一、理想气体的可逆多变过程
在一般的热力过程中，例如排气、点火、膨胀等等，在$\ln p-\ln V$图上有：
$$ \ln p =-n\ln V+c $$
即$pv^n=const.$。当$n=0$时，则$p=const.$，表现为定压过程；当$n=1$时，$pv=const.$，表现为定温过程；当$n=\kappa$时，$pv^\kappa=const.(\kappa>1)$，表现为定熵（可逆绝热）过程；当$n=\pm \infty$时，$v=const$，表现为定容过程。
二、理想气体的定压、定容和定温过程
1、过程方程
对于定容过程，存在：
$$ n=\pm \infty\quad v_1=v_2 $$
代入理想气体状态方程：
$$ \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2} $$
对于定压过程，存在：
$$ n=0\quad p_1=p_2 $$
代入理想气体状态方程：
$$ \frac{v_1}{T_1}=\frac{v_2}{T_2} $$
对于等温过程，存在：
$$ p_1v_1=p_2v_2 $$
2、过程图
对于$p-v$图与$T-s$图，存在两种斜率：
$$ \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_n\quad \left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_n $$
若$pv^n=const.$，两边微分：
$$ \frac{\mathrm{d}p}{p}+n\frac{\mathrm{d}v}{v}=0 $$
代入，得到：
$$ \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_n=-n\frac{p}{v} $$
根据：
$$ \mathrm{d}s=\frac{\delta q}{T} $$
有：
$$ \mathrm{d}s=\frac{\delta q}{T}=\frac{c_n\mathrm{d}T}{T} $$
代入，得到：
$$ \left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_n=\frac{T}{c_n} $$
那么在三种状态下，斜率分别计算：
- 定容过程：$n=\pm\infty$，$\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_v\to \infty$，$\left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_v =\frac{T}{c_V}$。
- 定压过程：$n=\pm 0$，$\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_p=0$，$\left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_p =\frac{T}{c_p}$。
- 定温过程：$n=1$，$\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T=-\frac{p}{v}$，$\left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_T =\frac{T}{c_T}\to 0$。
3、比热容
三种状态下的比热容可以如下计算：
$$ c_V=\frac{R_g}{\gamma-1}\quad c_p=\frac{\gamma}{\gamma-1}\quad c_T\to \infty $$
4、$\Delta u,\Delta h,\Delta s$
对于$\Delta u,\Delta h$来说，根据定义其计算公式完全相同：
$$ \Delta u=c_V|^{T_2}_{T_1}(T_2-T_1) $$
$$ \Delta h=c_p|^{T_2}_{T_1}(T_2-T_1) $$
但是$\Delta s$不同，对于定容过程：
$$ \Delta s=c_V\ln\frac{T_2}{T_1} $$
对于定压过程：
$$ \Delta s=c_p\ln\frac{T_2}{T_1} $$
5、$w,w_t,q$
对于定容过程：
$$ w=\int_1^2p\mathrm{d} v =0\quad $$
$$ w_{t}=-\int_1^2 v \mathrm{d}p= v \big(p_1-p_2\big) $$
$$ q_ v =\Delta u+w=\Delta u=c_V|_{T_1}^{T_2}\left(T_2-T_1\right)=\int_1^2T\mathrm{d}s $$
对于定压过程：
$$ w=p( v _2- v _1) $$
$$ w_{t}=0 $$
$$ q_p=\Delta h+w_{t}=\Delta h=c_p\big|_{T_1}^{T_2}\left(T_2-T_1\right)=\int_1^2T\mathrm{d}s $$
对于定温过程：
$$ w=\int_1^2p\mathrm{d} v =\int_1^2\frac{p v } v \mathrm{d} v =R_{g}T\ln\frac{v_2}{v_1} $$
$$ w_{t}=-\int_1^2 v \mathrm{d}p=-\int_1^2\frac{ v p}p\mathrm{d}p=-R_{g}T\ln\frac{p_2}{p_1} $$
$$ q=\Delta u+w=\Delta h+w_{t}\quad\Longrightarrow q=w=w_{t} $$
三、理想气体等比熵（可逆绝热）过程
1、过程方程
对于等熵（可逆绝热过程），存在：
$$ T\mathrm{d}s=\delta q=\mathrm{d}h-v\mathrm{d}p=0 $$
$$ T\mathrm{d}s=\delta q=\mathrm{d}u+p\mathrm{d}v=0 $$
故：
$$ v\mathrm{d}p=\mathrm{d}h=c_p\mathrm{d}T $$
$$ -p\mathrm{d}v=\mathrm{d}u=c_V\mathrm{d}T $$
令上下两式相除：
$$ -\frac{v}{p}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}v}=\frac{c_p}{c_V} $$
令右边常数等于$\kappa$（前文等于$\gamma$），分离变量得到：
$$ \frac{\mathrm{d}p}{p}+\kappa\frac{\mathrm{d}v}{v}=0 $$
两边积分得：
$$ \ln p+\kappa\ln v=c $$
即：
$$ pv^\kappa=c $$
故理想气体的可逆多变过程中等熵过程的结果相同，有：
$$ p_1v_1^\kappa=p_2v_2^\kappa $$
有：
$$ T_1v_1^{\kappa-1}=T_2v_2^{\kappa-2} $$
$$ T_1v_1^{-\frac{\kappa-1}{\kappa}}=T_2v_2^{-\frac{\kappa-1}\kappa} $$
由推导过程，上述三式适用于理想气体、定比热、可逆绝热过程。
2、过程图
根据前文推导，有：
$$ \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_\kappa=-\kappa\frac{p}{v} $$
$$ \left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_\kappa=\frac{T}{c_s}=\infty $$
其中箭头表示$n$增大的方向。
3、比热容
在过程图的推导中是用过，等熵比热容根据熵的定义式可知：
$$ c_s\to 0 $$
4、$\Delta u,\Delta h,\Delta s$
$\Delta u,\Delta h$相同，为：
$$ \Delta u=c_V|^{T_2}_{T_1}(T_2-T_1) $$
$$ \Delta h=c_p|^{T_2}_{T_1}(T_2-T_1) $$
但是$\Delta s$不同，对于定熵过程，其熵变为$0$。
5、$w,w_t,q$
$$ q=0 $$
$$ w=\int_1^2p\mathrm{d} v =\int_1^2\frac{p v ^\kappa}{ v ^\kappa}\mathrm{d} v =p_1 v _1^\kappa\int_1^2 v ^{-\kappa}\mathrm{d} v =\cdots=\frac{R_{g}T_1}{\kappa-1}\left[1-\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}\right] $$
或者：
$$ w = q - \Delta u = -\Delta u = u_1 - u_2 = c_v (T_1 - T_2) = \frac{R_g}{\kappa - 1}(T_1 - T_2) $$
于是：
$$ w = \frac{R_g T_1}{\kappa - 1} \left[ 1 - \left( \frac{T_2}{T_1} \right) \right] = \frac{R_g T_1}{\kappa - 1} \left[ 1 - \left( \frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} \right] $$
$$ w_t = q - \Delta h = -\Delta h = h_1 - h_2 = c_p (T_1 - T_2) = \frac{\kappa}{\kappa - 1} R_g (T_1 - T_2) = \kappa w $$
5、变比热绝热过程的计算
可以用$\kappa_m$代替$\kappa$：
$$ \kappa_m=\frac{c_p|^{t_1}_{t_2}}{c_V\big|^{t_2}_{t_1}} $$
$$ \kappa_m=\frac{\kappa_1+\kappa_2}2 $$
$$ \kappa_1=\frac{c_{p1}}{c_{V1}} $$
$$ \kappa_2=\frac{c_{p2}}{c_{V2}} $$
也可以查气体热力性质表。
四、理想气体可逆多变过程
1、过程方程
$$ p_1 v_1^n = p_2 v_2^n $$
$$ T_1 v_1^{\,n-1} = T_2 v_2^{\,n-1} $$
$$ T_1 p_1^{-\frac{n-1}{n}} = T_2 p_2^{-\frac{n-1}{n}} $$
2、过程的 $p-v$ 图及 $T-s$ 图
$$ \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_n = -n\frac{p}{v} $$
$$ \left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_n = \frac{T}{c_n} = \frac{T}{\frac{n-\kappa}{n-1}c_V} $$
3、$\Delta u$、$\Delta h$ 和 $\Delta s$
$$ \Delta u = c_V\big|_{t_1}^{t_2}(T_2-T_1) $$
$$ \Delta h = c_p\big|_{t_1}^{t_2}(T_2-T_1) $$
$$ \Delta s = s_2^0 - s_1^0 - R_g \ln\frac{p_2}{p_1} $$
定比热容下：
$$ \Delta s = c_p\ln\frac{T_2}{T_1} - R_g\ln\frac{p_2}{p_1} $$
$$ = c_V\ln\frac{T_2}{T_1} + R_g\ln\frac{v_2}{v_1} $$
$$ = c_V\ln\frac{p_2}{p_1} + c_p\ln\frac{v_2}{v_1} $$
4、$w$、$w_t$ 和 $q$
$$ w=\int_1^2 p\,\mathrm{d}v = \cdots = \frac{R_gT_1}{n-1} \left[ 1-\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{n-1}{n}} \right] = \frac{R_g}{n-1}(T_1-T_2) $$
$$ w_t=-\int_1^2 v\,\mathrm{d}p = \cdots = \frac{nR_gT_1}{n-1} \left[ 1-\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{n-1}{n}} \right] = nw $$
$$ q=\Delta u+w $$
$$ q= c_V(T_2-T_1)+\frac{R_g}{n-1}(T_1-T_2)= c_V(T_2-T_1)+\frac{c_V(\kappa-1)}{n-1}(T_1-T_2) $$
即：
$$ q= \left(1-\frac{\kappa-1}{n-1}\right)c_V(T_2-T_1) = \frac{n-\kappa}{n-1}c_V(T_2-T_1) $$
或：
$$ q=c_n(T_2-T_1) $$
以及：
$$ q=\int_1^2 T\,\mathrm{d}s $$
5、比热容
$$ q=\frac{n-\kappa}{n-1}c_V(T_2-T_1)=c_n(T_2-T_1) $$
$$ c_n=\frac{n-\kappa}{n-1}c_V $$
$$ \begin{cases} n=0, & c_p=\kappa c_V \\ n=1, & c_T\to\infty \\ n=\kappa, & c_s\to 0 \\ n=\pm\infty, & c_V \end{cases} $$
6、多变指数
$$ p_1v_1^n=p_2v_2^n \Rightarrow \ln p_1+n\ln v_1=\ln p_2+n\ln v_2 $$
$$ n=\frac{\ln(p_2/p_1)}{\ln(v_1/v_2)} $$
或由
$$ c_n=\frac{n-\kappa}{n-1}c_V \Rightarrow n=\frac{c_n-c_p}{c_n-c_V} $$
等。
7、多变过程的能量关系 $w/q$
$$ w=\frac{R_g}{n-1}(T_1-T_2) = \frac{\kappa-1}{n-1}c_V(T_1-T_2) $$
$$ q=\frac{n-\kappa}{n-1}c_V(T_2-T_1) $$
$$ \frac{w}{q}=\frac{\kappa-1}{\kappa-n} $$
$$ n<\kappa \quad\Rightarrow\quad \frac{\kappa-1}{\kappa-n}>0, \quad \frac{w}{q}>0 $$
膨胀，吸热；压缩，放热
$$ n>\kappa \quad\Rightarrow\quad \frac{\kappa-1}{\kappa-n}<0, \quad \frac{w}{q}<0 $$
膨胀，放热；压缩，吸热
8、关于 $T-s$ 图及 $p-v$ 图
确定 $p-v$ 图上 $T$ 增大及 $s$ 增大方向，确定 $T-s$ 图上 $p$ 增大及 $v$ 增大方向：
利用特殊过程的特性，如 $2\to4$：
$$ p_2=p_4 $$
$$ \frac{v_4}{T_4}=\frac{v_2}{T_2} \Rightarrow T_4>T_2 $$
利用过程的能量关系，如 $2\to1$：
$$ s_1=s_2 $$
$$ q=u_1-u_2+w $$
$$ v_1>v_2 \Rightarrow w>0 \Rightarrow u_2>u_1 \Rightarrow T_2>T_1 $$
利用特殊过程的特性，如 $2\to3$：
$$ p_2=p_3 $$
$$ \frac{v_3}{T_3}=\frac{v_2}{T_2} ,\quad T_3>T_2 \Rightarrow v_3>v_2 $$
利用过程的能量关系，如 $2\to4$：
$$ T_2=T_4 $$
$$ q=\Delta u+w $$
$$ s_4>s_2,\quad q>0 \Rightarrow w>0 \Rightarrow v_4>v_2 $$
$p-v$ 图和 $T-s$ 图上 $u$、$h$、$s$、$w$ 和 $q$ 的趋势为：
在 $T-s$ 图上用图形面积表示 $\Delta u$ 和 $\Delta h$
五、水蒸气的基本过程
[!NOTE]
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