一、平面二维流动模型

当流体绕足够长的柱形物体流动，且远离柱体端部时，各个垂直于柱体轴线的平面内可以具有相同的流动状态，从而将三维流动简化为平面二维流动。

取柱体轴线为 $z$ 轴，则平面二维流动的速度可写为

$$ \boldsymbol{V}=u(x,y,t)\boldsymbol{i}+v(x,y,t)\boldsymbol{j} $$

此时 $w=0$，各流动物理量与 $z$ 无关。对于不可压缩流体，连续性方程简化为

$$ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0 $$

有旋与无旋运动、涡通量、速度环量等概念也适用于一般三维流动，因此先采用三维速度场

$$ \boldsymbol{V}=u\boldsymbol{i}+v\boldsymbol{j}+w\boldsymbol{k} $$

建立相应关系，再取平面二维流动的特殊形式。

二、流体的有旋运动和无旋运动

1、流体微团的变形

流体微团的运动可以分解为平移、旋转、线变形和角变形。平移描述微团整体位置的变化；旋转描述微团的局部自转；线变形和角变形共同描述微团形状及体积的变化。

记沿三个坐标轴方向的线应变率为 $\varepsilon_{xx}$、$\varepsilon_{yy}$、$\varepsilon_{zz}$，则

$$ \varepsilon_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \varepsilon_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \varepsilon_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z} $$

例如，沿 $x$ 方向长度为 $\delta x$ 的微小线段，两端速度差为 $(\partial u/\partial x)\delta x$。在时间 $\Delta t$ 内，其相对伸长量为

$$ \frac{\Delta(\delta x)}{\delta x} =\frac{\partial u}{\partial x}\Delta t $$

除以 $\Delta t$ 并取极限，即得 $\varepsilon_{xx}=\partial u/\partial x$。

记随流体运动的微元体积为 $\delta\tau$，其相对体积膨胀率为

$$ \frac{1}{\delta\tau}\frac{\mathrm{D}(\delta\tau)}{\mathrm{D}t} =\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} =\nabla\cdot\boldsymbol{V} $$

不可压缩流体满足

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{V}=0 $$

因此，不可压缩微团在运动中可以改变形状，但其体积保持不变。

角变形由剪切应变率描述，三个独立分量为

$$ \begin{aligned} \varepsilon_{xy}=\varepsilon_{yx} &=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)\\ \varepsilon_{yz}=\varepsilon_{zy} &=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right)\\ \varepsilon_{zx}=\varepsilon_{xz} &=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right) \end{aligned} $$

这里的剪切应变率等于两条原先互相垂直的微小线段夹角改变量速率的一半。

2、旋转角速度与涡量

记流体微团的旋转角速度为 $\boldsymbol{\Omega}$，其分量为

$$ \begin{aligned} \Omega_x&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right)\\ \Omega_y&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right)\\ \Omega_z&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right) \end{aligned} $$

写成矢量形式为

$$ \boldsymbol{\Omega}=\frac{1}{2}\nabla\times\boldsymbol{V} $$

定义涡量为

$$ \boldsymbol{\omega}=\nabla\times\boldsymbol{V}=2\boldsymbol{\Omega} $$

涡量与微团旋转角速度方向相同，其方向与微团自转方向满足右手螺旋规则，量纲均为 $\mathrm{s}^{-1}$。流体微团旋转角速度非零的运动称为有旋运动；在所考察区域内处处满足 $\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{0}$ 的运动称为无旋运动。无旋运动的微分条件为

$$ \nabla\times\boldsymbol{V}=\boldsymbol{0} $$

即

$$ \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial x},\qquad \frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial z} $$

对于平面二维流动，仅有垂直于流动平面的涡量分量

$$ \boldsymbol{\omega} =\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\boldsymbol{k} $$

故其无旋条件简化为

$$ \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y} $$

3、自转、轨迹与变形的区别

判断有旋或无旋，应考察局部微团的旋转角速度。

图中两种运动的轨迹均为圆周。左图中微团随位置改变而发生自转；右图中微团的指向保持不变，可以对应无旋运动。

左图中两条初始互相垂直的中心线可以分别向相反方向转动，若其转角大小相等，则微团虽有角变形，平均旋转角速度仍为零；右图中两条中心线向同一方向转动，则微团具有非零旋转角速度。

三、涡线、涡管、涡束与涡通量

1、涡线、涡管与涡束

在给定时刻，若一条曲线上每一点的切线方向都与该点的涡量方向一致，则称该曲线为涡线。涡线是涡量场的瞬时几何曲线，其定义与速度场中的流线相似。

设涡量分量为 $\omega_x$、$\omega_y$、$\omega_z$，则涡线的微分方程为

$$ \frac{\mathrm{d}x}{\omega_x(x,y,z,t)} =\frac{\mathrm{d}y}{\omega_y(x,y,z,t)} =\frac{\mathrm{d}z}{\omega_z(x,y,z,t)} $$

其中 $t$ 为固定参数。等价地，可用曲线参数 $\lambda$ 写成

$$ \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{x}}{\mathrm{d}\lambda} =\boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{x},t) $$

后一形式也适用于某个涡量分量为零的情形。涡线的形状和位置一般随时间改变。

在给定时刻，取一条不与涡量方向相切的封闭曲线，通过曲线上各点作涡线，这些涡线形成的管状表面称为涡管；涡管内充满作旋转运动的流体，称为涡束。

涡管侧面由涡线组成，因此涡量处处与侧面相切。

2、涡通量与涡管强度

记有向曲面为 $A$，单位法向量为 $\boldsymbol{n}$。通过微元面积 $\mathrm{d}A$ 的涡通量为

$$ \mathrm{d}J=\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A =\omega_n\,\mathrm{d}A =2\Omega_n\,\mathrm{d}A $$

通过整个曲面的涡通量为

$$ J=\iint_A\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A =\iint_A\omega_n\,\mathrm{d}A =2\iint_A\Omega_n\,\mathrm{d}A $$

涡通量是有正负的标量，反转曲面的法向会改变其符号。通过涡管横截面的涡通量称为涡管强度，其量纲为 $\mathrm{m}^2/\mathrm{s}$。

当微元面积与涡量垂直且取同向法线时，$\mathrm{d}J=\omega\,\mathrm{d}A=2\Omega\,\mathrm{d}A$。因此，涡量可以理解为法向截面上的涡通量密度。

3、涡量的连续性与截面涡通量相等

在速度场具有足够光滑性的区域内，由旋度的散度恒等于零，得

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{\omega} =\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{V})=0 $$

此式称为涡量连续方程，表示涡量场无源。

在同一时刻截取一段涡管，其两个端面为 $A_1$、$A_2$，侧面为 $A_3$，所围体积为 $\tau$。对封闭曲面取外法向，由高斯公式，得

$$ \oiint_{\partial\tau}\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A =\iiint_\tau\nabla\cdot\boldsymbol{\omega}\,\mathrm{d}\tau=0 $$

侧面上 $\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}=0$。若将两个端面的正法向均取为沿涡管的同一前进方向，则入口端的正法向与封闭曲面外法向相反，因而

$$ -\iint_{A_1}\omega_n\,\mathrm{d}A +\iint_{A_2}\omega_n\,\mathrm{d}A=0 $$

于是

$$ J_1=J_2 $$

这表示同一瞬时、同一涡管各横截面的涡通量相等，是涡量场的几何性质。

对于足够细的涡管，若截面近似垂直于涡量，且涡量在截面上近似均匀，则

$$ J=\omega_1A_1=\omega_2A_2 $$

截面积越小，涡量越大。对于强度非零、涡量有限的涡管，其截面不能在光滑流体内部收缩为零。因此，涡管可以形成闭合涡环，或延伸至流动区域的边界、无穷远。

四、速度环量与斯托克斯定理

1、速度环量及方向约定

在给定时刻，沿有向封闭曲线 $L$ 的速度线积分称为速度环量，记为 $\Gamma_L$：

$$ \Gamma_L=\oint_L\boldsymbol{V}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} =\oint_L(u\,\mathrm{d}x+v\,\mathrm{d}y+w\,\mathrm{d}z) $$

其中 $\mathrm{d}\boldsymbol{s}$ 为沿曲线正方向的微小线元。速度环量是标量，量纲为 $\mathrm{m}^2/\mathrm{s}$；改变积分绕行方向，其符号随之改变。

对于平面区域，取正法向为 $+z$ 方向时，外边界的正向为逆时针方向。一般曲面的正法向与边界正向按右手螺旋规则对应。

2、微元矩形的速度环量

在 $xy$ 平面内取顶点依次为 $A$、$B$、$C$、$D$ 的微元矩形，边长为 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$，按逆时针方向积分。

记 $A$ 点的速度分量为 $u$、$v$，并用 $u_x$、$u_y$、$v_x$、$v_y$ 表示在该点的相应偏导数。将速度作一阶展开，各边线积分为

$$ \begin{aligned} \mathrm{d}\Gamma_{AB} &=\left(u+\frac{1}{2}u_x\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}\Gamma_{BC} &=\left(v+v_x\,\mathrm{d}x+\frac{1}{2}v_y\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}y\\ \mathrm{d}\Gamma_{CD} &=-\left(u+u_y\,\mathrm{d}y+\frac{1}{2}u_x\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}\Gamma_{DA} &=-\left(v+\frac{1}{2}v_y\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}y \end{aligned} $$

后两式的负号来自积分方向分别与 $x$、$y$ 轴正方向相反。四式相加并保留面积的一阶项，得

$$ \begin{aligned} \mathrm{d}\Gamma &=\mathrm{d}\Gamma_{AB}+\mathrm{d}\Gamma_{BC} +\mathrm{d}\Gamma_{CD}+\mathrm{d}\Gamma_{DA}\\ &=\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\omega_z\,\mathrm{d}A =2\Omega_z\,\mathrm{d}A =\mathrm{d}J \end{aligned} $$

即微元边界上的速度环量等于通过该微元面积的涡通量。

3、有限区域与空间曲面

将平面有限区域划分为许多微元矩形，对各微元的环量求和。相邻微元的公共边被积分两次，绕行方向相反，因而内部边界积分相互抵消，仅剩区域外边界的积分。

于是，对平面单连通区域 $A$ 及其边界 $L$，有

$$ \oint_L\boldsymbol{V}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} =\iint_A\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathrm{d}A $$

对空间内定向光滑曲面也可作类似分割。每个微元曲面近似为平面，内部公共边的线积分仍相互抵消，由此得到斯托克斯定理

$$ \Gamma_L =\oint_L\boldsymbol{V}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} =\iint_A(\nabla\times\boldsymbol{V})\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A =\iint_A\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A =J $$

其中 $L=\partial A$，曲面的法向与边界绕行方向相容，速度场在曲面及其邻域内具有连续的一阶偏导数。

斯托克斯定理将边界上的速度环量与曲面内部的涡通量联系起来。

4、多连通区域中的环量

若区域内任意封闭曲线均可在不离开该区域的条件下连续收缩为一点，则称该区域为单连通区域；否则称为多连通区域。平面流动中，被绕流物体占据的部分可构成流动区域中的孔洞。

设平面区域 $A$ 的外边界为 $L_0$，内部有 $n$ 条孔洞边界 $L_1,\ldots,L_n$。取所有曲线自身的积分方向均为逆时针，则斯托克斯定理写为

$$ \Gamma_{L_0}-\sum_{j=1}^{n}\Gamma_{L_j} =\iint_A\omega_z\,\mathrm{d}A $$

这是因为区域的正向边界要求外边界逆时针、内边界顺时针。

也可通过辅助线把内、外边界连接起来，将多连通区域切开为单连通区域。辅助线两侧的积分大小相等、方向相反，求和后相互抵消，从而得到上述关系。

若流场无旋，则

$$ \Gamma_{L_0}=\sum_{j=1}^{n}\Gamma_{L_j} $$

在单连通的无旋区域内，任意封闭曲线的环量为零；在多连通区域内，绕孔洞曲线的环量仍可能非零。应用斯托克斯定理时，跨越该曲线的曲面必须位于速度场光滑定义的区域内。

五、无粘性流体的兰姆—葛罗米柯运动微分方程

1、欧拉运动微分方程

记单位质量流体所受的质量力为 $\boldsymbol{f}$，流体密度为 $\rho$，压力为 $p$。无粘性流体满足欧拉运动微分方程

$$ \frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t} =\boldsymbol{f}-\frac{1}{\rho}\nabla p $$

其中随体导数为

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial}{\partial t} +u\frac{\partial}{\partial x} +v\frac{\partial}{\partial y} +w\frac{\partial}{\partial z} $$

因此

$$ \frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} +(\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V} =\boldsymbol{f}-\frac{1}{\rho}\nabla p $$

分量形式为

$$ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z} &=f_x-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial t} +u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y} +w\frac{\partial v}{\partial z} &=f_y-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial w}{\partial t} +u\frac{\partial w}{\partial x} +v\frac{\partial w}{\partial y} +w\frac{\partial w}{\partial z} &=f_z-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} \end{aligned} $$

此方程适用于无粘性流体的有旋、无旋、可压缩及不可压缩运动。当流体保持静止时，方程退化为静力平衡方程。

2、加速度的涡量表示

令 $V^2=u^2+v^2+w^2$。将 $x$ 方向的迁移加速度整理为

$$ \begin{aligned} u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z} &=u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial x} +w\frac{\partial w}{\partial x}\\ &\quad+v\left(\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}\right) +w\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right)\\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{V^2}{2}\right) +2(w\Omega_y-v\Omega_z) \end{aligned} $$

同理，三个方向的加速度为

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{D}t} &=\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{V^2}{2}\right) +2(w\Omega_y-v\Omega_z)\\ \frac{\mathrm{D}v}{\mathrm{D}t} &=\frac{\partial v}{\partial t} +\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{V^2}{2}\right) +2(u\Omega_z-w\Omega_x)\\ \frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{D}t} &=\frac{\partial w}{\partial t} +\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{V^2}{2}\right) +2(v\Omega_x-u\Omega_y) \end{aligned} $$

因此，迁移加速度满足矢量恒等式

$$ (\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V} =\nabla\left(\frac{V^2}{2}\right) +\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V} $$

3、兰姆—葛罗米柯方程

将上述恒等式代入欧拉运动微分方程，得

$$ \frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} +\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V} =\boldsymbol{f}-\frac{1}{\rho}\nabla p -\nabla\left(\frac{V^2}{2}\right) $$

或写为

$$ \frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} +2\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{V} =\boldsymbol{f}-\frac{1}{\rho}\nabla p -\nabla\left(\frac{V^2}{2}\right) $$

这就是兰姆—葛罗米柯运动微分方程。其分量形式为

$$ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t}+2(w\Omega_y-v\Omega_z) &=f_x-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{V^2}{2}\right)\\ \frac{\partial v}{\partial t}+2(u\Omega_z-w\Omega_x) &=f_y-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} -\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{V^2}{2}\right)\\ \frac{\partial w}{\partial t}+2(v\Omega_x-u\Omega_y) &=f_z-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{V^2}{2}\right) \end{aligned} $$

该形式显式包含微团旋转角速度，便于分析有旋与无旋运动；当质量力有势、压力项可写成梯度时，右端还可合并为机械能函数的梯度。

六、欧拉积分式、伯努利积分与伯努利方程

1、有势质量力与压力函数

设单位质量的质量力具有势函数 $U$，采用

$$ \boldsymbol{f}=-\nabla U $$

的符号约定。对于重力，取 $z$ 轴竖直向上，有 $U=gz$。

若密度仅为压力的函数，即

$$ \rho=\rho(p) $$

则称流体为正压流体。定义压力函数

$$ p_F(p)=\int\frac{\mathrm{d}p}{\rho(p)} $$

其积分常数可并入后续的能量常数。由链式法则，有

$$ \nabla p_F=\frac{1}{\rho}\nabla p $$

于是，兰姆—葛罗米柯方程化为

$$ \frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} +\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V} =-\nabla\left(U+p_F+\frac{V^2}{2}\right) $$

不可压缩且密度为常数的流体是正压流体的一种特殊情形，此时

$$ p_F=\frac{p}{\rho} $$

对温度 $T$ 为常数的理想气体，$\rho=p/(RT)$，其中 $R$ 为气体常数，因此

$$ p_F=RT\int\frac{\mathrm{d}p}{p} =RT\ln\frac{p}{p_*} $$

其中 $p_*>0$ 为固定参考压力。

对服从同一等熵关系 $p=K\rho^k$ 的理想气体，$K$ 为常数、$k>1$ 为比热比。记 $\rho=C_\rho p^{1/k}$，则

$$ \begin{aligned} p_F &=\frac{1}{C_\rho}\int p^{-1/k}\,\mathrm{d}p\\ &=\frac{k}{k-1}\frac{p^{(k-1)/k}}{C_\rho} =\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho} \end{aligned} $$

2、定常运动的基本关系

以下讨论无粘性、正压流体在有势质量力作用下的定常运动。记单位质量机械能函数为

$$ B=U+p_F+\frac{V^2}{2} $$

由 $\partial\boldsymbol{V}/\partial t=\boldsymbol{0}$，得

$$ \nabla B =-\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V} =\boldsymbol{V}\times\boldsymbol{\omega} $$

其分量形式为

$$ \begin{aligned} \frac{\partial B}{\partial x}&=-2(w\Omega_y-v\Omega_z)\\ \frac{\partial B}{\partial y}&=-2(u\Omega_z-w\Omega_x)\\ \frac{\partial B}{\partial z}&=-2(v\Omega_x-u\Omega_y) \end{aligned} $$

能量积分的适用范围取决于流动是否无旋，以及积分曲线的选取。

3、无旋运动的欧拉积分式

若流动无旋，$\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{0}$，则

$$ \nabla B=\boldsymbol{0} $$

沿流场内任意微小曲线段 $\mathrm{d}\boldsymbol{s}$，有

$$ \mathrm{d}B=\nabla B\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s}=0 $$

积分得欧拉积分式

$$ U+p_F+\frac{V^2}{2}=C $$

因此，在同一个连通的流动区域内，任意两点具有相同的机械能常数。势能 $U$、压力势能 $p_F$ 与动能 $V^2/2$ 可以相互转化，其总和保持不变。

4、沿流线的伯努利积分

对于一般有旋流动，$\nabla B$ 不必为零。但沿流线有 $\mathrm{d}\boldsymbol{s}\parallel\boldsymbol{V}$，因此

$$ \mathrm{d}B =\nabla B\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} =(\boldsymbol{V}\times\boldsymbol{\omega})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} =0 $$

也可在定常流动中采用流体质点的位移关系

$$ \mathrm{d}x=u\,\mathrm{d}t,\qquad \mathrm{d}y=v\,\mathrm{d}t,\qquad \mathrm{d}z=w\,\mathrm{d}t $$

将 $B$ 的三个分量方程分别乘以 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$、$\mathrm{d}z$ 后相加，右端为

$$ -2\left[ u(w\Omega_y-v\Omega_z) +v(u\Omega_z-w\Omega_x) +w(v\Omega_x-u\Omega_y) \right]\mathrm{d}t=0 $$

从而沿流线积分得

$$ U+p_F+\frac{V^2}{2}=C $$

此式称为伯努利积分。同一条流线上的常数相同；不同流线的常数一般可以不同。

欧拉积分式与伯努利积分具有相同的代数形式，但前者由无旋条件得到，常数在连通流场内相同；后者适用于一般定常流动，常数沿每条流线保持不变。

5、重力场中的伯努利方程

对密度为常数的不可压缩流体，取 $U=gz$、$p_F=p/\rho$，则沿流线有

$$ gz+\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}=C $$

同一流线上两点之间满足

$$ gz_1+\frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2} =gz_2+\frac{p_2}{\rho}+\frac{V_2^2}{2} $$

两边除以 $g$，得到单位重量流体的水头形式

$$ z+\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}=H $$

其中 $z$、$p/(\rho g)$、$V^2/(2g)$ 分别为位置水头、压力水头和速度水头，$H$ 为总水头。

在采用截面物理量均匀的一维管流模型时，可以用相应截面上的状态量表示伯努利关系。

七、汤姆孙定理

1、流体质点线与环量守恒

由确定的流体质点连接而成的曲线称为流体质点线。它随这些质点一起运动，形状和位置一般都随时间改变。若曲线封闭，则记为 $L(t)$。

汤姆孙定理：无粘性、正压流体在有势质量力作用下，沿任意封闭流体质点线的速度环量在运动过程中保持不变，即

$$ \frac{\mathrm{d}\Gamma_{L(t)}}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \oint_{L(t)}\boldsymbol{V}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} =0 $$

这里求导时，积分曲线也随流体运动；定理不要求流动定常。

2、环量守恒的推导

用随质点固定的参数 $a$ 表示闭合曲线，令

$$ \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(a,t),\qquad \frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial t} =\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x}(a,t),t) $$

曲线微元为 $\mathrm{d}\boldsymbol{s}=(\partial\boldsymbol{x}/\partial a)\mathrm{d}a$。沿同一组质点求导，得

$$ \frac{\mathrm{D}(\mathrm{d}\boldsymbol{s})}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial a}\mathrm{d}a =\mathrm{d}\boldsymbol{V} $$

因而环量的时间变化率为

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\Gamma_{L(t)}}{\mathrm{d}t} &=\oint_{L(t)} \frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} +\oint_{L(t)} \boldsymbol{V}\cdot\frac{\mathrm{D}(\mathrm{d}\boldsymbol{s})}{\mathrm{D}t}\\ &=\oint_{L(t)} \frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} +\oint_{L(t)}\boldsymbol{V}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{V} \end{aligned} $$

第一项由欧拉运动方程及正压、有势条件，化为

$$ \begin{aligned} \oint_{L(t)}\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{V}}{\mathrm{D}t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} &=\oint_{L(t)}\left(\boldsymbol{f}-\frac{1}{\rho}\nabla p\right) \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s}\\ &=-\oint_{L(t)}(\nabla U+\nabla p_F)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s}\\ &=-\oint_{L(t)}(\mathrm{d}U+\mathrm{d}p_F) \end{aligned} $$

第二项为

$$ \oint_{L(t)}\boldsymbol{V}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{V} =\oint_{L(t)}(u\,\mathrm{d}u+v\,\mathrm{d}v+w\,\mathrm{d}w) =\oint_{L(t)}\mathrm{d}\left(\frac{V^2}{2}\right) $$

合并得

$$ \frac{\mathrm{d}\Gamma_{L(t)}}{\mathrm{d}t} =\oint_{L(t)}\mathrm{d}\left(\frac{V^2}{2}-U-p_F\right)=0 $$

最后一步利用了单值函数的全微分沿封闭曲线的积分为零。

3、物理意义

汤姆孙定理描述同一条物质闭合曲线在不同时刻的环量守恒。它与固定时刻的斯托克斯定理结合，给出

$$ \Gamma_{L(t)} =\iint_{A(t)}\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A =\text{常数} $$

其中 $A(t)$ 是以 $L(t)$ 为边界的相应有向曲面。

在满足定理条件且流动保持光滑的过程中，初始无旋的流体部分保持无旋。对于有旋运动，守恒的是物质回路的环量及相应曲面的总涡通量；微团的局部涡量仍可因拉伸、压缩而改变。

无粘性、正压和质量力有势是上述推导所用的条件。实际流体中的粘性、非正压效应或非保守体积力会使这一环量守恒关系不再普遍成立。

八、亥姆霍兹旋涡定理

1、第一定理：同一瞬时涡管各截面的涡通量相等

在同一瞬时，同一涡管各横截面的涡通量相等，即

$$ J_A=J_B $$

此结论已由 $\nabla\cdot\boldsymbol{\omega}=0$ 与高斯公式得到，也可用斯托克斯定理说明。

在涡管两个截面上取邻近点 $A,A'$ 与 $B,B'$，沿涡管侧面作近邻曲线 $AB$、$A'B'$，形成狭窄的闭合回路 $ABB'A'A$。由于回路所围侧面上的涡量与侧面相切，通过该侧面的涡通量为零，故

$$ \Gamma_{AB}+\Gamma_{BB'}+\Gamma_{B'A'}+\Gamma_{A'A}=0 $$

当两条侧面曲线无限接近时，有

$$ \Gamma_{AB}+\Gamma_{B'A'}=0 $$

因而

$$ \Gamma_{AA'}=\Gamma_{BB'} $$

将这些窄条沿涡管周向相加，侧边积分相互抵消，两个截面边界的环量相等。再用斯托克斯定理，得

$$ \iint_A\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A =\iint_B\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A $$

第一定理是同一时刻涡量场的性质，由涡管的定义与涡量连续性即可得到。

2、第二定理：涡管由相同的流体质点组成

无粘性、正压流体在有势质量力作用下，涡管随流体运动，其管壁始终由同一组流体质点组成；涡管的形状和位置可以改变。

在初始涡管侧面上任取一条足够小的封闭物质曲线 $L(t_0)$，其围成的侧面片上满足

$$ \boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}=0 $$

由斯托克斯定理，得

$$ \Gamma_{L(t_0)}=0 $$

让该曲线及侧面片随同一组流体质点运动。由汤姆孙定理，任意后来时刻均有

$$ \Gamma_{L(t)}=0 $$

再由斯托克斯定理，得

$$ \iint_{A(t)}\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A=0 $$

由于初始侧面片可任意选取，且演化保持光滑，上式对演化后侧面的任意小面片均成立，因此涡量仍与该物质侧面相切。该物质侧面仍是涡管侧面，故涡管随流体质点一起运动。

3、第三定理：随体涡管的强度不随时间改变

无粘性、正压流体在有势质量力作用下，同一随体涡管的强度保持不变。

沿涡管某截面的边界取封闭物质曲线 $L(t)$，由斯托克斯定理与汤姆孙定理，得

$$ J(t)=\Gamma_{L(t)},\qquad \frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}\Gamma_{L(t)}}{\mathrm{d}t}=0 $$

因此

$$ J(t)=J(t_0) $$

第一定理比较同一时刻的不同截面；第三定理比较同一随体涡管在不同时刻的强度。

对于细涡管，若截面垂直于涡量且涡量近似均匀，则

$$ \omega(t)A(t)=J=\text{常数} $$

涡管截面积减小时，涡量可以增大。因此，涡管强度守恒与局部旋转角速度增大并不矛盾。