一、理想气体
1、理想气体的基本假设
- 分子为不占体积的弹性质点。
- 除碰撞外分子间无作用力。
理想气体是实际气体在低压高温时的抽象，满足$u=u(T)$。在$300\mathrm{K},1\mathrm{atm}$条件下，实际情况与理想气体的误差只有$0.02\%$，很小，但是注意在高温、高压情况下的误差。温度较高时，随压力增大，误差增大；压力较高，温度较低时，误差极大，但是温度较低时误差不大；压力低时，即使温度较低，误差也很小。即低温高压误差大。
2、理想气体的状态方程
[!NOTE]
这个不会的话想想自己的问题。
二、理想气体的比热容
1、比热的定义与分类
比热容的定义式为：
$$ C=\lim_{\Delta T\to 0}\frac{Q}{\Delta T}=\frac{\delta Q}{\mathrm{d}T} $$
比热容与过程有关，并且是是温度的函数。
按照物量分，可以分为质量热容（比热容）$c$，体积热容$C'$，摩尔热容$C_m$；按照过程分，可以分为定压热容（比定压热容）$c_p$，质量定容热容（比定容热容）$c_V$。
2、理想气体比定压热容，比定容热容和迈耶公式
比热容的一般表达式为（非理想气体情况）：
$$ c = \frac{\delta q}{\mathrm{d}T} = \frac{\mathrm{d}u + \delta w}{\mathrm{d}T} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}T} + \frac{p\mathrm{d}v}{\mathrm{d}T} $$
其中：
$$ u = u(T, v) \quad \mathrm{d}u = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_T \mathrm{d}v $$
故：
$$ c=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v+\left[\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_T+p\right]\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}T} $$
在定容过程中，$\mathrm{d}v=0$，且由理想气体的$u=u(T)$，得到比定容热容$c_V$：
$$ c=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}T} $$
进一步得到：
$$ \mathrm{d}u=c_V\mathrm{d}T $$
在定压过程中，$\mathrm{d}p=0$；根据理想气体的$u=u(T)$，可知：
$$ \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}T}\qquad\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_T=0 $$
则：
$$ c_p=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}T}+\frac{p\mathrm{d}v}{\mathrm{d}T} $$
根据焓的定义$h=u+pv$，得到：
$$ c_p=\frac{\mathrm{d}(h-pv)+p\mathrm{d}v}{\mathrm{d}T}=\frac{\mathrm{d}h-v\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}T} $$
进一步得到：
$$ \mathrm{d}h=c_p\mathrm{d}T $$
根据上面推导可知，$c_V,c_p$为温度的函数。将两者相减，利用理想气体状态方程，可得到迈耶公式：
$$ c_p-c_v=\frac{\mathrm{d}h-\mathrm{d}u}{\mathrm{d}T}=\frac{\mathrm{d}(pv)}{\mathrm{d}T}=R_g $$
可知理想气体$c_p$恒大于$c_V$。且可以得到$R_g$的物理意义为某种理想气体定压升高$1\mathrm{K}$对外做的功。
3、理想气体的比热容比
定义$\gamma$表示理想气体的比热容比：
$$ \gamma=\frac{c_p}{c_V} $$
即$\gamma$是温度$T$的函数，结合迈耶公式，可以得到：
$$ c_p=\frac{\gamma}{\gamma-1}R_g $$
$$ c_V=\frac{1}{\gamma-1}R_g $$
4、利用比热容计算热量
可以利用真是的比热容积分计算热量：
$$ q=\int_{T_1}^{T_2}c_n\mathrm{d}T=A_{amnbda} $$
但是在这个过程中，$t_1,t_2$均为变量，制表繁复，故可以制作平均比热容表，利用如下公式：
$$ c_n\big|_0^t=\frac{\int_0^tc_n\mathrm{d}t}{t-0} $$
故：
$$ c\big|_{t_1}^{t_2}=\frac{c\big|_0^{t_2}t_2-c\big|_{0}^{t_1}t_1}{t_2-t_1} $$
令$c_n=a+bt$，则：
$$ q=\int_{t_1}^{t_2}c_n\mathrm{d}t=\int_{t_1}^{t_2}(a+bt)\mathrm{d}t $$
故：
$$ c_n\big|_{t_1}^{t_2}=a+\frac{b}{2}(t_2+t_1) $$
5、定值比热容
根据气体分子运动理论：
$$ C_{V,m}=\frac{i}{2}R\quad c_{p,m}=\frac{i+2}2R\quad \gamma=\frac{i+2}{i} $$
其中$i$为自由度，单原子误差小（$i=3$），双原子（$i=5$）在常温常压下误差可接受，多原子（$i=6$）误差大。
三、理想气体的热力学能、焓和熵
1、理想气体的热力学能和焓
理想气体的热力学能和焓仅是温度的函数，气体分子间无作用力，有：
$$ u=u_k=u(T)\quad \mathrm{d}u=c_V\mathrm{d}T $$
$$ h=u+pv=u+R_gT\quad \mathrm{d}h=c_p\mathrm{d}T $$
对于理想气体一切同温限之间的过程$\Delta u$与$\Delta h$相同，均可使用$c_V\Delta T$和$c_p\Delta T$计算。对于实际气体，两者还与过程有关，只有定容过程使用$\Delta u=c_V\Delta T$，定压过程使用$\Delta h=c_p\Delta T$。
通常取$0\mathrm{K}$为参考点，其热力学能为零，熵也为零。
2、利用气体热力性质表计算热量
$$ q_v=\Delta u=u(T_2)-u(T_1) $$
$$ q_p=\Delta h=h(T_2)-h(T_1) $$
3、理想气体的熵
定义理想气体的熵为：
$$ \mathrm{d}s=\frac{\delta q}{T} $$
理想气体的熵是状态参数：
$$ \mathrm{d}s=\frac{\delta q}{T}=\frac{\mathrm{d}u+p\mathrm{d}v}{T}=c_V\frac{\mathrm{d}T}{T}+R_g\frac{\mathrm{d}v}{v} $$
$$ \Delta s=\int\mathrm{d}s=\int (c_V\frac{\mathrm{d}T}{T})+R_g\ln\frac{v_2}{v_1} $$
以及其他形式：
$$ \begin{aligned} \Delta s&=\int (c_V\frac{\mathrm{d}T}{T})+R_g\ln\frac{v_2}{v_1}\\ &=\int (c_p\frac{\mathrm{d}T}{T})-R_g\ln\frac{p_2}{p_1}\\ &=\int (c_p\frac{\mathrm{d}v}{v})+\int (c_v\frac{\mathrm{d}p}{p}) \end{aligned} $$
在定比热的状态下，可以进一步化简：
$$ \begin{aligned} \Delta s&=c_V\int \frac{\mathrm{d}T}{T}+R_g\ln\frac{v_2}{v_1}\\ &=c_V\ln\frac{T_2}{T_1}+R_g\ln\frac{v_2}{v_1}\\ &=c_p\ln\frac{T_2}{T_1}-R_g\ln\frac{p_2}{p_1}\\ &=c_p\ln\frac{v_2}{v_1}+c_V\ln\frac{p_2}{p_1} \end{aligned} $$
4、理想气体变比热熵差计算
针对公式：
$$ \Delta s=\int (c_p\frac{\mathrm{d}T}{T})-R_g\ln\frac{p_2}{p_1} $$
令：
$$ \int_0^T c_p\frac{\mathrm{d}T}{T}=s^0(T) $$
故：
$$ \Delta s=s_2^0-s_1^0-R_g\ln\frac{p_2}{p_1} $$
四、饱和状态、饱和温度和饱和压力
1、饱和状态
当汽化速度等于液化速度时，系统处于动态平衡，宏观上气、液两相保持一定的相对数量，即饱和状态。饱和温度表示符号为$t_2$，饱和压力为$p_s$，$t_s$与$p_s$一一对应。下面定义一些状态：
- 未饱和液：$t<t_s$
- 饱和液：$t=t_s$
- 湿饱和蒸汽：$t=t_s$（饱和液和饱和蒸汽的混合物）
- 干饱和蒸汽：$t=t_s$（处于饱和状态的蒸汽）
- 过热蒸汽：$t>t_s$（$t-t_s=d$称为过热度）
使未饱和液达到饱和状态，可以提高温度或者降低压力。
定义干度为湿蒸汽中干饱和蒸汽的质量分数，用$w$或$x$表示：
$$ x=\frac{m_v}{m_v+m_l} $$
$x=0$为饱和液，$x=1$为干饱和蒸汽。湿度为$y=1-x$。
2、水定压加热气化过程的$p-v$图与$T-s$图
对于第一张图红色线为恒压线，$a,b,c$为未饱和液，$a',b',c'$为饱和液，$a_x,b_x,c_x$为干度为$x$的湿蒸汽，从左往右$x$增大，$a'',b'',c''$为干饱和蒸汽，$a_d,b_d,c_d$为过热蒸汽。第二张图字母意义相同，$C$点左侧蓝线干度为$0$，右侧蓝线干度为$1$。
各种工质均有类似水的性质。在动力工程中水蒸气不宜利用理想气体性质计算。水和水蒸气的状态参数可按不同区域，由给出的独立状态参数通过实际气体状态方程及其他一般关系式计算（通常由计算机计算）或查图表确定。
五、水和水蒸气的状态参数
规定三相点液态水的热力学能和熵为零。
上图中蓝色区域为液态，粉色区域为气态，橙色区域为气液混合状态，
对于未饱和水，压力不太高时，可以近似计算：
$$ h_t=c_pt\quad s_t=c_p\ln\frac{T}{273.16} $$
湿饱和蒸汽状态下：
$$ v_x=xv''+(1-x)v' $$
$$ h_x=xh''+(1-x)h'=h'+x\gamma,\gamma=h''-h' $$
$$ s_x=xs''+(1-x)s'=s'+x(s''-s')=s'+x\frac{\gamma}{T_s} $$
$$ u_x=h_x-p_sv_x $$