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一、基本等价无穷小$\sin x \sim x$$\tan x \sim x$$\arcsin x \sim x$$\arctan x \sim x$$e^x - 1 \sim x$$\ln(1 + x) \sim x$$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$$(1 + x)^a - 1 \sim a x$ （$a$ 为常数）$a^x - 1 \sim x \ln a$ （$a > 0$ 且 $a \neq 1$）二、高阶等价无穷小$\sin x - x \sim -\frac{1}{6}x^3$$\tan x - x \s…

指数函数 $$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$正弦函数 $$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $$余弦函数 $$ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2…

一、第一类反常积分定义设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，于是对于任意$t>a$，积分$\int_a^tf(x)\mathrm{d}x$存在，它是$t$的函数，称记号$$ \int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\xlongequal{\text{def}}\lim_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\mathrm{d}x $$为函数$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty)$上的反常积分（或第一类反常积分）同样地，设函数$f(x)$在区间$(-\infty,b]$上连续，于是对于任意…

一、求平面图形的面积求曲线$y=f_1(x),y=f_2(x)$（均连续），$x=a,x=b,(a<b)$围成的平面图形面积，为：$$ S=\int_a^b|f_2(x)-f_1(x)|\mathrm{d}x $$二、求夹在两平面间的立体的体积设$\Omega$为一空间立体，它夹在垂直于$Ox$轴的两平面$x=a,x=b$之间$(a<b)$，我们称$\Omega$为位于$[a,b]$上的空间立体。在区间$[a,b]$上任取一点$x$处，做垂直于$Ox$轴的平面，它截得立体$\Omega$的截面面积显然是$x$的函数，设$x$为连续函数，记为$…

注：本文中的计算方法，不包括牛顿莱布尼茨公式和求不定积分的四种方法。一、利用被积函数的奇偶性设$f(x)$在$[-a,a]$上连续，则：若$f(x)$为偶函数：$$\int^a_{-a}f(x)\mathrm{d}x=2\int^a_0f(x)\mathrm{d}x$$若$f(x)$为奇函数：$$\int^a_{-a}f(x)\mathrm{d}x=0$$可使用换元（令$t=-x$）证明上面结论。方法一的推论：若$f(x)$在$[-a,a]$上连续，则：$$\int_{-a}^af(x)\mathrm{d}x=\int^a_0[f(x)+f(-x)]\m…

以正弦函数的沃利斯公式为例：记$I_n=\int_0^{\frac \pi 2}\sin^nx\mathrm{d}x$，当$n\geq2$时，应用凑微分和分部积分得：$$ \begin{aligned} I_n=&\int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{d}x\\ =&-\Big[\sin^{n-1}x \cos x \big|^{\frac \pi 2}_0-\int_0^{\frac\pi 2}\cos x \mathrm{d}(\sin^{n-2}x)\Big]\\ =&-\Big[0-0-(n-1…

一、重要的函数极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin\:x}{x}=1$$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$\lim _{x\to 0}\frac {\ln ( 1+ x) }x= \operatorname* { lim} _{x\to 0}\frac 1x\ln ( 1+ x) = \operatorname* { lim} _{x\to 0}\ln ( 1+ x) ^{\frac 1x}= \ln \lim _{x\to 0}( 1+ x) ^{\frac 1x}= \ln e= 1$$\lim_{x…

$x\in A\Leftrightarrow x\not\in \complement*{U}A,x\in \complement*{U}A\Leftrightarrow x\not\in A,\varnothing\subsetneqq A\Leftrightarrow A\neq\varnothing $$\complement_{U}(A\cap B)=\complement_{U}A\cup C_{U}B;\complement_{U}(A\cup B)=\complement_{U}A\cap\complement_{U}B\:$$A\subs…

数列极限$\lim _{n\to + \infty }a_n= a$ （存在），当$n>N$时恒有$|a_n-a|<\varepsilon$。$\lim_{n\to+\infty}a_n=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists N\in Z^+$，当$n>N$时恒有$|a_n|>M$。$\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists N\in Z^+$，当$n>N$时恒有$a_n>M$。…

一、集合、子集、幂集、直积设$A,B$是两个集合，如果$A,B$含的元素全相同，就说$A,B$相等，记作$A=B$。如果对任意的$a\in A$，均有$a\in B$，则称$A$是$B$的子集，或说$A$含于$B$，$B$包含$A$，记作$A\subset B$.对任意的集合$A$ ,均有$\emptyset\subset A,A\subset A$.显然，集合$A,B$相等，当且仅当$A\subset B$与$B\subset A$同时成立。非空集合$A$的所有子集组成的集合称为$A$的幂集，记作：$P(A)$或$2^A$。若集$A$含有$n$个不同元…

一、定义代数系统$\langle G: \circ \rangle$称为群，如果：运算封闭性。运算$\circ$满足结合律，即$\forall a,b,c\in G,a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c$$G$关于运算$\circ$存在单位元，即$\exists e\in G$，使 $\forall a\in G$，有 $a\circ e=e\circ a=a$$G$中每个元素关于$\circ$都可逆，即$\forall a\in G,\exists b\in G$使得$a\circ b=$ $b\circ a=e$（单位…

一、增广矩阵对于一个由$m\times n$个数排成$m$个横行，$n$个竖列的矩形数表称为$m\times n$矩阵。对于一个$m\times n$的矩阵$A$，我们可以在它的右边加上一个$m\times1$的列向量$\boldsymbol b$，得到一个$m\times(n+1)$的矩阵$(A,\boldsymbol b)$，这个矩阵被称为$A$的增广矩阵。$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n…

一、$n$元向量在研究问题过程中，有些研究对象可以用多个数组组成的有序数组来描述，例如在$n$元一次方程$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$中，可以用其系数和常数$b$排成有序$(n+1)$元数组$(a_1,a_2,\cdots,a_n,b)$来表示；在按照升幂排列成的一元$n$次多项式$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_2x^3+\cdots+a_nx^n$中，可以用其系数组成的$(n+1)$元有序数组$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$来表示。由$n$个数$a_1,a_2,\cdots,a_n$组成的有序…

一、多元线性方程组的求解与解的性质线性方程组存在三种解的情况：无解无数解唯一解判断法则：秩。判断无穷多解的情况，需要找到无穷多解的“本质”，本质便是找到个数唯一确定的有限多个解。二、二次曲线、二次曲面与二次超曲面我们在中学中学习过二次曲线包括抛物线（$y^2=2px$），椭圆（圆）（$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$），双曲线（$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$），两条直线。二次曲线的一般形式为（$Ax^2+Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$，其中大写字母为实数常数）。然后我…

一、均值不等式对于$n$个正数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$A_n= \frac {a_1+ a_2+ \cdots + a_n}n$ 称为算术平均值；$G_n=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$称为几何平均值；$H_n= \frac n{\frac 1{a_1}+ \frac 1{a_2}+ \cdots + \frac 1{a_n}}$称为调和平均值。均值不等式即为：$$H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}$$当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$时，等号成立。特别地，当$n=2$时，对…