在无环量圆柱绕流上，叠加位于圆心、环量为 $\Gamma$ 的点涡。对 $r\ge r_0$ 的外部流域，得到

$$ \varphi=u_\infty\left(r+\frac{r_0^2}r\right)\cos\theta +\frac\Gamma{2\pi}\theta $$

$$ \psi=u_\infty\left(r-\frac{r_0^2}r\right)\sin\theta -\frac\Gamma{2\pi}\ln\frac r{r_0} $$

流函数中的加法常数已选定，使圆柱表面 $r=r_0$ 上有 $\psi=0$。

速度分量为

$$ v_r=u_\infty\left(1-\frac{r_0^2}{r^2}\right)\cos\theta $$

$$ v_\theta=-u_\infty\left(1+\frac{r_0^2}{r^2}\right)\sin\theta +\frac\Gamma{2\pi r} $$

点涡只增加切向速度，因此表面仍满足不可穿透条件：

$$ v_r(r_0,\theta)=0,\qquad v_\theta(r_0,\theta)=-2u_\infty\sin\theta+\frac\Gamma{2\pi r_0} $$

远处点涡速度趋于零，流动恢复为速度 $u_\infty$ 的平行流。

2、驻点的位置与环量大小

圆柱表面的驻点由 $v_\theta(r_0,\theta)=0$ 确定，即

$$ \sin\theta=\frac\Gamma{4\pi r_0u_\infty} $$

记无量纲环量为

$$ k=\frac\Gamma{4\pi r_0u_\infty} $$

当 $|k|<1$ 时，圆柱表面有两个驻点，它们关于 $y$ 轴对称。$\Gamma<0$ 时两点位于下半圆，$\Gamma>0$ 时位于上半圆；随着 $|\Gamma|$ 增大，两个驻点逐渐靠近。

当 $|k|=1$ 时，两个驻点重合。$\Gamma=-4\pi r_0u_\infty$ 时位于最下点；$\Gamma=4\pi r_0u_\infty$ 时位于最上点。

当 $|k|>1$ 时，圆柱表面不再有驻点。对圆柱外部 $r>r_0$，由 $v_r=0$ 得 $\cos\theta=0$，再由 $v_\theta=0$ 可知驻点位于环量符号对应的半轴上：

$$ \sin\theta=\operatorname{sgn}\Gamma $$

代入切向速度方程，得到

$$ r^2-\frac{|\Gamma|}{2\pi u_\infty}r+r_0^2=0 $$

解得

$$ r_\pm=\frac{|\Gamma|}{4\pi u_\infty} \pm\sqrt{\left(\frac\Gamma{4\pi u_\infty}\right)^2-r_0^2} $$

两根满足 $r_+r_-=r_0^2$，其中 $r_-<r_0$ 位于圆柱内部，外部驻点对应 $r_+>r_0$。其坐标为

$$ x=0,\qquad y=(\operatorname{sgn}\Gamma)r_+ $$

经过该驻点的分流线，将圆柱附近的闭合流线与外部来流分开。

3、表面压强分布

由伯努利关系，圆柱表面压强为

$$ p(\theta)=p_\infty+\frac\rho2 \left[u_\infty^2- \left(-2u_\infty\sin\theta+\frac\Gamma{2\pi r_0}\right)^2\right] $$

相应的压力系数为

$$ C_p=1-\left(-2\sin\theta+\frac\Gamma{2\pi r_0u_\infty}\right)^2 $$

当 $\Gamma<0$ 时，上半圆的切向速度绝对值增大，上侧压强降低；压强分布不再上下对称。

4、压力积分与升力公式

令

$$ c=\frac\Gamma{2\pi r_0} $$

展开表面压强，得

$$ p=p_\infty+\frac\rho2(u_\infty^2-c^2) +2\rho u_\infty c\sin\theta -2\rho u_\infty^2\sin^2\theta $$

单位长度圆柱所受阻力为

$$ F_D=-r_0\int_0^{2\pi}p\cos\theta\,\mathrm{d}\theta $$

由于

$$ \int_0^{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta =\int_0^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta =\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta=0 $$

仍有 $F_D=0$。单位长度圆柱所受升力为

$$ F_L=-r_0\int_0^{2\pi}p\sin\theta\,\mathrm{d}\theta $$

常数项和 $\sin^2\theta$ 项分别与 $\sin\theta$ 相乘后积分为零，而

$$ \int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta=\pi $$

故

$$ F_L=-2\pi\rho r_0u_\infty c=-\rho u_\infty\Gamma $$

这就是单位长度圆柱的库塔—儒可夫斯基升力公式。对于沿正 $x$ 方向的来流，顺时针环量 $\Gamma<0$ 对应向上的升力，逆时针环量 $\Gamma>0$ 对应向下的升力。

若将环量写成矢量 $\boldsymbol{\Gamma}=\Gamma\boldsymbol{k}$，则单位长度作用力为

$$ \boldsymbol{F} =\rho\boldsymbol{V}_\infty\times\boldsymbol{\Gamma} $$

升力垂直于来流速度，其大小为 $\rho u_\infty|\Gamma|$。

八、平面叶栅与翼型的升力

1、翼型与平面叶栅的几何参数

翼型的外轮廓称为型线。翼型前、后两端分别为前缘点和后缘点，两点连线为弦线，长度记为弦长 $b$。翼型内切圆圆心的连线为中线，中线与弦线之间的距离 $f$ 描述翼型的弯曲程度。连接各叶片前缘点或后缘点的线称为额线。

若许多相同翼型按相同方向、等间距排列，就构成叶栅。相邻翼型的对应点沿排列方向的距离为节距，记为 $t$。当环形叶栅的平均直径远大于叶高时，可将叶栅在局部展开为平面叶栅。

对于孤立翼型，弦线与来流速度之间的有向夹角称为冲角 $\alpha$。叶栅进口速度 $\boldsymbol{V}_1$、出口速度 $\boldsymbol{V}_2$ 与额线之间的夹角，分别称为进气角 $\beta_1$、出气角 $\beta_2$。

2、周期叶栅的控制体与动量方程

取 $x$ 轴为通过叶栅的轴向，$y$ 轴为叶片排列的周向。按单位叶高计算，设进口、出口速度分量分别为

$$ \boldsymbol{V}_1=u_1\boldsymbol{i}+v_1\boldsymbol{j},\qquad \boldsymbol{V}_2=u_2\boldsymbol{i}+v_2\boldsymbol{j} $$

取包含一个叶片的周期控制体，进口与出口截面均长为 $t$，另两条边界为相隔一个节距的对应流线。截面远离叶片，速度与压强分别均匀。定常不可压缩条件给出

$$ \rho u_1t=\rho u_2t,\qquad u_1=u_2=u $$

对应流线边界上的压强作用大小相等、方向相反，合力抵消。设流体对单位叶高叶片的作用力为 $\boldsymbol{F}=F_x\boldsymbol{i}+F_y\boldsymbol{j}$，则叶片对控制体内流体的力为 $-\boldsymbol{F}$。

沿 $x,y$ 两方向应用动量方程，得到

$$ -F_x+(p_1-p_2)t=\rho ut(u_2-u_1)=0 $$

$$ -F_y=\rho ut(v_2-v_1) $$

所以

$$ F_x=(p_1-p_2)t,\qquad F_y=\rho ut(v_1-v_2) $$

3、叶栅环量与平均速度

沿控制体外边界取逆时针积分。两条对应流线上的速度线积分大小相等、符号相反，故环量只剩进口与出口两项：

$$ \Gamma=-v_1t+v_2t=t(v_2-v_1) $$

引入进口、出口速度分量的平均值

$$ U=\frac{u_1+u_2}{2}=u,\qquad V=\frac{v_1+v_2}{2} $$

平均速度矢量及其大小分别为

$$ \boldsymbol{V}_m=U\boldsymbol{i}+V\boldsymbol{j},\qquad V_m=\sqrt{U^2+V^2} $$

忽略重力势差，由伯努利关系，得

$$ \begin{aligned} p_1-p_2 &=\frac\rho2(V_2^2-V_1^2)\\ &=\frac\rho2(v_2^2-v_1^2)\\ &=\rho(v_2-v_1)\frac{v_1+v_2}{2} =\frac{\rho\Gamma V}{t} \end{aligned} $$

代入作用力表达式，得到

$$ F_x=\rho\Gamma V,\qquad F_y=-\rho\Gamma U $$

因此

$$ \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{V}_m =\rho\Gamma VU-\rho\Gamma UV=0 $$

即叶片所受合力垂直于平均速度，其大小为

$$ F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\rho|\Gamma|V_m $$

矢量形式为

$$ \boldsymbol{F}=\rho\boldsymbol{V}_m\times(\Gamma\boldsymbol{k}) $$

这是平面叶栅的库塔—儒可夫斯基关系。作用力既可沿轴向、周向分解，也可按相对于平均速度的方向分解；在理想势流模型中，相对于平均速度的作用力为纯升力。

4、孤立翼型与升力系数

对于孤立翼型，进口、出口可取在足够远处，此时

$$ u_1=u_2=u_\infty,\qquad v_1=v_2\to0,\qquad \boldsymbol{V}_m\to u_\infty\boldsymbol{i} $$

孤立翼型可视为节距趋于无穷的叶栅极限；环量由 $t(v_2-v_1)$ 的有限极限给出。因而单位翼展上的升力为

$$ F_L=-\rho u_\infty\Gamma $$

此关系适用于具有环量的任意形状翼型的二维定常理想绕流。绕流边界条件确定速度场的形状，环量则决定相应的升力。

记零升力冲角为 $\alpha_0$，并规定 $\alpha>\alpha_0$ 对应正升力。对于采用弦长 $b$ 表示的儒可夫斯基翼型理想关系，按逆时针环量为正的约定，有

$$ \Gamma=-\pi u_\infty b\sin(\alpha-\alpha_0) $$

于是单位翼展升力为

$$ F_L=\pi\rho u_\infty^2b\sin(\alpha-\alpha_0) $$

若翼展为 $l$，且按二维模型沿翼展均匀，则总升力为 $L=F_Ll$，参考面积为 $A=bl$。定义升力系数

$$ C_L=\frac{L}{\tfrac12\rho u_\infty^2A} =\frac{F_L}{\tfrac12\rho u_\infty^2b} $$

得到

$$ C_L=2\pi\sin(\alpha-\alpha_0) $$

当 $|\alpha-\alpha_0|$ 很小时，角度以弧度计，利用 $\sin(\alpha-\alpha_0)\approx\alpha-\alpha_0$，有

$$ C_L\approx2\pi(\alpha-\alpha_0) $$

零升力冲角描述翼型形状对升力曲线位置的影响；在这一理想小冲角关系中，升力系数随冲角的变化率约为每弧度 $2\pi$。